2026届高考数学一轮专题训练：数列的概念与简单表示法 [含答案]

这是一份2026届高考数学一轮专题训练：数列的概念与简单表示法 [含答案]，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列满足,,则( )
A.B.C.D.
2．已知数列的前n项和，则( )
A.191B.192C.193D.194
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为( )
A.22B.26C.35D.51
4．数列满足,若数列单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1,5,12,22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是( )
A.36B.50C.70D.91
6．在数列中，已知，，则( )
A.3B.4C.5D.6
7．数列中,,,且,则为( )
A.2B.1C.D.
8．已知数列满足,,则数列的前项和为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列满足,其中,为数列的前n项和,则下列四个结论中,正确的是( )
A.B.数列的通项公式为：
C.数列的前n项和为：D.数列为递减数列
10．记数列的前n项和为,若,,则( )
A.若为等差数列,则B.若为等比数列,则
C.若,则为周期为3的数列D.若,,则
11．已知数列满足,,则下列结论正确的是( )
A.为等差数列B.为递减数列
C.的通项公式为D.的前n项和
三、填空题
12．已知数列满足，，若，则_______.
13．已知数列的前n项和为,且,则___________．
14．已知正项数列，的前n项和为，且，，则____________.
15．如果数列对任意的,,则称为“速增数列”,若数列为“速增数列”,且任意项,,,,则正整数k的最大值为________.
四、解答题
16．已知数列的前n项和为.
（1）求,,;
（2）求数列的通项公式.
17．已知是数列的前n项和，且.
(1)判断数列是否为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前n项和的最小值.
18．已知数列的首项,设为数列的前n项和,且有.
（1）求数列的通项公式;
（2）令,求数列的前n项和.
19．已知为数列的前n项和,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）对任意的正整数n,令,求数列的2n项的和.
20．设数列的前n项和为,且是公差为的等差数列．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)若对于任意正整数n均成立,求整数m的最大值．
答案
1．答案：A
解析：由数列满足,,
可得,,,,…,
所以数列是周期数列,且周期为,则.
故选:A.
2．答案：C
解析：因为，则，
故选：C
3．答案：C
解析：如图，
1，5，12，22称为五边形数，
从第二项起，后项与前项的差依次为4，7，10，13，
所以五边形数的第5项为，
故选：C.
4．答案：D
解析：因为单调递增,所以,解得,
即实数a的取值范围为.
故选:D
5．答案：C
解析：由已知得，，
，
所以，
所以，
，.
故选：C
6．答案：D
解析：在数列中，已知，
，则，
故数列为常数列，则，因此，.
故选：D.
7．答案：A
解析：由,,且可得,,,
,,,……,
所以为周期数列,且周期为6,故,
故选：A.
8．答案：A
解析：根据,可知,因此可得为常数;
即数列是以为首项,公差为的等差数列,
所以,即;
因此;
可知数列的前项和.
故选:A
9．答案：ACD
解析：因为,
所以当时,,
两式相减得,所以,
又因为当时,满足上式,
所以数列的通项公式为：,故A正确,B错误,
,
所以
,
故C正确；
因为,随着n的增大,在减小,所以数列为递减数列,
故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：若为等差数列,则公差,所以,故A正确；
若为等比数列,则公比,所以,故B正确；
若,则为周期为6的数列,故C错误；
因为,则,
,故D正确；
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：因为,所以,所以,且,所以是以4为首项,2为公比的等比数列,即,可得,故选A,C错误;
因为单调递增,所以,即为递减数列,故选项B正确;
的前项和,故选项D正确.
故选:BD.
12．答案：
解析：由，可得：，
又，可得.
故答案为.
13．答案：32
解析：由题意可知.
故32.
14．答案：11
解析：
，
所以，
又∵，∴数列是首项为1，
公差为1的等差数列，所以,∴,
∴,
故11.
15．答案：20
解析：当时,,
因为数列为“速增数列”,
所以,且,
所以,即,,
当时,,当时,,
故正整数k的最大值为20,
故答案为:20.
16．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）,,.
（2）当时,,
当时,,
满足上式,所以.
17．答案：(1)不是等差数列，
(2)-18
解析：(1)由已知，得，
所以，则数列不是等差数列，
当时，，
所以.
(2)由(1)知，
当时，；
当时，，
数列的前n项和的最小值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,
当时,,
两式相减,得,即,
即对恒成立,所以是常数列,
所以,所以
（2）由（1）知,,
所以,
所以,
两式相减,得,
所以
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由题可知,①,
所以,,②
①—②得,（*）,又因为,符合（*）式.
所以,.
（2）由（1）知,,
所以
.
20．答案：(1)证明见详解
(2)
(3)
解析：(1)因为,
由题意可知：数列是以为首项,公差为的等差数列,
则,可得,
所以数列是以为首项,公比为的等比数列.
(2)由(1)可知：,即,且,
当时,则,
所以.
(3)若对于任意正整数n均成立,
若,则,即；
若,则,即；
可得,此时整数m的最大值为,
若,则,符合题意；
综上所述：整数m的最大值为.