2025届新高考数学一轮复习精讲精练第08讲：第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数章节总结（精讲）（Word版附解析）

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第一部分：典型例题讲解
题型一：集合的表示
1．（2023上·辽宁·高一校联考期中）已知集合，且是中的一个元素，则（ ）
A．B．或3C．D．或
2．（多选）（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合，且，则 .
4．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）集合用列举法表示为 .
5．（2023上·广东·高一校联考期中）已知集合，则的子集个数为 ．
题型二：集合的基本关系
1．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）已知集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·吉林延边·高一统考期末）已知全集，集合.

(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)若非空集合，且，求实数的取值范围.
题型三：集合的基本运算
1．（2024·陕西·校联考一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024下·江西·高三校联考开学考试）设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为 ．
3．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知集合．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
4．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
间题：已知集合．
(1)当时，求；
(2)若___________，求实数的取值范围．
5．（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知集合，函数定义域为集合B．
(1)若，求实数a的取值范围．
(2)若，求实数a的取值范围．
题型四：充分条件与必要条件
1．（2024上·全国·高三校联考竞赛）设，集合．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022上·北京·高一校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·天津·高三校联考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024上·北京密云·高一统考期末）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·江苏南京·高一统考期末）设全集，已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·福建南平·高一统考期末）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）（2024上·四川广安·高一统考期末）“，”为真命题的充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
题型六：全称量词与存在量词
1．（2024下·广东·高三校联考开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
题型七：一元二次不等式
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）不等式的解集为 ．
3．（2015下·福建·高一校联考阶段练习）已知不等式的解集为或
(1)求的值
(2)解不等式．
4．（2023上·吉林白山·高一统考期末）解关于x的不等式：
(1)；
(2)．
5．（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
(2)求关于的不等式的解集.
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ．
3．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知二次函数，对任意都有，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围．
4．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．
5．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围．
6．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设定义域为的奇函数，（其中为实数）．
(1)求的值；
(2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型九：基本不等式及其应用
1．（2023上·新疆·高一校考期末）若正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
3．（2024上·广西·高一校联考期末）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．8D．
4．（多选）（2024上·河南驻马店·高一统考期末）已知正实数，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为4
5．（2023·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）已知，且，则的最小值为 ．
6．（2022上·河南·高二校联考期末）已知中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 .
7．（2022上·河南·高三校联考专题练习）若正数，满足，则的最小值为 ．
8．（2024下·湖北·高二应城市第一高级中学校联考开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ．
题型十：复数的综合应用
1．（2024下·陕西安康·高三统考开学考试）已知复数，则 （ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024下·江苏南通·高三统考开学考试）若，且是纯虚数，则（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知复数，其中且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知i为复数单位，，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2022·全国·模拟预测）已知复数z为纯虚数，且满足，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
第二部分：新定义题
1．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中学校考期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（ ）
A．若P有2个元素，则Q有3个元素
B．若P有2个元素，则有4个元素
C．若P有2个元素，则有1个元素
D．存在满足条件且有3个元素的集合P
3．（2015上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期中）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2023上·上海浦东新·高一校考期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”.
①集合是“完美集”；
②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；
③二元“完美集”有无穷多个；
④若，则“完美集”A有且只有一个，且.
其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号）
5．（2012·四川·统考一模）已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质：
（1）；（2）；（3）；
给出下列命题：①；
②若，则；
③若，且，则；
④若、、，且，，则．
其中所有正确命题的序号是 ．
6．（2023上·北京·高三北京四中校考开学考试）正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质.
(1)判断集合，是否具有性质；
(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．
(1)设函数，求集合和；
(2)求证：；
(3)设函数，且，求证：．