专题6.1 数列的概念与简单表示法（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析2
【课程标准】2
【考情分析】2
【2026考向预测】3
三、知识点•逐点夯实3
知识点1、数列的概念3
知识点2、数列的分类3
知识点3、数列的表示方法3
四、重点难点•分类突破4
考点1 由数列的前几项归纳出通项公式4
考点2 由an与Sn的关系求an5
考点3 数列的性质7
命题点1数列的周期性7
命题点2 数列的单调性7
命题点3数列的最大（小）项8
五、必考题型•分层训练9
A、基础保分9
B、综合提升10
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一、5年高考•真题感悟
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
3．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
【5年考情分析】
【2026考向预测】
高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性.
三、知识点•逐点夯实
知识点1、数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
知识点2、数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：
（2）按单调性来分：
知识点3、数列的表示方法
（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
（4）在数列中，若最大，则若最小，则
四、重点难点•分类突破
考点1 由数列的前几项归纳通项公式
例1、（2023·贵州毕节·模拟预测）将正整数排成如图所示的数阵，其中第行有个数，如果2023是表中第行的第个数，则 .
例2、（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778B．779C．780D．781
【变式训练1】、（2023·江西·模拟预测）如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）。记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式
【变式训练2】、古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是 ．
考点2 由an与Sn的关系求an
例3、（2024·河北·模拟预测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
例4、（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且.
(1)求，，；
(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）
①是等比数列；②是等比数列.
(3)记为数列的前项和，求.
【变式训练3】、（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由．
【变式训练4】、（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
考点3 数列的性质
命题点1 数列的周期性
例5、（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，，则（ ）
A．B．C．D．
例6、（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（ ）
A．B．
C．2D．1
【变式训练5】、（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（ ）
A．36B．39C．41D．45
【变式训练6】、（2025·全国·模拟预测）数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
命题点2 数列的单调性
例7、（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例8、（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 .
【变式训练7】、（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练8】、能说明命题“若无穷数列满足，则为递增数列”为假命题的数列的通项公式可以为 ．
命题点3 数列的最大（小）项
例9、（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4B．9C．10D．12
例10、在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【变式训练9】、（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 .
【变式训练10】、已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．23B．12C．20D．
五、分层训练
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（ ）
A．366B．422C．450D．600
2．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（ ）
A．3B．-2C．D．
3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知数列中，，，则数列前2024项的和为 .
5．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
6．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是 .
7．（2024·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为 .
8．（2024·重庆·二模）记正项数列的前项和为，若，则的最小值为 .
三、解答题
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
10．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和..
11．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·模拟预测）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（ ）
A．第3级修正B．第4级修正C．第5级修正D．第6级修正5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分
由递推关系证明等比数列
一般
2024年全国甲卷，第18题,12分
利用an与sn关系求通项
一般
2023年全国甲卷（理科），
第17题,10分
利用与关系求通项或项
一般