2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题5.3平面向量的数量积及其应用(学生版+解析)

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\l "_Tc10884" 【题型1 平面向量数量积的运算】 PAGEREF _Tc10884 \h 4
\l "_Tc25366" 【题型2 平面向量的夹角问题】 PAGEREF _Tc25366 \h 4
\l "_Tc19900" 【题型3 平面向量的模长】 PAGEREF _Tc19900 \h 5
\l "_Tc15209" 【题型4 平面向量的垂直问题】 PAGEREF _Tc15209 \h 5
\l "_Tc26996" 【题型5 平面向量的投影】 PAGEREF _Tc26996 \h 5
\l "_Tc14925" 【题型6 平面向量在几何中的应用】 PAGEREF _Tc14925 \h 6
\l "_Tc13895" 【题型7 向量在物理中的应用】 PAGEREF _Tc13895 \h 7
\l "_Tc14457" 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 PAGEREF _Tc14457 \h 8
\l "_Tc19054" 【题型9 平面向量新定义】 PAGEREF _Tc19054 \h 8
1、平面向量的数量积及其应用
知识点1 向量数量积的性质和常用结论
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当a与b同向时，；当a与b反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量a，b共线，即a∥b时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量a，b，c和实数λ，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
2．向量数量积的常用结论
(1)；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当a与b同向共线时右边等号成立，a与b反向共线时左边等号成立.
以上结论可作为公式使用.
知识点2 平面向量数量积的解题方法
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
知识点3 数量积的两大应用
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
知识点5 极化恒等式
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)；
(2).
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则>0；若>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则0，且a⊕b和a⊙b都在集合n4|n∈Z,000,x=0−1,x