2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(精讲)(原卷版+解析)，共3页。试卷主要包含了两个基本还原，类型一，类型二等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29769" 类型一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc29769 \h 2
\l "_Tc15773" 类型二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc15773 \h 4
\l "_Tc19624" 类型三：构造或型 PAGEREF _Tc19624 \h 5
\l "_Tc28968" 类型四：构造或型 PAGEREF _Tc28968 \h 6
\l "_Tc5812" 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc5812 \h 7
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
类型一：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（24-25高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题5．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
类型二：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．
2．（24-25高三下·全国·课堂例题）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（多选）（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．不等式的解集为
D．若方程有两个根，则
类型三：构造或型
典型例题
例题1．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ．
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 .
2．（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
类型四：构造或型
典型例题
例题1．（24-25高三下·山东济南·阶段练习）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（ ）
A．B．
C． D．
例题2．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（多选）（23-24高三上·山东滨州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024广西柳州·一模）已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知定义在上的函数的导函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 .
精练高频考点
1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁大连·一模）设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高二下·河南郑州·期中）定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 .
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29769" 类型一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc29769 \h 2
\l "_Tc15773" 类型二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc15773 \h 7
\l "_Tc19624" 类型三：构造或型 PAGEREF _Tc19624 \h 11
\l "_Tc28968" 类型四：构造或型 PAGEREF _Tc28968 \h 16
\l "_Tc5812" 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc5812 \h 20
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
类型一：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式.
【详解】构造函数，则，
因为当时，有，
故当时，，单调递增；
又因为是定义在上的奇函数，，
故是偶函数，
则当时，是单调递减函数.
又因为，则，
不等式 等价于，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以不等式的解集是.
故选：A.
例题2．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用已知条件判断函数的单调性，再根据函数单调性比较函数值的大小.
【详解】设，对求导，可得.
因为对任意的都有，即，且，所以，这表明在上单调递减.
逐一分析选项，
因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以A选项错误.
仅根据已知条件无法得出，所以B选项错误.
因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以C选项正确.
因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以D选项错误.
不等式一定成立的是.
故选：C.
例题3．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集.
【详解】令，由，得，函数在上单调递增，
由，得，不等式化为，
则，解得，所以不等式的解集为．
故选：B
例题4．（24-25高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正误.
【详解】令，则，即在R上单调递减，
所以，则，，，，
由，则，
所以，，，.
故选：D
例题5．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式.
【详解】令，
∵函数在上是可导的偶函数，
∴在上也是偶函数
又当时，，∴，
∴，
∴在上是增函数
∵，
由得
即不等式转化为，
∴x不为0时有，
而x为0时，不等式显然成立，
∴不等式的解集为.
故选：C.
精练高频考点
1．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式.
【详解】根据题意可构造函数，则，
由题可知，所以在区间上为增函数，
又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，
又，即，
所以，解得.
故选：D.
2．（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
B选项，由，即，可得，故B错误；
C选项，由，即，可得，故C正确；
A选项，因为，不妨设（为常数），
即（为常数），所以，
令，故，当时，为常数函数，
此时，即，所以，故A错误；
D选项，根据上述分析，，（为常数），
故，，令，，
当时，，在上单调递减，
所以，则，故D错误.
故选：C.
3．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为偶函数可知其在上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到，即可求解.
【详解】令，当时，，
所以在上单调递减，又是奇函数，
则，所以为上的偶函数，
则在上单调递增，又，
所以，即，
故选：B.
4．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式可构造函数，判断出函数在上单调递减即可得出结论.
【详解】由可得，
令函数，
可得即在上单调递减，
因此可得，即，所以.
故选：B
类型二：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，判断函数单调性后即可求解.
【详解】令，则，
因为，所以，
所以函数在上单调递增，
因为，所以．
故选：B
例题2．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得.
【详解】设，则，故函数在上为增函数，
因，且为偶函数，故，故，则，
于是等价于，即，由函数的单调性可得，
即不等式的解集为.
故选：B.
精练高频考点
1．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】设则，
故在R上单调递减，
且，即，
即，
故.
故不等式的解集为.
故答案为：
2．（24-25高三下·全国·课堂例题）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】构造函数，由得在上单调递增，由单调性可比较大小.
【详解】构造函数，
则
，
所以函数在上单调递增，
故，即，
即．
同理，，即．
故选：A.
3．（多选）（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．不等式的解集为
D．若方程有两个根，则
【答案】AB
【分析】由，有，结合函数奇偶性的定义即可判断；由，可得，求出的解析式即可判断B；当时，函数单调递增，有，可判断C；方程有两个根，等价于函数与函数的图象有两个交点，利用这两个函数的单调性和对称性，得结论判断D．
【详解】令，函数定义域为，
由，有，即，
所以函数为偶函数，故A选项正确；
由，得，
即，所以，
有，得，
所以，
得，，故选项B正确，
，
当时，函数单调递增，且，有，
即，不合题意，故选项C错误；
方程，即，方程有两个根，
等价于函数与函数的图象有两个交点，其中函数单调递减，
函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，时函数单调递减，
若方程有两个根，则有，
此时，即，
若且，则有，
∴，∴，得，故选项D错误.
故选：AB．
类型三：构造或型
典型例题
例题1．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，根据给定条件确定函数的奇偶性及单调性，再逐项判断即可.
【详解】令函数，由函数是奇函数，
得，函数是偶函数，
求导得，由任意，，
得任意，，函数在上单调递增，在上单调递减，
对于A，由，得，化简得，A错误；
对于B，由，得，化简得，B错误；
对于C，由，得，化简得，C正确；
对于D，由，得，化简得，D错误.
故选：C
例题2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合两角和差的正弦公式对各个选项进行大小比较即可.
【详解】因为，所以，.
由，得，
则，即，
设，则，
可得，则在定义域上单调递减，
对于A，可得，则，
得到，即，故A错误，
对于B，可得，则，
得到，即，故B错误，
对于C，可得，则，
而由两角和的正弦公式得，
得到，故C正确，
对于D，可得，则，
而由两角和的正弦公式得，
得到，故D错误.
故选：C
例题3．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由已知，设，可得函数单调递减，则由，可得，即为不等式的解集.
【详解】设，，
所以函数在上单调递减，
，
即，得，
所以，所以不等式的解集为．
故答案为：．
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 .
【答案】
【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而比较大小.
【详解】构造函数，，，
则时，，
所以函数在上单调递增，
于是，
即，
所以，
故答案为：.
2．（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性即可比较大小.
【详解】，令，求导得：，
当时，当时，因此函数在上递增，在上递减，
对于A，，则，即，A正确；
对于B，，则，即，B错误；
对于C，，则，即，C错误；
对于D，，则，即，D错误．
故选：A
3．（多选）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】构造函数，则，结合题意可得在上单调递减，逐一分析选项，即可得出答案.
【详解】由题意令，
则，
当时，恒有成立，
，即在上单调递减，
，
，
即，
即得
对于A，D，故A错误，D正确；
对于B，C，故B错误，C正确.
故选：CD.
类型四：构造或型
典型例题
例题1．（24-25高三下·山东济南·阶段练习）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，
设，，
则，
所以函数在上的单调递减，
因为，所以，
所以，即，
对于A：因为，A选项不一定成立；
对于B：因为，B选项不一定成立；
对于C：成立；
对于D：，D选项不成立；
故选：C.
例题2．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可.
【详解】设，，则，
在上单调递增，
对于A，，化简得，A正确；
对于B，，化简得，B错误；
对于C，，化简得，C错误；
对于D，，化简得，D错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键.
例题3．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，
设，，
则，
所以函数在上的单调递减，
因为，所以，
所以，即，
所以.
故选：B.
精练高频考点
1．（多选）（23-24高三上·山东滨州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确.
【详解】设，则，
所以在上单调递减，
对于A，由，即，即，故A正确；
对于B，由，即，又，则，故B错误；
对于C，由，即，即，故C正确；
对于D，由，即，即，故D正确.
故选：ACD.
2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题设构造函数，利用导数运算得在上单调递增，从而利用单调性得，，，，即可比较四个选项式子的大小.
【详解】令，
对于任意的，
所以在上单调递增，
所以，A不对；
，B正确；
，C正确；
，D不对．
故选：BC
3．（2024广西柳州·一模）已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数，求导，可得在上的单调性，将a，b，c变形整理，结合单调性，即可得答案.
【详解】由于比较，，大小，
即比较，，大小即可.
设函数，则，
因为，所以，
所以在上是增函数，且，
，，
则，所以，
故选：A
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，然后判断的单调性和奇偶性，然后将不等式变形并求出不等式的解集即可.
【详解】令，则.
所以，所以是偶函数.
当时，，所以在上单调递增.
因为，所以.
即.
因为是偶函数，所以.
又在上单调递增，所以.
两边平方得，解得.
故选：A.
例题2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知定义在上的函数的导函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性逐项判断即可.
【详解】设，则，
所以，函数在上为增函数，
对于AB选项，，即，
所以，AB无法判断；
对于CD选项，，即，可得，C错D对.
故选：D.
例题3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据题意可构造函数，利用导数得出函数在上单调性，解不等式可得结论.
【详解】设，则，
因为，所以，所以在上单调递减；
不等式等价于，即，
因为，所以，
所以，即，解得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题干信息构造函数，并利用导数得出函数单调性；将不等式转换为比较函数值大小问题，利用函数单调性解不等式即可得结果.
精练高频考点
1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.
【详解】由，可得，
即，令，
则.
令，，
所以在上是单调递减函数.
不等式，
等价于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是单调递减函数，
所以，解得，
且，即，
故不等式的解集为.
故选：A.
2．（2024·辽宁大连·一模）设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造，求导，得到在上为减函数，结合为奇函数，得到在上为减函数，分和两种情况，得到，由函数单调性得到不等式，求出答案.
【详解】令，，则，
函数在上为减函数，
因为，即，
故为奇函数，于是在上为减函数
而不等式，
若，则，即，
可化为，
即，则
解得，与前提条件相同，满足要求；
若，则无法比较与的大小关系，
故无法比较与的大小关系，故不合要求.
故选：A.
3．（24-25高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解.
【详解】由，得到，
令，则，
所以（为常数），又，则，
所以，得到，又，当时，，
所以在区间上单调递减，又，所以，
故选：B.
4．（22-23高二下·河南郑州·期中）定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由已知不等式整理得到，设函数，得的单调性，再利用其单调性解待求不等式即得.
【详解】因时，，即，也即，
取，则，即在上单调递减，
又，则，
由可得，故得，，解得，.
故答案为：.
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8