2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第06讲对数与对数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第06讲对数与对数函数(精讲)(原卷版+解析)，文件包含第五章遗传的基本规律讲义浙江专用原卷版docx、第五章遗传的基本规律讲义浙江专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32368" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc32368 \h 1
\l "_Tc27733" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc27733 \h 3
\l "_Tc19689" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc19689 \h 4
\l "_Tc12114" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc12114 \h 4
\l "_Tc13019" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc13019 \h 4
\l "_Tc16995" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc16995 \h 5
\l "_Tc13838" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc13838 \h 5
\l "_Tc25141" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc25141 \h 6
\l "_Tc15994" 角度1：求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc15994 \h 6
\l "_Tc25839" 角度2：求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc25839 \h 6
\l "_Tc26479" 角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc26479 \h 7
\l "_Tc18247" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc18247 \h 8
\l "_Tc22249" 角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc22249 \h 8
\l "_Tc10998" 角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc10998 \h 9
\l "_Tc13476" 角度3：对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc13476 \h 10
\l "_Tc6668" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc6668 \h 11
\l "_Tc26283" 角度1：对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc26283 \h 11
\l "_Tc15803" 角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc15803 \h 12
\l "_Tc10098" 角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc10098 \h 12
\l "_Tc27786" 角度4：对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc27786 \h 14
\l "_Tc27072" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc27072 \h 14
\l "_Tc21263" 角度1：求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc21263 \h 14
\l "_Tc24825" 角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc24825 \h 16
\l "_Tc21418" 角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc21418 \h 16
\l "_Tc30842" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc30842 \h 18
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习） ．
例题2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）
精练高频考点
1．（2025高一上·全国·专题练习）计算： ．
2．（2025高三·全国·专题练习）计算：．
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（多选）（25-26高三上·全国·课后作业）若，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）（1）设，求的值；
（2）已知，且，求；
（3）求的值．
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高二下·湖南郴州·）（ ）
A．B．C．D．
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高三上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（ ）
A．3B．C．2D．
精练高频考点
1．（多选）（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ．
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25高三上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高三上·广东深圳·期末）函数的定义域为 .
精练高频考点
1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河南漯河·阶段练习）函数的定义域是 ．
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·单元测试）函数，的值域是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024高三·河南）函数的值域是 .
精练高频考点
1．（23-24高三·全国·课后作业）已知函数，则f（x）的值域是（ ）
A．B．[﹣，2]C．[0，2]D．[0，]
2．（23-24高三上·全国·课后作业）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．RC．D．
例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）求解下列各题
(1)已知，求的最大值与最小值.
(2)求函数的值域.
精练高频考点
1．（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数，则的值域为 .
2．（23-24高二下·甘肃武威·期中）函数的值域是 .
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．]
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，求a的取值范围．
精练高频考点
1.（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数（ ）
A．1B．2或C．4D．4或
2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）函数的值域为，则实数a的取值范围是 .
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2025高二下·湖南郴州·）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（ ）

A．B．
C．D．
例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．D．
2．（23-24高三·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．

角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（24-25高三下·海南·阶段练习）已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ．
例题2．（2025·河南·三模）函数过定点A，若，则的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
精练高频考点
1．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
2．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 .
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
例题2．（2025·山东潍坊·一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
①；②在上是增函数．
精练高频考点
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）函数的单调递增区间是 .
3．（24-25高三上·山西运城·期末）函数的单调递减区间是 ．
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
2．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25高三上·北京西城·阶段练习）已知函数.
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)若，求的取值范围.
例题2．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求x的取值范围．
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数是指数函数.
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明；
(3)解不等式：.
2．（24-25高三上·山东临沂·期末）已知函数为偶函数.
(1)求a的值；
(2)若，求m的取值范围.
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2025·天津南开·二模）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为 ．
例题2．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求函数的值域
精练高频考点
1．（23-24高三上·吉林延边·期末）设函数，且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最小值.
2．（23-24高三上·陕西延安·期末）设，且．
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最值.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（23-24高三上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ．
例题2．（22-23高三上·安徽合肥·阶段练习）若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为 .
精练高频考点
1．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A．0B．1C．3D．5
2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知函数（为常数，），且是偶函数.
(1)求的值；
(2)若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.
例题2．（24-25高三上·山西太原·开学考试）已知函数．
(1)证明函数为奇函数；
(2)设函数，若，使得，求实数的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
2．（24-25高三上·山西·期末）已知函数．
(1)当时，解方程；
(2)若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围．
第四部分：典型易错题型
备注：对数型复合函数容易忽略定义域
1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的单调递减区间为（ ）．
A．B．C．D．
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知是上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
第06讲 对数与对数函数
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32368" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc32368 \h 1
\l "_Tc27733" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc27733 \h 3
\l "_Tc19689" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc19689 \h 5
\l "_Tc12114" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc12114 \h 5
\l "_Tc13019" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc13019 \h 6
\l "_Tc16995" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc16995 \h 8
\l "_Tc13838" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc13838 \h 9
\l "_Tc25141" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc25141 \h 11
\l "_Tc15994" 角度1：求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc15994 \h 11
\l "_Tc25839" 角度2：求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc25839 \h 12
\l "_Tc26479" 角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc26479 \h 14
\l "_Tc18247" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc18247 \h 16
\l "_Tc22249" 角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc22249 \h 16
\l "_Tc10998" 角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc10998 \h 18
\l "_Tc13476" 角度3：对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc13476 \h 20
\l "_Tc6668" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc6668 \h 22
\l "_Tc26283" 角度1：对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc26283 \h 22
\l "_Tc15803" 角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc15803 \h 24
\l "_Tc10098" 角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc10098 \h 26
\l "_Tc27786" 角度4：对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc27786 \h 29
\l "_Tc27072" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc27072 \h 30
\l "_Tc21263" 角度1：求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc21263 \h 30
\l "_Tc24825" 角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc24825 \h 33
\l "_Tc21418" 角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc21418 \h 35
\l "_Tc30842" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc30842 \h 41
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习） ．
【答案】1
【知识点】对数的运算
【分析】利用对数的运算法则即可求解.
【详解】
．
故答案为：1.
例题2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）
【答案】7
【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用
【分析】分别用指数幂运算法则、对数恒等式、对数运算法则算出、、的值，再代入原式得出结果.
【详解】第一步：根据指数幂的运算法则，
第二步：根据对数恒等式，
第三步：根据对数运算法则，
第四步：将上述计算结果代入原式可得：
故答案为：.
精练高频考点
1．（2025高一上·全国·专题练习）计算： ．
【答案】11
【知识点】对数的运算性质的应用
【详解】原式．
2．（2025高三·全国·专题练习）计算：．
【答案】
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【分析】将对数换成同底的形式进行化简，即可求解.
【详解】
.
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（多选）（25-26高三上·全国·课后作业）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【详解】，所以，所以，故A正确，B错误；，故C错误，D正确．
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）（1）设，求的值；
（2）已知，且，求；
（3）求的值．
【答案】（1）1；（2）；（3）3
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【详解】解：（1）解法1 由，得，由换底公式得，所以．
解法2 由，两边同时取以6为底数的对数，得，所以，所以．
（2）令，所以，所以，由，得，所以，所以．
（3）原式．
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算
【详解】．
2．（2025高二下·湖南郴州·）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】运用换底公式化简计算
【分析】利用换底公式可得出所求代数式的值.
【详解】.
故选：C.
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】由对数的真数大于0列式即可求.
【详解】由题可得，解得或，
故实数的取值范围为．
故选：D
例题2．（24-25高三上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】C
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内．
【详解】解：，
所以，
，
所以，
故选：C．
精练高频考点
1．（多选）（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可.
【详解】要使有意义，则，解得或，
所以a的取值范围是.
故选：BC.
2．（24-25高三上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得.
【详解】依题意，，解得且，
所以的取值范围是.
故答案为：
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25高三上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域
【分析】根据对数函数的特点以及分母不等于0即可得到不等式组，解出即可.
【详解】函数的定义域需满足，解得且，
故选：D
例题2．（24-25高三上·广东深圳·期末）函数的定义域为 .
【答案】或
【知识点】求对数型复合函数的定义域
【分析】根据真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果.
【详解】要使得函数有意义，则，即，
解得或.故的定义域：或.
故答案为：或.
精练高频考点
1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】使分母不等于，及对数的真数大于即可求解.
【详解】要使有意义，则有，解得且，
所以的定义域为.
故选：D.
2．（24-25高三上·河南漯河·阶段练习）函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据对数真数大于零、偶次根式底数不小于零可构造不等式组求得结果.
【详解】由题意，，解得，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·单元测试）函数，的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域.
【详解】函数在定义域上单调递减，
当时，，即，且当时，
所以函数，的值域是.
故选：A
例题2．（2024高三·河南）函数的值域是 .
【答案】
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【分析】确定函数的单调性可得最大值和最小值，从而得值域．
【详解】因为函数和在上都是增函数，
所以在上是增函数，所以，，
函数值域为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求函数的值域，考查对数函数的性质，确定函数单调性是求函数值域的常用方法．
精练高频考点
1．（23-24高三·全国·课后作业）已知函数，则f（x）的值域是（ ）
A．B．[﹣，2]C．[0，2]D．[0，]
【答案】A
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【解析】利用对数函数的单调性求解即可．
【详解】函数是减函数，
所以函数的最小值为：，
函数的最大值为：．
函数的值域为：．
故选：A
【点睛】本小题主要考查对数函数的值域，属于基础题.
2．（23-24高三上·全国·课后作业）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性
【分析】利用换元法和对数函数的性质即可求得函数的值域．
【详解】令，则，
又在上单调递增，
所以，
故函数的值域为．
故选：B．
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．RC．D．
【答案】A
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求对数型复合函数的值域
【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域
【详解】由，得，
令，则，
因为，，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以，
所以函数的值域为，
故选：A
例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）求解下列各题
(1)已知，求的最大值与最小值.
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域
【分析】根据复合函数,求最值和值域，求出内层函数的值域，然后再求外层函数的值域.
【详解】（1）令，因为，所以
则变为
所以当，时即，
当时，也就是时， 即.
（2）函数的定义域满足即
，所以定义域为，又因为
，
，所以
故函数的值域为
精练高频考点
1．（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数，则的值域为 .
【答案】
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【解析】根据对数函数的单调性即可求出.
【详解】因为在上单调递减，所以，
所以的值域为.
故答案为：.
2．（23-24高二下·甘肃武威·期中）函数的值域是 .
【答案】
【知识点】求对数型复合函数的值域
【分析】设，求出的范围，再根据的单调性可求得结果.
【详解】设，则，
因为在上单调递减，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性求函数的值域，属于基础题.
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．]
【答案】D
【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可，
【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数，
若，则，符合题意，
若，则需，解得，∴a的范围为，
故选：D．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，求a的取值范围．
【答案】
【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】由函数值域转化成值域要取遍，且不能多取．即可求解；
【详解】的值域为，
设，命题等价于的值域要取遍，且不能多取．
∴，解得．
故a的取值范围是．
精练高频考点
1.（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数（ ）
A．1B．2或C．4D．4或
【答案】D
【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】分析可知的最大值为4，结合二次函数最值运算求解即可.
【详解】令
因为在定义域内为增函数，且最大值为1，
可知的最大值为4，则，解得，
经验证均满足题意.
故选：D.
2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）函数的值域为，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】分和两类讨论，根据对数函数的性质结合二次函数的性质即可得出结论.
【详解】由题意可知，只需满足函数的值域取遍大于的所有数即可.
当时，，符合题意，
当时，只需满足即可，解得，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2025高二下·湖南郴州·）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状
【分析】先求得函数为偶函数，图象关于轴对称，当时，，结合对数函数的性质，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且，
所以选项D符合题意.
故选：D.
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状
【分析】化简对数型函数后可得正确的选项.
【详解】因，故，故，
而与关于对称，
各选项中只有B满足，
故选：B.
精练高频考点
1．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状
【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解.
【详解】令，由或，
所以的定义域为，故可以排除AB选项，
令有，故C错误，D正确.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状
【分析】根据指数函数与对数函数的图象和性质求解.
【详解】若，则在上是增函数，在上是减函数；
若，则在上是减函数，在上是增函数，
综上，这两个函数中，一个是增函数，另一个是减函数，故排除A，C，D．
又由于的定义域为，其图象只能在y轴左侧，B正确．
故选：B.
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得.
【详解】由图象可知函数是减函数，所以；
当时，，所以．
故选：C.
例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数为减函数，
对数函数为增函数，
所以，
即.
故选：B
精练高频考点
1．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、对数函数图象的应用、对数函数单调性的应用
【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.
【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以；
因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以.
故选：D
2．（23-24高三·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．

【答案】
【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】由对数函数的图象与性质判断
【详解】由题图可知，，，．
直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，，
故答案为：
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（24-25高三下·海南·阶段练习）已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ．
【答案】3
【知识点】对数型函数图象过定点问题、求幂函数的值
【分析】利用对数型函数图象特征求出点坐标，进而求出的值.
【详解】函数中，当，即时，恒有，则点，
由幂函数的图象过点，得.
故答案为：3
例题2．（2025·河南·三模）函数过定点A，若，则的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出的关系式，再借助＂1＂的妙用计算作答．
【详解】当，即时，恒有，即过定点，
因为，所以点在上，
则，且，
于是得，
当且仅当，即时取＂＂，由且得：，
所以当时，取得最小值8．
故选：C
精练高频考点
1．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
【答案】
【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题
【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可.
【详解】令，可得.
所以定点的坐标为.
故答案为：.
2．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由对数函数性质确定定点坐标，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由函数（，）可知定点，
又因为点A在一次函数上，所以，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故答案为：
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性
【分析】根据二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可.
【详解】由得，解得或，
所以函数的定义域是，
因为当时，单调递增，
而在定义域内单调递增，故函数的单调增区间是.
故选：D
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
例题2．（2025·山东潍坊·一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
①；②在上是增函数．
【答案】（答案不唯一，形如都可以）
【知识点】对数的运算性质的应用、研究对数函数的单调性
【分析】取验证①②即可.
【详解】对于函数，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②；
对任意的、，，满足①.
故答案为：（答案不唯一，形如都可以）.
精练高频考点
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可.
【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是.
故选：A.
2．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）函数的单调递增区间是 .
【答案】（或）
【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域
【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解.
【详解】令，解得，可知函数的定义域为，
因为，
且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增，
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：（或）.
3．（24-25高三上·山西运城·期末）函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果.
【详解】由，得，则函数的定义域为，
令，，则，
函数的对称轴为，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为为增函数，根据复合函数同增异减，
要使函数单调递减，则需函数单调递减，
所以原函数的单调递减区间为.
故答案为：.
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解.
【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，且恒有，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
故选：D
例题2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】令，则，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，且，
所以，解得，
故答案为：
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果.
【详解】由题意知函数定义域为或，
令是二次函数，对称轴为，在上单调递增，
由复合函数单调性可知，在上严格增，则.
故答案为：
2．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数
【分析】由复合函数的单调性计算即可得.
【详解】令，对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
所以且，即且，解得，
即实数的取值范围为.
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25高三上·北京西城·阶段练习）已知函数.
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明；
（2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由题意可得，解得，
所以函数的定义域为.
又，
所以函数是定义在上的奇函数.
（2）因为，
又在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
不等式，即，即，即，
解得，
所以的取值范围为.
例题2．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求反函数、求对数函数的解析式
【分析】（1）已知点坐标代入求得，然后由求得，再把互换位置即得；
（2）由的单调性解不等式．
【详解】（1）的图象过点，则，即，∴（负值舍去），
∴，
由得，所以；
（2）在定义域内是减函数，
因此由得，解得．
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数是指数函数.
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可；
（2）结合指数运算，根据函数奇偶性的定义即可证明；
（3）根据对数函数的单调性即可求解不等式的解集.
【详解】（1）函数是指数函数，所以解得或2，
又，所以，所以.
（2）由（1）知，
其定义域为R，关于原点对称，
又因为，所以是奇函数；
（3）由（1）知：，
所以，解得：，
所以不等式的解集为.
2．（24-25高三上·山东临沂·期末）已知函数为偶函数.
(1)求a的值；
(2)若，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数
【分析】(1)根据偶函数的定义,由，求得;
(2) 首先写出解析式,然后利用对数函数的单调性,结合定义域,得不等式组,求解即可.
【详解】（1）,的定义域为
为偶函数,的定义域一定关于原点对称，即
此时,,满足,.
故.
（2）由（1）知,则,
故可转化为解得或,
故实数m的取值范围为
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2025·天津南开·二模）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.
【详解】由
，，
所以满足，
故选：C.
例题2．（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算、比较对数式的大小
【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解.
【详解】由题意.
故选：A.
精练高频考点
1．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可.
【详解】是增函数，，
在是增函数，，故，
在是增函数，，
即，
故选：D.
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可.
【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递减，
所以，
，所以.
故选：D.
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（24-25高三上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为 ．
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数函数的最值
【分析】利用对数型函数的单调性求解即可.
【详解】由，解得：或
所以的定义域为，
因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减，
函数在区间内的最大值为．
故答案为：.
例题2．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求函数的值域
【答案】(1)
(2)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求对数函数的最值
【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式.
（2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，．
时，，
当时，，
．
（2）由题意得，，
令，问题等价于求的值域，
函数图象开口向上，对称轴为直线，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
函数的值域为．
精练高频考点
1．（23-24高三上·吉林延边·期末）设函数，且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)，定义域为
(2)0
【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值
【分析】（1）根据题中条件，即可对数运算，得到的值 ；再根据真数大于零，列出不等式组求解，即可求出定义域；
（2）由（1）将函数解析式整理得到，判断其在给定区间的单调性，即可得出最小值.
【详解】（1）因为，
由，得，则，解得；
又，解得，
所以的定义域为；
（2）由（1）得，
因为，令，
令，则函数单调递增，
故，即时，取最小值，
故的最小值为0．
2．（23-24高三上·陕西延安·期末）设，且．
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)，定义域为
(2)最大值为，最小值为.
【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值
【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到解析式，再根据对数的真数大于得到不等式组，求解即可；
（2）首先分析函数的单调性，求出最大值与区间端点函数值，进而可得解.
【详解】（1）因为，且，
所以，即，解得.
故,
令，解得,
故的定义域为.
（2）因为，，
又，在上单调递增，在上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（23-24高三上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ．
【答案】6
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得.
【详解】因为函数由与复合而成，
而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，
由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．
故答案为：
例题2．（22-23高三上·安徽合肥·阶段练习）若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为 .
【答案】/
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出.
【详解】由题意知，，解得，
因为，
因为，则，又因为的最小值为－4，
则，所以，
即，得，因为，所以.
故答案为：.
精练高频考点
1．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】A
【知识点】求指数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解．
【详解】因为函数的值域为，
所以函数的值域为，
所以，解得，
因为的值域为,，
所以的最小值为9，所以，
解得，
所以．
故选：A．
2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可.
【详解】由，得，
所以函数定义域为，
因为由外层函数和内层函数复合而成，
当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减，
当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：C
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知函数（为常数，），且是偶函数.
(1)求的值；
(2)若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算求解即可；
（2）整理可得，换元令，根据对数的真数大于0可得，且，对对数的底数分类讨论，结合对数函数单调性分析求解.
【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，
若函数是偶函数，则，
又因为，
即，结合x的任意性可得，所以.
（2）由（1）可知：，
则，
可得，
若不等式对恒成立，即，
令，可得，
可知对任意恒成立，
且，可得，
因为在内单调递增，则，
可得，且，
若，则，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，则，
可得，即符合题意；
若，则，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，则，
可得，无解；
综上所述：存在正实数符合题意，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：对于对数函数问题，要先考虑对数的真数大于0，否则容易出现错误.
例题2．（24-25高三上·山西太原·开学考试）已知函数．
(1)证明函数为奇函数；
(2)设函数，若，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义来证得结论成立.
（2）根据的单调性求得在区间上的最小值，利用换元法求得在区间上的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）由，得，解得，
即的定义域为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数.
（2）由题意得，，
，
由为上恒为正且为增函数，在上为增函数，
可得在上单调递增，故，
对于，，
令，则，故，
其对称轴为，所以当，即时，，
由题意得，
解得，即实数的取值范围为.
精练高频考点
1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求对数函数的最值、对数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式的恒成立问题、由对数（型）的单调性求参数
【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值；
（2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为，
因为内层函数的减区间为，增区间为，
外层函数为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为，
故.
（2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增，
则内层函数在上为增函数，且，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
（3）对于任意，存在，使得不等式成立，
则对任意的恒成立，
因为，
当时，，故当时，即当时，函数取最小值，
即，
所以，对任意的恒成立，
由可得，参变量分离得，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时等号成立，则，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
2．（24-25高三上·山西·期末）已知函数．
(1)当时，解方程；
(2)若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可；
（2）根据复合型对数函数的定义域和单调性，列不等式组求解即可.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以可化为，
即，所以，或，
所以，或，
即方程的解为或．
（2）因为对在上总有意义，
所以对在上恒成立．
令，则，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以恒成立，即，所以，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，
所以，
由题意知，
即，
所以，即，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
故实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：对于恒（能）成立问题，常常结合最值分析处理，而最值又结合函数的单调性，所以对于函数的单调性要灵活熟练应用.
第四部分：典型易错题型
备注：对数型复合函数容易忽略定义域
1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围.
【详解】设，因为为上的增函数，
而在内单调递增，
故为内的增函数，且在内恒成立，
故，故，
故选：D.
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围.
【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增，
可得在上单调递增且恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
3．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的单调递减区间为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】由，求得，再由对数型复合函数的单调性即可判断；
【详解】由，
可得：或，
易知当时，单调递减；
再由对数型复合函数的单调性可知：在上单调递减；
故选：B
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知是上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】分段函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数
【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.列不等式求解即可.
【详解】根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.可得，解得.
故选：C.
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40