2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第06讲函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

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1．（山东省济宁市2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试题）为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（ ）
A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的
C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的
3．（24-25高一下·四川凉山·期末）若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（ ）
A．左移个单位B．右移个单位
C．左移个单位D．右移个单位
6．（河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测数学试题）将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
9．（多选）（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象
D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
10．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ）
A．图像关于轴对称B．图像关于中心对称
C．在最小值为D．在上单调递增
11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是 .
①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数
③的图象关于对称④在上是递增的
12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数 ．
13．（24-25高一下·四川达州·期末）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示．
(1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相：
(2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（ⅰ）讨论函数在上的单调性；
（ⅱ）若，求的值．
14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的．
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知函数，_____．
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
B相遇高考
1．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
C素养提升
1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，，，，，则= .
2．（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为
3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数，
(1)若，，求函数的解析式及对称轴；
(2)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值.
5．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数.
(1)求的解析式：
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数的图象在区间且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
第06讲 函数的图象及其应用
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
1．（山东省济宁市2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试题）为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据函数平移前后解析式的变化规律可解.
【详解】将向左平移个单位长度得到，
故选：A.
2．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（ ）
A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的
C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的
【答案】C
【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断.
【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到.
故选：C
3．（24-25高一下·四川凉山·期末）若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求关于轴对称的函数的解析式，再根据函数图象平移的规律求.
【详解】函数关于轴对称的函数的解析式为：
，
又，
所以将向右平移个单位可得的图象.
则的最小正值是
故选：B
4．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解.
【详解】由的图象关于直线对称，
则，又因为，所以，
即
由的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
则，
由可得：，
因为，所以，
根据在区间内恰有3个解，
则，解得：，
故选：D.
5．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（ ）
A．左移个单位B．右移个单位
C．左移个单位D．右移个单位
【答案】C
【分析】根据平移变换求出相应解析式一一与比对得解·
【详解】因为向左平移个单位可得，
向左平移个单位可得，
向右平移个单位可得，
向右平移个单位可得，
故C正确，ABD错误.
故选：C
6．（河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测数学试题）将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据函数图象变换可得新函数的解析式，由整体思想可得参数值，根据正切值建立方程，可得答案.
【详解】由题意可知，设，则，
设将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，
则，
易知，则，即，
可得，解得.
故选：B.
7．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先对进行化简，再根据三角函数的平移规律得到的表达式，结合函数图象分析在上有两个不相等实根时的取值范围.
【详解】
则
将向左平移个单位，得：
再向上平移个单位，得
当时， 令，则
方程即
作出函数在的图象：
要使有两个解，结合图象可知，解得，
因此，当时，有两个不等实根.
故选：C.

8．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】D
【分析】根据函数向左平移个单位长度后，可得，结合与图像重合，则与终边相同，得到即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到
又与函数的图象重合，
所以，即，，
即，，取，得到，，
故选：D.
9．（多选）（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象
D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
【答案】ACD
【分析】对于A：由图观察出周期，即可得到，用五点法代入点，可求出，再用诱导公式转换即可判断；对于B：代入检验此点是不是零点，即可判断；对于C：利用伸缩变换即可判断；对于D：判断平移后的函数是否为偶函数，即可判断.
【详解】解：对于A：由图可知：，，
用五点法代入点，可得，
不妨取，，
故A正确；
对于B：故B错；
对于C：由于伸缩变换后的函数就是，故C正确；
对于D：向右平移后的函数，
，为偶函数，故D正确．
故选：ACD
10．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ）
A．图像关于轴对称B．图像关于中心对称
C．在最小值为D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】根据图像得出，由过，两点，代入函数式，即可确定，进而得出，即可根据正弦函数图象和性质判断选项.
【详解】由图知,可得，又，
解得：或，又
若无解；若，则，所以，向右平移得到，
对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误；
对于B：令，故对称中心,故B错误；
对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确；
对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误；
故选：ABD
11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是 .
①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数
③的图象关于对称④在上是递增的
【答案】②③
【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，即可判断①，再利用图像平移以及奇函数的判断，即可判断②，根据三角函数最值性质，即可判断③，利用函数单调性，即可判断④.
【详解】由辅助角公式可知：，
①，故错误；
②向左平移个单位得到，
又，
定义域为关于原点对称，所以是奇函数，故正确；
③因为为最大值，
所以的图象关于对称，故正确；
④因为，所以，
因为在上不是单调函数，
所以在上不是单调函数，故错误；
故答案为：②③
12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数 ．
【答案】
【分析】根据函数的图象求得，再根据函数平移求解.
【详解】由图可得，函数的最小正周期，
则，
将点代入得，即，
由，可得，所以，
则．
故答案为：.
13．（24-25高一下·四川达州·期末）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示．
(1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相：
(2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（ⅰ）讨论函数在上的单调性；
（ⅱ）若，求的值．
【答案】(1)振幅为2，周期为，初相为
(2)（i）递增区间为，递减区间为；（ii）
【分析】（1）由图像结合正弦函数的性质可得；
（2）（i）结合图象伸缩性质利用正弦函数的单调性可得；（ii）由图象平移性质结合二倍角的正弦以及同角的三角函数关系可得.
【详解】（1）由图象可得，，
当时代入可得，
又时，，所以取，则.
综上，振幅为2，周期为，初相为.
（2）（i）由题意可得，
令，
即时函数单调递增；时函数单调递减，
取，可得递增区间为，递减区间为.
（ii），
因为，
所以.
14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的．
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知函数，_____．
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式.
（2）首先根据三角函数的变化规律得到的解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图像与在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）．
（1）若选条件①，直线是函数图象的任意两条对称轴，
且的最小值为，则，解得，则．
若选条件②，则，则．
因此．又，所以，则．
若选条件③，对任意的，
则有，解得，
又，所以，则．
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，
纵坐标不变，得到图象．
由，得．
即函数的单调递增区间为，
又，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
因为，
因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，
所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，
则或．
B相遇高考
1．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
2．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
C素养提升
1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，，，，，则= .
【答案】
【分析】由三角函数图象变换得出解析式，求出的范围，作出的图象及直线，可得它们交点的性质，由此可求得．
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
所以，由，可得，
因为，可得，
设，则，即，
结合正弦函数，的图象，如图，
可得方程在区间有6个解，
可得，
即，
，
所以，，
所以 .
故答案为：
2．（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为
【答案】8
【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8.
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，
所以，，，
所以，，，
两式相加得，，
所以，其中，故，
两式相减得，
当时，，此时，不合要求，
当时，，解得，满足要求，
当时，，此时，不合要求，
当时，，此时，不合要求，
当时，，解得，满足要求，
当时，，此时，不合要求，
综上，或6，所有可能取值之和为8.
故答案为：8
3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）先根据图象确定的值，进而确定函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求得单调递减区间.
（2）先根据图象的变换求出函数的解析式，然后根据的范围确定的最大值和最小值，要使得不等式恒成立，则最大值小于等于，从而求出的取值范围.
【详解】（1）设的最小正周期为，所以，解得，
所以，解得.
由题意知，所以，
又，所以，，
即，，又，
所以，所以.
令，，解得，，
即的单调递减区间为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为.
当，，
所以，，
若对任意的，，都有，则，
解得，即的取值范围是.
4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数，
(1)若，，求函数的解析式及对称轴；
(2)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)，
【分析】(1)根据函数周期性可得，分类讨论，结合正弦函数性质利用整体法求解即可；
(2)根据图象变换可得，再根据函数零点可得，进而结合正弦函数的图像与性质分析运算.
【详解】（1）函数，，
则的最小正周期，因为，，所以函数的最小正周期，
所以，解得，
①当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为；
②当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为；
（2）由题意可知，
因为是的一个零点，即，所以，
所以或，
故或，又，（舍），
故，则，
当时，，设，则，则原式可化为，
即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点，
作出在上的图象如下图所示，
所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数a的取值范围为，
设与的3个不同的交点分别为、、，则、，
∴，即，整理得.
5．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数.
(1)求的解析式：
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数的图象在区间且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析可知，函数的最小正周期为，可求出的值，利用三角函数的图象变换可求出函数的解析式，利用函数的奇偶性结合的取值范围可求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解；
（3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围.
【详解】（1）因为，则，
所以，函数的最小正周期为，则，则，
将函数的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
所得的函数为偶函数，
则为偶函数，
所以，，可得，
因为，可得，所以，.
（2）因为，所以，，
故，，
而恒成立，
即，整理可得.
令，，
设，，设、，且，
则，
由于，，则，所以，
即区间上单调递增，故，故，
即实数的取值范围是.
（3）由题意知，
由得，
故或，，
解得或，，
故的零点为或，，
所以相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则和都是零点，此时在区间、、、分别恰有、、、个零点，
所以在区间上恰有个零点，
从而在区间上至少有一个零点，所以，
另一方面，在区间上恰有个零点，
所以的最小值为.