2025届新高考数学一轮复习精讲精练第06讲：拓展一：基本不等式（Word版附解析）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20732" 方法一：直接法 PAGEREF _Tc20732 \h 3
\l "_Tc15270" 方法二：凑配法 PAGEREF _Tc15270 \h 4
\l "_Tc21065" 方法三：分离法 PAGEREF _Tc21065 \h 7
\l "_Tc11433" 方法四：换元法 PAGEREF _Tc11433 \h 8
\l "_Tc7201" 方法五：常数代换“1”的代换 PAGEREF _Tc7201 \h 11
\l "_Tc1439" 方法六：消元法 PAGEREF _Tc1439 \h 15
\l "_Tc18022" 方法七：对钩函数 PAGEREF _Tc18022 \h 16
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、对钩函数：
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

5、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
基本不等式高频考点方法
方法一：直接法
典型例题
例题1．（2024上·山西长治·高一校联考期末）当时，的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
例题2．（2024上·陕西商洛·高一统考期末）若正数，满足，则的最小值是（ ）
A．10B．20C．100D．200
练透核心考点
1．（2024上·湖南长沙·高一校考期末）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
2．（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知，则的最大值为 ．
方法二：凑配法
典型例题
例题1．（2024下·河南·高三校联考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
例题2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（ ）
A．最小值为1B．最大值为1C．最小值为D．最大值为
例题3．（2024上·江苏南通·高一统考期末）函数，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为
2．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知，则的最小值为 .
3．（2024上·福建宁德·高一统考期末），恒成立，则实数的取值范围是 .
方法三：分离法
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 ．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值是（ ）
A．B．3C．6D．12
2．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为 .
方法四：换元法
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值为 ．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
练透核心考点
1．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）求函数的最小值．
2．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）；
（3）.
方法五：常数代换“1”的代换
典型例题
例题1．（2024上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
例题2．（多选）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为8
例题3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
练透核心考点
1．（多选）（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知正实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）若，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·江西·高一校联考期末）若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是 .
方法六：消元法
典型例题
例题1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知，，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．D．
例题2．（2024上·四川眉山·高一统考期末）已知，，且，则的最小值为 ．
练透核心考点
1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．（2023上·广东东莞·高一统考期末）若、，且，则的最大值为 ．
方法七：对钩函数
典型例题
例题1．（2022上·全国·高一校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
例题2．（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2023上·山东·高一校联考期中）若，使得不等式成立，则实数的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2023上·海南海口·高一海南华侨中学校考阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数，若存在，使得，当时，求的最小值为 ．
3．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
函数
（）
常考对钩函数
（）
定义域
定义域
值域
值域
奇偶性
奇函数
奇偶性
奇函数
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
单调性
在，上单调递增；在，单调递减