2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第06讲：拓展一：基本不等式(知识点+7大核心方法)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第06讲：拓展一：基本不等式(知识点+7大核心方法)(原卷版+解析)，共12页。试卷主要包含了基本不等式，两个重要的不等式，利用基本不等式求最值，对钩函数，常用技巧等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27924" 类型一：直接法 PAGEREF _Tc27924 \h 3
\l "_Tc28037" 类型二：凑配法 PAGEREF _Tc28037 \h 3
\l "_Tc14994" 类型三：分离法 PAGEREF _Tc14994 \h 4
\l "_Tc18684" 类型四：换元法 PAGEREF _Tc18684 \h 5
\l "_Tc23297" 类型五：常数代换“1”的代换 PAGEREF _Tc23297 \h 6
\l "_Tc21333" 类型六：消元法 PAGEREF _Tc21333 \h 7
\l "_Tc27805" 类型七：对钩函数 PAGEREF _Tc27805 \h 7
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、对钩函数：
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

5、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
基本不等式高频考点类型
类型一：直接法
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 .
精练高频考点
1．（2025高三下·湖南郴州·）函数的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（24-25高三上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．3D．2
3．（24-25高三下·湖南长沙）已知，则函数的最小值是 ．
类型二：凑配法
典型例题
例题1．（24-25高三上·湖南湘潭）已知，则的最小值为 ．
例题2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知，求的最小值；
（2）若，求的最大值.
.
精练高频考点
1．（24-25高二下·北京·期中）若函数在处取最小值，则（ ）
A．1B．2C．4D．2或4
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（ ）
A．B．C．D．
类型三：分离法
典型例题
例题1．（24-25高三上·浙江杭州·期中）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.
例题2．（24-25高三上·四川泸州·阶段练习）当时，求的最小值；
精练高频考点
1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）（1）当时，求的最小值；
2．（23-24高三上·河北沧州·期中）解答下列问题：
已知，求函数最小值．
类型四：换元法
典型例题
例题1．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 .
例题2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）解决下列问题：
求函数的最小值；
精练高频考点
1．（23-24高三上·浙江台州·阶段练习）若实数满足，则的最大值为 .
2．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数（a，b为实数）过点
对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
类型五：常数代换“1”的代换
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（ ）
A．9B．18C．27D．36
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为 ．
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·青海·阶段练习）若正数满足，则的最小值是 .
类型六：消元法
典型例题
例题1．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ．
精练高频考点
1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．5C．D．7
2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
类型七：对钩函数
典型例题
例题1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（ ）
A．2B．C．3D．4
例题2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ．
2．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知，若函数有零点，则的取值范围是 .
函数
（）
常考对钩函数
（）
定义域
定义域
值域
值域
奇偶性
奇函数
奇偶性
奇函数
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
第06讲：拓展一：基本不等式
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27924" 类型一：直接法 PAGEREF _Tc27924 \h 3
\l "_Tc28037" 类型二：凑配法 PAGEREF _Tc28037 \h 4
\l "_Tc14994" 类型三：分离法 PAGEREF _Tc14994 \h 6
\l "_Tc18684" 类型四：换元法 PAGEREF _Tc18684 \h 8
\l "_Tc23297" 类型五：常数代换“1”的代换 PAGEREF _Tc23297 \h 11
\l "_Tc21333" 类型六：消元法 PAGEREF _Tc21333 \h 13
\l "_Tc27805" 类型七：对钩函数 PAGEREF _Tc27805 \h 15
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、对钩函数：
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

5、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
基本不等式高频考点类型
类型一：直接法
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号．故当时，的取值范围是．
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 .
【答案】16
【知识点】基本不等式求和的最小值
【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.依题意得，所以.
精练高频考点
1．（2025高三下·湖南郴州·）函数的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式直接求最值即可.
【详解】由题：,
当且仅当时取等号，所以的最小值为9，
故选：D.
2．（24-25高三上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．3D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可.
【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3.
故选：C
3．（24-25高三下·湖南长沙）已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式直接求函数的最小值.
【详解】当时，由基本不等式可知，当且仅当即时等号成立.
故函数的最小值是.
故答案为：.
类型二：凑配法
典型例题
例题1．（24-25高三上·湖南湘潭）已知，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可.
【详解】由于，所以，故，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：3
例题2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知，求的最小值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）10；（2）8
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）将变形为，利用基本不等式即可求得结果；
（2）将变形为，利用基本不等式即可求得结果；
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值是10.
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为8.
精练高频考点
1．（24-25高二下·北京·期中）若函数在处取最小值，则（ ）
A．1B．2C．4D．2或4
【答案】B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，解得.
故选：B
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此取到最大值．
故选：B.
类型三：分离法
典型例题
例题1．（24-25高三上·浙江杭州·期中）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.
【答案】6，
【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可.
【详解】当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，的最小值为6.
例题2．（24-25高三上·四川泸州·阶段练习）当时，求的最小值；
【答案】
【知识点】根据全称命题的真假求参数、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】将代数式化为，利用基本不等式可求得该代数式的最小值；
【详解】因为，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，当时，的最小值为.
精练高频考点
1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）（1）当时，求的最小值；
【答案】（1）
【知识点】由基本不等式证明不等关系、二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解；
【详解】（1），，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，函数的最小值为.
2．（23-24高三上·河北沧州·期中）解答下列问题：
已知，求函数最小值．
【答案9.
【知识点】基本（均值）不等式的应用、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】对函数进行配凑得，再利用基本不等式即可求出答案.
【详解】因为，，
当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为9.
类型四：换元法
典型例题
例题1．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】指数型函数图象过定点问题、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
例题2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）解决下列问题：
求函数的最小值；
【答案】10.
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】令，则，后由基本不等式可得答案.
【详解】令，则，
∴
当且仅当即时取等号
∴的最小值为10.
精练高频考点
1．（23-24高三上·浙江台州·阶段练习）若实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【解析】令，可得，则，进而可得，然后求出最大值即可.
【详解】令，则，即，
所以，
当时，；
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查由基本不等式求最值，解题关键是代数式的变形，即设，将原式转化为，从而得出可用基本不等式的形式.
2．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数（a，b为实数）过点
对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】.
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】将问题化为对恒成立，应用换元法及基本不等式求右侧在对应区间内的最大值，即可得参数范围.
【详解】∵，恒成立，即恒成立，
∴恒成立，又，
∴对恒成立，只需，
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时等号成立，
所以实数a的取值范围时．
类型五：常数代换“1”的代换
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（ ）
A．9B．18C．27D．36
【答案】C
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值
【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为 ．
【答案】/0.5
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题意得，再用基本不等式解题即可.
【详解】由得，
所以
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
故答案为：
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.
【详解】由，
，
当且仅当时，等号成立.
故选：B．
2．（24-25高三上·青海·阶段练习）若正数满足，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由条件可得，故展开，结合基本不等式求其最小值.
【详解】由，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
类型六：消元法
典型例题
例题1．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正实数，满足，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：C.
例题2．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ．
【答案】27
【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可．
【详解】因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．5C．D．7
【答案】D
【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.
【详解】，，可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为7.
故选：D.
2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】利用基本不等式可得最值.
【详解】根据题意，，可得，
则，
设，则，原式为，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
类型七：对钩函数
典型例题
例题1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】CD
【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由根与系数的关系可求出，，再由基本不等式求出，结合双勾函数的单调性即可得出答案.
【详解】∵的解集为，
∴，且方程的两根为，，
∴，，∴，∵，，∴，
∴，即，当且仅当时取“=”，
故，而，对勾函数在上单调递增，
∴，∴的取值范围为.
故选：CD.
例题2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对勾函数求最值
【分析】分离参数后，结合函数单调性得参数范围．
【详解】，因此由得，
由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增，
时，，时，，因此时，的最大值是，
所以，即的范围是．
故答案为：
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值
【分析】根据不等式可得，即可利用对勾函数的单调性求解。
【详解】因为正实数a，b满足，故，当且仅当时等号成立，，
由于函数在单调递减，故，
故答案为：
2．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知，若函数有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求平方和型目标函数的最值、基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值
【分析】令得到方程有实数根，将其看成关于的直线方程，则的最小值为原点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式得到，换元后由基本不等式和对勾函数得到最小值，得到答案.
【详解】令得，，
由题意可知，方程有实数根，
将关于的方程看成关于的直线方程，
则可视为直线上的点到原点的距离的平方，
其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以距离的平方
，
令，则，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
则，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：有实数根，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式进行求解.
函数
（）
常考对钩函数
（）
定义域
定义域
值域
值域
奇偶性
奇函数
奇偶性
奇函数
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
单调性
在，上单调递增；在，单调递减