2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.9函数的零点与方程的解(2大考点+12大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.9函数的零点与方程的解(2大考点+12大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc200654432" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200654432 \h 3
\l "_Tc200654433" 一、函数的零点 PAGEREF _Tc200654433 \h 3
\l "_Tc200654434" 二、二分法 PAGEREF _Tc200654434 \h 3
\l "_Tc200654435" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200654435 \h 4
\l "_Tc200654436" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200654436 \h 5
\l "_Tc200654437" 题型一：函数零点所在区间的判定 PAGEREF _Tc200654437 \h 5
\l "_Tc200654438" 题型二：函数零点个数的判定 PAGEREF _Tc200654438 \h 5
\l "_Tc200654439" 题型三：根据函数零点个数求参数 PAGEREF _Tc200654439 \h 6
\l "_Tc200654440" 题型四：根据函数零点的范围求参数 PAGEREF _Tc200654440 \h 7
\l "_Tc200654441" 题型五：用二分法求方程的近似解 PAGEREF _Tc200654441 \h 8
\l "_Tc200654442" 题型六：半分离参数法求零点问题 PAGEREF _Tc200654442 \h 9
\l "_Tc200654443" 题型七：嵌套函数与零点问题 PAGEREF _Tc200654443 \h 9
\l "_Tc200654444" 题型八：共零点问题 PAGEREF _Tc200654444 \h 10
\l "_Tc200654445" 题型九：零点比大小问题 PAGEREF _Tc200654445 \h 11
\l "_Tc200654446" 题型十：不动点问题 PAGEREF _Tc200654446 \h 12
\l "_Tc200654447" 题型十一：等值线问题 PAGEREF _Tc200654447 \h 12
\l "_Tc200654448" 题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值 PAGEREF _Tc200654448 \h 13
\l "_Tc200654449" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200654449 \h 14
\l "_Tc200654450" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200654450 \h 15
\l "_Tc200654451" ①数形结合 PAGEREF _Tc200654451 \h 15
\l "_Tc200654452" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200654452 \h 15
\l "_Tc200654453" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200654453 \h 16
\l "_Tc200654454" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200654454 \h 17
\l "_Tc200654455" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200654455 \h 17
\l "_Tc200654456" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200654456 \h 19
1、理解函数的零点与方程的解的联系.
2、理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3、了解用二分法求方程的近似解.
一、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数，使的实数叫做函数的零点.
（2）方程根与函数零点的关系
方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为.
（3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.
（4）零点存在性定理
如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一.
②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点.
函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”.
③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点.
④设，若在上有零点，则；
二、二分法
①二分法的概念
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②用二分法求方程近似解的步骤
（1）确定区间，验证，给定精确度；
（2）求区间的中点；
（3）计算，
（i）若，则就是函数的零点；
（ii）若，则令
（iii）若，则令
（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4）
常用二级结论
(1)若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
题型一：函数零点所在区间的判定
【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【变式1-2】已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】函数的零点，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】方程的根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
题型二：函数零点个数的判定
【例2】（2025·吉林·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令,方程有多少个不同的实数根,则有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
【变式2-1】（2025·高三·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-2】函数在定义域内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-3】已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2-4】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则函数的零点个数为
A．B．C．D．
题型三：根据函数零点个数求参数
【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．（，1）D．
【变式3-3】（2025·湖南邵阳·三模）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：根据函数零点的范围求参数
【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式4-1】已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2025·高三·江西抚州·期中）若函数在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
题型五：用二分法求方程的近似解
【例5】用二分法求函数在区间内的零点时，需要的条件是（ ）
①在区间上是连续不断的；②；③；④．
A．①②B．①③C．①④D．②③
【解题总结】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
【变式5-1】设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【变式5-3】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】下列函数零点不能用二分法求出的是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：半分离参数法求零点问题
【例6】已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
半分离参数法
【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 .
【变式6-2】设函数，,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是
【变式6-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数，则的最小值是 ，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的一个取值为 .
【变式6-4】若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是 ．
题型七：嵌套函数与零点问题
【例7】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
（1）针对多个根的取值范围问题，需构建新函数以明确取值区间。
（2）以二次函数作外函数时，可借助参变分离简化运算，但需具备扎实函数基础。
【变式7-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式7-3】（2025·山西吕梁·三模）已知函数有三个零点，则三个零点之和为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式7-4】（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（ ）.
A．2B．3C．4D．5
【变式7-5】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-6】已知函数，若关于x的方程有8个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-7】已知函数，关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型八：共零点问题
【例8】对于任意的，不等式恒成立，则实数（ ）
A．B．C．1D．
【解题总结】
共零点问题：此类问题往往是的形式，其特征是两个函数具备相同的零点．
【变式8-1】设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【变式8-2】已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
【变式8-3】设函数，若在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-4】（2025·高三·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型九：零点比大小问题
【例9】已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
【解题总结】
针对双参数比值型问题，可采用零点比大小法求解。具体而言，先将曲线与直线分离，分别绘制二者图像并确定其零点。需留意，直线零点往往对应待求双参数比值，当直线零点与曲线零点重合之际，该双参数比值可取得最值。
【变式9-1】已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 .
【变式9-2】已知不等式对任意的实数t恒成立，则的最大值为 ．
【变式9-3】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 .
【变式9-4】若，对，均有恒成立，则的最小值为
【变式9-5】（2025·高三·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ．
题型十：不动点问题
【例10】设函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是
A．［ln3－6，0］B．［ln3－6，ln2－2］
C．［2ln2－12，0］D．［2ln2－12，ln2－2］
【解题总结】
1、有解有解．特别地，当函数单递增时，的解与的解相同．
2、无解无解．
3、有解有解．
4、无解无解．
【变式10-1】已知函数，若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ．
题型十一：等值线问题
【例11】（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
【解题总结】
数形结合
【变式11-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】已知函数，若方程有4个根分别为，，，，且，则的取值范围是 .
【变式11-3】（2025·山东·一模）已知，若有个根，则的取值范围是 .
题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值
【例12】（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（ ）
A．1B．C．0D．
【解题总结】
（1）借助零点存在性定理构建相应不等式，进而求解参数的值或取值范围。
（2）通过分离参数，将问题转化为函数值域（最值）问题，以此确定参数的值或范围。
（3）把问题转化为两个熟知函数图像的上、下位置关系问题，构建不等式求解参数。
【变式12-1】已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【变式12-2】（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式12-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．0B．C．2D．
【变式12-4】已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．1或
C．或1D．或2
【变式12-5】（2025·山东·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
1．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是
A．B．
C．D．
2．已知函数则方程为常数且的不同的实数根的个数为
A．3B．4C．5D．6
3．已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 ．
①数形结合
1．已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
2．已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，则函数的零点个数是
A．6B．5C．4D．3
②转化与化归
4．若函数在上有零点，则a的取值范围为
A．B．C．D．
5．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数，，若有两个零点，，的零点为，则关于的不等式不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
③分类讨论
7．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为 ．
8．对任意实数x，以表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，如，等．定义，x称它为的小数部分，如，等．若直线与的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是 ．
9．已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围是 ．
基础过关篇
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2025·山东淄博·三模）若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（ ）
A．8B．10C．12D．15
4．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
12．（多选题）（2025·山东临沂·三模）已知，其中，则（ ）
A．当时，直线与函数的图象相切
B．当时，直线与函数图象有且只有1个交点
C．若函数在上单调递增，则的取值范围为
D．若函数在上有两个零点，则的取值范围为
13．（多选题）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
14．（多选题）（2025·河南·模拟预测）设函数，则（ ）
A．的极大值为2
B．当时，
C．图象上任意一点处的切线与的图象恒有两个公共点
D．方程有且仅有5个不同的实根
15．（多选题）（2025·安徽合肥·模拟预测）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ）
A．
B．函数的对称中心为
C．过引曲线的切线，有且仅有1条
D．若成等差数列，则
16．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 .
17．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ．
18．（2025·山西·三模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
19．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ．
能力拓展篇
20．（2025·山东泰安·三模）若函数满足：存在整数，实数，使得，则称是“滞后的”.已知函数，不是“滞后的”，则的取值范围是 .
21．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 .
22．（2025·陕西·模拟预测）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一､其解析式为.则对于任意实数，函数至少有一个零点 .
23．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 .
24．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
25．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
26．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
27．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
28．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
2.9 函数的零点与方程的解
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc200654431" 01 课标要求 PAGEREF _Tc200654431 \h 2
\l "_Tc200654432" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200654432 \h 3
\l "_Tc200654433" 一、函数的零点 PAGEREF _Tc200654433 \h 3
\l "_Tc200654434" 二、二分法 PAGEREF _Tc200654434 \h 3
\l "_Tc200654435" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200654435 \h 4
\l "_Tc200654436" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200654436 \h 5
\l "_Tc200654437" 题型一：函数零点所在区间的判定 PAGEREF _Tc200654437 \h 5
\l "_Tc200654438" 题型二：函数零点个数的判定 PAGEREF _Tc200654438 \h 7
\l "_Tc200654439" 题型三：根据函数零点个数求参数 PAGEREF _Tc200654439 \h 11
\l "_Tc200654440" 题型四：根据函数零点的范围求参数 PAGEREF _Tc200654440 \h 14
\l "_Tc200654441" 题型五：用二分法求方程的近似解 PAGEREF _Tc200654441 \h 17
\l "_Tc200654442" 题型六：半分离参数法求零点问题 PAGEREF _Tc200654442 \h 19
\l "_Tc200654443" 题型七：嵌套函数与零点问题 PAGEREF _Tc200654443 \h 23
\l "_Tc200654444" 题型八：共零点问题 PAGEREF _Tc200654444 \h 28
\l "_Tc200654445" 题型九：零点比大小问题 PAGEREF _Tc200654445 \h 33
\l "_Tc200654446" 题型十：不动点问题 PAGEREF _Tc200654446 \h 37
\l "_Tc200654447" 题型十一：等值线问题 PAGEREF _Tc200654447 \h 40
\l "_Tc200654448" 题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值 PAGEREF _Tc200654448 \h 43
\l "_Tc200654449" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200654449 \h 46
\l "_Tc200654450" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200654450 \h 51
\l "_Tc200654451" ①数形结合 PAGEREF _Tc200654451 \h 51
\l "_Tc200654452" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200654452 \h 55
\l "_Tc200654453" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200654453 \h 57
\l "_Tc200654454" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200654454 \h 61
\l "_Tc200654455" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200654455 \h 61
\l "_Tc200654456" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200654456 \h 73
1、理解函数的零点与方程的解的联系.
2、理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3、了解用二分法求方程的近似解.
一、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数，使的实数叫做函数的零点.
（2）方程根与函数零点的关系
方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为.
（3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.
（4）零点存在性定理
如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一.
②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点.
函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”.
③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点.
④设，若在上有零点，则；
二、二分法
①二分法的概念
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②用二分法求方程近似解的步骤
（1）确定区间，验证，给定精确度；
（2）求区间的中点；
（3）计算，
（i）若，则就是函数的零点；
（ii）若，则令
（iii）若，则令
（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4）
常用二级结论
(1)若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
题型一：函数零点所在区间的判定
【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数．
且，则．
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是．
故选：C.
【解题总结】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】B
【解析】求导得，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
根据，，
当时，，可作出图象：
所以当时，，
根据图象可知，，
所以恒有，故B正确，
由于，，所以，故C错误，
故选：B.
【变式1-2】已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
其为上的单调递减函数，
其中，，
故只有一个零点，
又，，
又，所以，
或，
若，则，
若，则，
故，D正确，C错误；或，AB错误.
故选：D
【变式1-3】函数的零点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数是连续增函数，，，
所以函数的零点在内，所以，
故选：C．
【变式1-4】方程的根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数，
因为，，，
由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为.
故选：C.
题型二：函数零点个数的判定
【例2】（2025·吉林·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由的零点，
转化为的零点，
因为均为减函数，
在上单调递减且，
又，
，
若存在，使得，只需，
则即可，存在值，
在上有且只有一个零点，即有且只有一个零点.
故选：B
【解题总结】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令,方程有多少个不同的实数根,则有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
【变式2-1】（2025·高三·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由题设，则或时，时，，
所以在上递增，在上递减，且，
由，即，而在R上递增，在R上递减，
显然，故，
所以，又趋向时趋向趋向时趋向，
综上，共有3个零点．
故选：D
【变式2-2】函数在定义域内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】函数分别是R上的减函数和增函数，则函数是减函数，
而，，
所以函数在R上的零点个数是1.
故选：B
【变式2-3】已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】当时，易知单调递增，则；
当时，，则，
令，解得，令，解得，
当时，，令，
令，由函数与函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，所以，
故函数在上无零点；
当时，，
令，则，化简可得，
，由对称轴，
当时，，当时，，
所以方程在有两个不相等的实数根，
故函数在上有两个零点；
当时，，令，
整理可得，易知该函数在上单调递减，则，
可得，由函数与函数在上单调递增，
则在上单调递增，所以，
故在上无零点.
综上所述，函数在其定义域内有两个零点.
故选：C.
【变式2-4】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则函数的零点个数为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，
据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，
绘制函数图像如图所示，
注意到，
故方程的，
则原问题转化为求方程时解的个数之和，
由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.
本题选择B选项.
题型三：根据函数零点个数求参数
【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
为偶函数，
，设，，
则在有唯一零点．，当且仅当取等号．
若,时，，则在单调递增，
又因为，所以在有唯一零点
若,时，令得，即，
解得或，
其中，满足要求，
，
其中，故在时恒成立，
所以，即，不合要求，
当时，，则在单调递减，
所以，时，，
故在有1个零点．
又，所以在上有两个零点，不满足题意，
故的取值范围为．
故选：C.
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，令函数，其定义域为，
，函数为奇函数，
依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点，
求导得，函数在上单调递减，
曲线在点处的切线方程为，令，
求导得，函数在上单调递减，
当时，；当时，，
即当时，；当时，；当时，，
作出的图象，如图：
观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点，
所以m的取值范围是.
故选：B.
【变式3-2】（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．（，1）D．
【答案】B
【解析】因为，
若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意；
若，当时，，
则在上单调递增，且，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
要使恰有三个零点，则，解得；
若，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，，
所以在上单调递增，且，
要使恰有三个零点，则，解得；
综上可得实数的取值范围是.
故选：B
【变式3-3】（2025·湖南邵阳·三模）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，令，即且，
故图象是以为圆心，2为半径的半圆，
又的周期为8，若直线过时，即，
在同一坐标系，在区间上的图象如下，恰有8个交点，
当直线与半圆且相切时，，
所以，可得，结合图知，
当与半圆且相交时，只有一个交点，
此时，上，恰有5个交点，
综上，实数的取值范围是.
故选：C
题型四：根据函数零点的范围求参数
【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，由可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式4-1】已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】显然，否则函数有两个零点，不符合题意，
函数，求导得，
当时，由，得或，函数在上单调递增，
，则函数在上有一个零点，不符合题意；
当时，由，得或，由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
而，则在上有唯一零点，
因为有且只有一个零点，且，则当且仅当，于是，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【变式4-2】（2025·高三·江西抚州·期中）若函数在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数，
设为函数在上的零点，则，
即，即点在直线上，
又表示点到原点的距离的平方，则，即，
令，则，
因为，所以，在单调递增.
所以最小值为.
故选：A
【变式4-3】函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【解析】令，
因为，
所以函数图象与轴有两个交点，
因为函数在上存在零点，且函数图象连续，
所以，或，
所以，或，
解得或
故选：B
题型五：用二分法求方程的近似解
【例5】用二分法求函数在区间内的零点时，需要的条件是（ ）
①在区间上是连续不断的；②；③；④．
A．①②B．①③C．①④D．②③
【答案】A
【解析】根据二分法定义得①②正确．
【解题总结】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
【变式5-1】设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确.
【变式5-2】已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C
【解析】判断n次时，区间长度为，由，得，得，即．
【变式5-3】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原始区间长度为，
第一次，区间长度减半，为，
第二次，区间长度减半，为，
第三次，区间长度减半，为，
第四次，区间长度减半，为，
故至少需要重复四次.
故选：B.
【变式5-4】下列函数零点不能用二分法求出的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，
交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确；
对于B选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，当且仅当时，等号成立，
在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确；
对于C选项，由题意可知只有一个零点，
且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误；
对于D选项，，
在单调递增，单调递减，所以，
则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确.
故选：C
题型六：半分离参数法求零点问题
【例6】已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题设，定义域为，则可得，
令，则，
所以时，即递增，值域为；
时，即递减，值域为；
而恒过，函数图象如下：
要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，
所以，即.
故选：C
【解题总结】
半分离参数法
【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数存在唯一的整数，使得，
设与,
即存在唯一的整数，使得在直线上方,
，当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减，,，
若要存在唯一的整数，使得在直线上方，
则或，代入得或，
解得,
故答案为：.
【变式6-2】设函数，,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是
【答案】
【解析】函数的大致图像如图所示，
当时，，无解，，不止一个整数解，不合题意；
当时，如①所示，，不止一个整数解，不合题意；
当时，若直线经过点时，
此时，无整数解，故当时，恰有一个整数解，而此时，无解，符合题意；
若直线经过点时，此时，无整数解，
时，无整数解，
若直线经过点时，此时，无整数解，时，恰有一个整数解，即，
综上，的取值范围是.
【变式6-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数，则的最小值是 ，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的一个取值为 .
【答案】 1（答案不唯一，即可）
【解析】当时， ，
易知当时，有最小值；
当时，，
由，得，则，此时最小值为；
综上：函数的最小值为.
因为方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，
作出函数的图像，由于a为整数，如图所示，只有函数和的图像与函数的图像有四个不同的交点，
所以整数a的取值可以为中的一个.
故答案为：；1（答案不唯一，即可）
【变式6-4】若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
设，，由题设原不等式有唯一整数解，
即在直线下方，，
在递减，在递增，
故，恒过定点，
结合函数图像得，即．
故答案为：
题型七：嵌套函数与零点问题
【例7】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】⑴ 当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，函数图象如下：
令，，解得或，
即或，根据图象有2个解，有1个解，
所以此时有3个零点，不符合题意；
当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：
令，，解得或或，
根据图象有2个解，有3个解，
又有8个零点，所以要有3个解，
即，解得，
故选：D.
【解题总结】
（1）针对多个根的取值范围问题，需构建新函数以明确取值区间。
（2）以二次函数作外函数时，可借助参变分离简化运算，但需具备扎实函数基础。
【变式7-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，则得或
三次函数有两个零点，且程有四个实数根，
所以只需或共有四个根即可，
所以或.
又方程有四个实数根，则或共有四个根.
在,上单调递增，在单调递减.
当时，，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)
则，即，解得.
当，得，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)
则，即，解得.
综上所述，当时，方程有四个实数根.
故选：C
【变式7-2】（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】由得，解得或，
画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，）
故选：D.
【变式7-3】（2025·山西吕梁·三模）已知函数有三个零点，则三个零点之和为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】令，则，函数可转化为.
因为函数有三个零点，所以函数也有三个零点.
是偶函数，其图象关于轴对称.
因为有三个零点，根据偶函数的性质可知，必有一个零点为.
将代入中，可得，即，因式分解得.
因为，所以，解得.
当时，.
当时，，令，即，因式分解得，解得或.
因为是偶函数，所以当时，，令，即，因式分解得，解得或.
所以的三个零点为，，.
因为，，所以当时，；当时，；当时，.
即的三个零点为，，.
三个零点之和为.
故选：D.
【变式7-4】（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（ ）.
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】令，则，所以，
解得，解得或，
当时，，求导得，
令，则，解得，
若时，，若，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，
当时，在上单调递增，且，
所以有3个解，有2个解，
所以的零点个数为5个.
故选：D.
【变式7-5】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】的图象如图：
方程有8个不同的根，令，则有两个不同的根，，且，的范围是，所以，解得.
故选：C.
【变式7-6】已知函数，若关于x的方程有8个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则方程化为，
作出函数的图象，如图所示：
因为方程有8个不相等的实数根，
所以方程，在上有两个不相等的实数根，
令，
则，
解得，
故选：B
【变式7-7】已知函数，关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，由，得，
设关于的二次方程的两根分别为、，
如下图所示：
由于关于的方程有8个不等的实数根，
则，，设，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
题型八：共零点问题
【例8】对于任意的，不等式恒成立，则实数（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】令，易知在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
令，则在上连续，
因为不等式恒成立，
所以当时，，当时，，
由零点存在性定理可知，即，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，则，
所以，解得，
故选：C
【解题总结】
共零点问题：此类问题往往是的形式，其特征是两个函数具备相同的零点．
【变式8-1】设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】令，则，令，则，
当时，恒成立，此时不符合恒成立；
当时，令，则，因为恒成立，
所以，所以，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
故答案为：2
【变式8-2】已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【解析】设.
由已知，在单调递增，
当时，；当时，.
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意，则当时，；当时，.
所以是方程的根，则，即，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值是.
故选：B.
【变式8-3】设函数，若在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函数，
（1）和与轴的交点都在原点左侧，如图：
此时，当时，，，恒成立，
∴，即
∴，；
（2）和与轴的交点不在原点同侧，如图：
或
有图可知，均存在区间或使得函数，故舍去；
（3）和与轴的交点都在原点右侧，
①当两个零点不重合时，如图：
或
显然此时，存在或使得，故舍去；
②当两个零点重合且，时，如图：
此时，当时，恒成立，
故，∴
∴
综上所述：，
故选：B
【变式8-4】（2025·高三·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，.
因为，所以在上单调递增.
当时，；当时，.
因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，
即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.
由题意可得，，则当时，；当时，，
所以是方程的根，则，即，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：A.
题型九：零点比大小问题
【例9】已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，，
设函数，，
函数在上单调递增，，则当时，；
令，则，若恒成立，则，否则，
下面验证时存在满足题意，
不妨令，则，在处的导数值为，取，此时，
设函数，要证恒成立，只需证恒成立，
，当时，，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，所以的最大值为e.
故选：D
【解题总结】
针对双参数比值型问题，可采用零点比大小法求解。具体而言，先将曲线与直线分离，分别绘制二者图像并确定其零点。需留意，直线零点往往对应待求双参数比值，当直线零点与曲线零点重合之际，该双参数比值可取得最值。
【变式9-1】已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】令，由不等式对任意实数恒成立等价于，
所以，令有，令，
由有，有，所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以，
令，
所以，令有，
由有，由有，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
故答案为：.
【变式9-2】已知不等式对任意的实数t恒成立，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】依题意可知对任意的实数t恒成立．
设，则．
当时，，在R上单调递增，当时，，不合题意．
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，．
因为对任意的实数t恒成立，
故恒成立，
即恒成立，
则恒成立．
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
故，
故，当，时等号成立，故的最大值为．
故答案为：
【变式9-3】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 .
【答案】
【解析】由题意可知，令，
当时，研究函数与的图象，
因为，当时，，所以函数单调递减，
当时，，所以函数单调递增，
所以函数有最小值为，
而为单调递减的直线，如图，
此时不恒成立，不符合题意；
当时，，
令，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解，
设解为，则，且，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
由题意恒成立，所以，
所以，
当且仅当时取等号，此时.
【变式9-4】若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【解析】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
【变式9-5】（2025·高三·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】，则，
所以不等式恒成立，即，恒成立，
，，所以
设，
，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取值最大值，
所以，即，
当时，，
当时，，
设，，，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
题型十：不动点问题
【例10】设函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是
A．［ln3－6，0］B．［ln3－6，ln2－2］
C．［2ln2－12，0］D．［2ln2－12，ln2－2］
【答案】A
【解析】根据题意曲线上存在点, 使得，即．
下面证明
假设，则，不满足，同理假设，不满足，
所以，
那么函数，即函数在有解；
所以，
令，则
由可得或（舍）
当时，，在上单调递减；
所以，即
故选A．
【解题总结】
1、有解有解．特别地，当函数单递增时，的解与的解相同．
2、无解无解．
3、有解有解．
4、无解无解．
【变式10-1】已知函数，若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，函数为增函数.若，则；
同理，若，则，均与题设条件不符.
由可得，且.
因此，关于的方程在上有解，
整理得在上有解.
设，则为上的减函数，
注意到，故，从而函数在上单调递增.
所以，.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【变式10-2】设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，存在，使，
解得，设，
则由，得（舍去）或，
则在上递减，在上递增，
又，，，
所以在的值域为，
即的取值范围是.
故选：B.
【变式10-3】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意，，而，即函数是奇函数，
由曲线上存在点，使得，
得存在，使得成立，函数在定义域内单调递增，
下面证明：成立，
假设，则，不满足，假设不成立，
假设，则，不满足，假设不成立，
因此，
则原问题等价于“在上有解”，即“在上有解”，
设，，求导得，
令，求导得，由，解得，
当时，；当时，，在上递减，在递增，
因此，函数在上单调递增，
于是的值域为，即，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
题型十一：等值线问题
【例11】（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象如下图所示：
依题意得：，且，则.
设，则，，，
所以，令，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
【解题总结】
数形结合
【变式11-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由图知，且，
由，得，即，故，
由，则，由，则，
所以，且在上单调递增，
所以.
故选：A
【变式11-2】已知函数，若方程有4个根分别为，，，，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出的图象如下：
因为方程有4个根，则函数的图象与直线有四个不同的交点，
由图象可得，；
又由题意可得，与是方程的两根，与是方程的两根，
则，则，
则.
故答案为：.
【变式11-3】（2025·山东·一模）已知，若有个根，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出的图象，如图，
不妨设，根据二次函数的对称性可得，
由对数函数的性质可得，.
若有个根，由图可知，从而易知，
于是.
因为，所以.
故答案为:.
题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值
【例12】（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】A
【解析】由得，
而，
故为偶函数.
由对称性，，从而
当时，
当时，，即无零点，
由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意.
故选：A
【解题总结】
（1）借助零点存在性定理构建相应不等式，进而求解参数的值或取值范围。
（2）通过分离参数，将问题转化为函数值域（最值）问题，以此确定参数的值或范围。
（3）把问题转化为两个熟知函数图像的上、下位置关系问题，构建不等式求解参数。
【变式12-1】已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】当时，则，，
由知，，则函数在区间单调递增；
当时，则，，
由知，，则函数在区间单调递减；
所以函数的最小值为，且当无限趋近于无穷大时，无限趋向于正无穷大，
当无限趋近于0时，无限趋向于正无穷大，
所以函数有唯一零点，则需，
所以.
故选：D
【变式12-2】（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】由于有唯一的零点，所以也有唯一的零点，
由于均为偶函数，所以为偶函数，
因此，故，
故选：C
【变式12-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】C
【解析】定义域为，
，所以函数为偶函数，
又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以，
当时，函数有唯一零点，符合题意；
当时，函数有零点，不符合题意舍；
故选：C.
【变式12-4】已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．1或
C．或1D．或2
【答案】A
【解析】函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，
则，，
所以，解得，
由为偶函数，关于对称，则关于对称，
又为偶函数，关于对称，则关于对称，
所以关于对称，
则有唯一零点一定在处取得，
故有，
化简得，解得或.
故选：A.
【变式12-5】（2025·山东·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，
故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，
∴，即．
故选：D．
1．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】原方程可转化为，
即或，
当时，；当时，，
方法1：要使得有3个不同的实根，则有或，
解得
方法2：作出的图象，如图所示，
当时，有1个实根，有1个实根，不符合题意；
当时，有1个实根，有2个实根，符合题意；
当时，有1个实根，有1个实根，不符合题意；
当时，有2个实根，有1个实根，符合题意；
当时，有1个实根，有1个实根，不符合题意；
综上， ．
故选
2．已知函数则方程为常数且的不同的实数根的个数为
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】解法一：由，得
，
，
作出函数和的图象如图所示，
易知函数的图象共有4个不同的交点，
即方程为常数且有4个不同的实数根．
故选
解法二：对于任意的，方程的解的个数是确定数，
因此不妨取特殊值，则或
令，
因为且其两根之积小于零，
所以该方程在上只有一个解．
令，因为且其两根之积大于零，两根之和大于零，
所以该方程在上有两个不同的解．
令，因为，
所以，
故无解．
令，因为，
所以，且在上单调递增，
故只有一个解．
综上，方程为常数且的不同的实数根的个数为4，
故选
3．已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】方法一．
令，则．所以为偶函数．
所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可．
当时，令，得．
令，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，0，所以在上单调递减．
因为在区间上存在唯一的整数，
所以，即．
所以的取值范围为．
方法二：．
令，则，所以为奇函数．
因为也是奇函数，
所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数．
易知，当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
当直线过点时，；
当直线过点时，．
因为与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数，
所以，所以的取值范围为．
方法三：由，得．
令，两函数均为偶函数，
所以只需考虑时，与的图象有两个交点，
且在区间上存在唯一整数．
如图，作的部分图象，根据图象易得，
所以解得，
所以的取值范围为．
故答案为：
①数形结合
1．已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数 有两个零点，
所以函数 的图象与函数 的图象有一个不同的交点，
函数 恒过定点 ，
，如图所示，
两个函数图象已经有一个交点 ，
时，
，其导函数 ，
当直线 与函数 相切时，只有一个交点 ，
此时 ，解得 ，
则当 时，有一个交点，
时， ，
其导函数 ，
当直线 与函数 相切时，只有一个交点 ，
此时 ，解得 ，
则当 时，有一个交点，
当时，两个函数图象有一个交点 ，
综上，要使函数 有一个零点，
则实数 a 的取值范围是
故选：
2．已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】若函数恰有4个零点，
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与图象如下：
两图象有2个交点，不符合题意，
当时，与x轴交于两点，
图象如图所示，
两图象有4个交点，符合题意，
当时，
与x轴交于两点，
在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需与在还有两个交点，即可，
即在还有两个根，
即在还有两个根，
函数，当且仅当时，取等号，
所以，且，
所以，
综上所述，k的取值范围为
故选：
3．已知函数，则函数的零点个数是
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【解析】令，设，则等价于，
因为的根，即为函数与的图象交点的横坐标，
分别作出函数与的图象，如图所示，
显然交点有两个，分别设横坐标为与，且，
由图可得，，
当时，观察函数与图象，有2个交点，
当时，观察函数与图象，有3个交点，
综合可得与共有5个交点，即的零点个数为5个．
②转化与化归
4．若函数在上有零点，则a的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知在上单调递减，
所以，即，
解得，
则a的取值范围为：
故选：
5．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在区间内恰有6个零点
又二次方程最多有两个零点，
至少有四个根，
，
令，即 ，，
，，
又，
，，
即，，
①当时，，有4个零点，即，
，有5个零点，即，
，有6个零点，即，
②当时，，
，
解得，
当时，，无零点，
当时，，有1个零点，
当时，，
的对称轴，即在对称轴的左边，
当时，即，有两个零点，
当时，即，有1个零点，
综合①②可得，
故选
6．函数，，若有两个零点，，的零点为，则关于的不等式不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令得，
则的零点即为与交点的横坐标，
令得，
则的零点即为与交点的横坐标，
画出，，的图象，
可得选项B、C、D可能成立，
故选
③分类讨论
7．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【解析】作出图象，如图：
令，则原方程即为，
记方程的两根为，，可知，，
①当时，，
当时，，此时方程恰有两个不同的实数根，满足题意；
当时，，此时方程仅有一个实数根，不满足题意；
②当时，或，此时，不妨设，
当时，，
则方程有三个不同的实数根，方程有一个实数根，不满足题意；
当时，，
此时方程和各有一个实数根且两根不相等，满足题意；
综上可知，实数k的取值范围为
8．对任意实数x，以表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，如，等．定义，x称它为的小数部分，如，等．若直线与的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】直线整理得：，直线恒过，
当时，，
又因为是周期为1的函数，
由与图象可知：
①时，当直线经过点时，有3个交点，则，
当直线经过点时，有4个交点，则，
当时，直线与有4个不同的交点；
②时，当直线经过点时，有3个交点，则，
当直线经过点时，有4个交点，则，
当时，直线与有4个不同的交点，
，
故答案为：
9．已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，
令得，故显然即：的所有解的乘积为
数形结合：的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标；
结合的图象可知：
当时：函数的图象与直线没有交点；
当时：函数的图象与直线有2个交点，即当时有2个解，，
且满足，故
又单调递增，且，此时与无交点，故
故
基础过关篇
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】令函数，
可得
，
即，所以函数的图象关于直线对称，
因为函数与恰有一个交点，所以，
可得，解得.
故选：C.
2．（2025·山东淄博·三模）若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】设，显然，
又
，
故为偶函数，
又有唯一零点，
由对称性可知的零点为0，
故，即，即，
解得或2，
所以上述关于的方程的非零实数解为2.
故选：C
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（ ）
A．8B．10C．12D．15
【答案】B
【解析】令，则，当时，，所以在区间内的零点个数即为在区间内的零点个数．
设在一个周期内的零点个数为，在内的零点个数为，则在内有个零点．
因为，由已知，．又，则．
因为在内有个零点，在内有2个零点，所以在区间内有10个零点．
故选：B.
4．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】，
由，得或，即或或，.
所以函数在区间的零点是 4个.
故选:D
5．（2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】因为，则，
所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减；
又，故可看作由函数向右平移1个单位得到，
所以的图象也关于对称；
又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根，
因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得.
故选：C．
6．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】由函数，
可得，
则，
所以函数是上的偶函数，
因为函数在上有且仅有一个零点，所以，即，解得．
故选：D．
7．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令f(x)=0，得 即
令 则 (1-e)t-1=0，
令 则
令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增；
令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.
令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.
当a