2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第06讲函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用(知识+真题+10类高频考点)(精讲)(原卷版+解析)

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\l "_Tc17187" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc17187 \h 2
\l "_Tc31098" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc31098 \h 2
\l "_Tc24430" 高频考点一：函数的图象变换 PAGEREF _Tc24430 \h 2
\l "_Tc9947" 高频考点二：根据图象确定函数的解析式 PAGEREF _Tc9947 \h 3
\l "_Tc26661" 高频考点三：五点法作图 PAGEREF _Tc26661 \h 6
\l "_Tc4932" 高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc4932 \h 10
\l "_Tc25573" 高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题 PAGEREF _Tc25573 \h 13
\l "_Tc24374" 高频考点六：三角函数模型 PAGEREF _Tc24374 \h 15
\l "_Tc15386" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc15386 \h 18
第一部分：基础知识
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的图象变换
典型例题
例题1．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移是个单位长度D．向左平移个单位长度
例题2．（24-25高一下·吉林长春·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
精练高频考点
1．（24-25高一下·江西萍乡·期中）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
2．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
3．（24-25高三上·四川·阶段练习）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
典型例题
例题1．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（ ）

A．B．C．D．
例题2．（多选）（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象
D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是
精练高频考点
1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（24-25高一下·重庆·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
3．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知如图是函数的部分图象，则（ ）

A．的图象关于中心对称
B．在单调递增
C．若在上的值域为，则的最大值为
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知函数
(1)用“五点法”作出 在 上的简图；
(2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合.
例题2．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数．
(1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)求的对称轴与对称中心；
(3)当，求函数的值域.
精练高频考点
1．（24-25高一下·北京西城·阶段练习）已知函数，.
(1)填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象；
(2)函数的最小正周期_____；
(3)求函数的单调增区间和对称中心.
2．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知
(1)说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用五点法画出在上简图；
3．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数．
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)写出的单调递增区间．
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的解析式，并写出的单调递减区间；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域.
例题2．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)设常数，若在区间上是增函数，求的取值范围；
(3)将的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数．若对一切恒成立，求实数a的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数
(1)求的最小值；
(2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心；
(3)当时，的值域为，求的值.
2．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数的最大值为．
(1)求φ的值及的单调递增区间；
(2)先将向右平移个单位，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像．若，，求实数m的取值范围．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围．
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）已知向量，，函数，图象的相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)求函数的单调递增区间和的图象的对称轴方程；
(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
例题2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知函数
(1)求函数的单调增区间：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
精练高频考点
1．（24-25高三上·贵州毕节·阶段练习）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.
2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；
(2)是否存在实数，使在上有两个零点，若存在，求出实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由.
3．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式和函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
高频考点六：三角函数模型
典型例题
例题1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四边形是一块矩形铁皮，.该铁皮内有一半径为2的扇形（在上，在上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工人计划在上找一点（包含），作，得到可以使用的矩形铁皮.
(1)试比较当点分别与点重合时，矩形铁皮的面积的大小；
(2)以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.定义：若，，则.求的取值范围.
例题2．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，．
(1)求的面积S的最大值；
(2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．

(1)求S关于的函数表达式；
(2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
2．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”．
(1)试用、表示、；
(2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少?
3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
(1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式；
(2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
第四部分：典型易错题型
易错点一：函数图象变换过程中忽视了函数名要统一
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
0
0
0
0
x（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
第06讲 函数的图象及其应用
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22877" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc22877 \h 1
\l "_Tc17187" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc17187 \h 2
\l "_Tc31098" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc31098 \h 3
\l "_Tc24430" 高频考点一：函数的图象变换 PAGEREF _Tc24430 \h 3
\l "_Tc9947" 高频考点二：根据图象确定函数的解析式 PAGEREF _Tc9947 \h 5
\l "_Tc26661" 高频考点三：五点法作图 PAGEREF _Tc26661 \h 10
\l "_Tc4932" 高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc4932 \h 17
\l "_Tc25573" 高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题 PAGEREF _Tc25573 \h 23
\l "_Tc24374" 高频考点六：三角函数模型 PAGEREF _Tc24374 \h 30
\l "_Tc15386" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc15386 \h 36
第一部分：基础知识
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的图象变换
典型例题
例题1．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移是个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简，再根据平移变换的规律即得.
【详解】因，
故可以将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.
故选：A.
例题2．（24-25高一下·吉林长春·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25高一下·江西萍乡·期中）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决.
【详解】因为，
所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.
故选：C
2．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据平移的性质即可求解.
【详解】将向左平移个单位长度可得，
故选：D
3．（24-25高三上·四川·阶段练习）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移
【答案】D
【分析】利用函数图像左右方向平移遵循的“左加右减”原则，即可得到结论.
【详解】将函数的图象向左平移，可得到，
即函数的图象.
所以，只需要将函数的图象向右平移，可得到函数的图象.
故选：D.
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
典型例题
例题1．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据图象，得，再根据图象平移求解.
【详解】根据图象，，，
所以，则，
则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为.
故选：C
例题2．（多选）（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象
D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据图像可求得可得A正确，将代入检验即可得B错误，利用平移规则可知C正确，由整体代换法并根据函数图象可求得的取值范围是，故D错误.
【详解】由函数图象可得，
函数的周期满足，则，
故，解得，所以.
又函数过点，即，则，
所以，，即，，
又，所以，所以.
由前面计算已求得，故A正确；
对于B，若函数的图象关于点对称，则.
计算，
所以的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位得到：
，故C正确；
对于D，当时，，
令，则，.
当时，在上单调递增，在上单调递减；
又，，.
因为的图象与有且只有一个实数根，
所以的取值范围是，故D错误.
故选：AC
精练高频考点
1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案.
【详解】根据图象可得，周期，
又，则，所以，
，则，，因为，则，
所以函数的解析式为，
由函数的图象向右平移个单位长度得到
的图象，即，
故选：D.
2．（多选）（24-25高一下·重庆·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
【答案】ABD
【分析】对A，根据图像判断函数的周期求解即可；对BC，求得解析式后，根据函数性质求解即可；对D，根据三角函数图像平移的性质结合奇函数的定义判断即可.
【详解】对A，由的图象得，，，
所以，故，故A正确；
对B，由，得，即的单调递增区间为，
令，得，又，故B正确；
对C，因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；
对D，将的图象向左平移个单位长度，
得的图象，
显然为奇函数，故D正确．
故选：ABD
3．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知如图是函数的部分图象，则（ ）

A．的图象关于中心对称
B．在单调递增
C．若在上的值域为，则的最大值为
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象
【答案】BCD
【分析】根据给定的函数图象，求出函数解析式，再结合余弦函数的图象性质逐项求解判断.
【详解】观察图象，得，即，而，解得，
又，且在函数的递增区间内，则，
解得，，解得，因此，，
对于A，，不是函数的对称中心，A错误；
对于B，由，得，在单调递增，B正确；
对于C，由，得，由在上的值域为，
得，解得，因此的最大值为，C正确；
对于D，将向左平移个单位后，得，为偶函数，D正确.
故选：BCD
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知函数
(1)用“五点法”作出 在 上的简图；
(2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合.
【答案】(1)作图见解析;
(2)最大值为 2， .
【分析】（1）根据 的范围求出 的取值范围，然后按照 “列表、描点、连线” 的步骤画出函数的图象.
（2）将 作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解.
【详解】（1）由 ，得 ，
列表如下:
画出函数 的图象，如图:
（2）当 ，即 时， ，
所以函数 的最大值为 2，此时 的集合为 .
例题2．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数．
(1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)求的对称轴与对称中心；
(3)当，求函数的值域.
【答案】(1)见解析；
(2)对称轴为，对称中心为；
(3)
【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图；
（2）令，可得对称轴，令，可得对称中心；
（3）由，得，由三角函数性质可得的值域.
【详解】（1）列表
函数图像如图所示
（2）令，得对称轴：，
令，得，所以对称中心为；
（3）由，得，
当，即时，；
当，即时，.
所以的值域为.
精练高频考点
1．（24-25高一下·北京西城·阶段练习）已知函数，.
(1)填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象；
(2)函数的最小正周期_____；
(3)求函数的单调增区间和对称中心.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)单调递增区间：，；对称中心：.
【分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；
(2)根据正弦函数的周期公式计算即可；
(3)利用整体代入法结合正弦函数的周期性和对称性求解即可.
【详解】（1）
函数图象如图所示，
（2）由，可知；
（3）令，，
得，.
所以函数的单调递增区间：，.
令，得，
即的对称中心为：.
2．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知
(1)说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用五点法画出在上简图；
【答案】(1)答案见解析；
(2)作图见解析.
【分析】
（1）方法一：直接利用函数图象变换：先平移变换，后伸缩变换即可；方法二：根据函数图象变换先伸缩变换，后平移变换即可；
（2）令，利用的五点法即可求出，即可完成表，在直角坐标系中画图即可.
【详解】（1）法一：①向右平移个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍；
法二：①各点的横坐标缩短到原来的，②向右平移个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍.
（2）令，利用的图象取点法画图；
列表如下
作在上的图如下：
3．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数．
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)写出的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）求出的周期，对比正弦函数，算出“五点法”的五点，描点画图即可；
（2）对比正弦函数的单调区间，列不等式求解即可.
【详解】（1）函数的周期为，列表
描点、连线得到图象如下，
（2）由，
得．
所以的单调递增区间为．
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的解析式，并写出的单调递减区间；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域.
【答案】(1)；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据所选条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质求得值域.
【详解】（1）因为函数的一个零点为0，所以，即，得，
因为，所以.
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以.
因为，，所以，
所以函数的解析式为，
由，，解得，，
所以的单调递减区间为.
（2）把的图象向右平移个单位得到
，
再将向上平移个单位得到，
所以，
因为，所以.
当时，即时，，
当时，即时，，
所以函数在的值域为.
例题2．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)设常数，若在区间上是增函数，求的取值范围；
(3)将的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数．若对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简可得，根据周期公式可得结果；
（2）先求出的递增区间，又因为函数在区间上是增函数，当时，有，解不等式即可求出答案；
（3）根据图象变换得到，代入不等式并化简得，换元，令，则将原不等式转化为在上恒成立，由二次函数的图象性质即可求解.
【详解】（1），.
（2），由得：，，
所以的单调递增区间为，，
在区间上是增函数，当时，有，
，解得，的取值范围是.
（3）由题意，可得，代入不等式得：，即，
令，则，需在上恒成立，
由二次函数的性质可知，只需端点处满足不等式即可，即且,
当时，需满足或；当时，需满足或.
综上，可得实数a的取值范围是.
精练高频考点
1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数
(1)求的最小值；
(2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心；
(3)当时，的值域为，求的值.
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值；
（2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可；
（3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值.
【详解】（1）由题意可得：.
因为，所以的最小值为.
（2）由平移变换知，
又因为，则，解得，
又因为，可得，所以，
令，对称轴为，
令，对称中心为
（3）当时，则，此时的值域为，
因为，可知，
且，可得，
则，解得，可得，
由可知，解得，
且，或，解得，或，所以的值为或.
2．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数的最大值为．
(1)求φ的值及的单调递增区间；
(2)先将向右平移个单位，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像．若，，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为；
(2).
【分析】（1）化简得到，根据的最大值为，求出，，整体法求出函数单调递增区间；
（2）先根据平移和伸缩变换得到，分离参数，令，则，换元得到，求出最小值为，得到不等式，求出答案.
【详解】（1），
因为的最大值为，
所以，解得.
因为，故只有当时，满足要求，故，
.
令，
解得，
的单调递增区间为；
（2）图像上的所有点，向右平移个单位后，得到，
再将所得图像上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得到，
，
即，
令，则，
则，
故，
其中，
当时，取得最小值，最小值为，
所以，解得或，
故实数的取值范围为.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；
（2）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元法以及二次函数的值域，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
，
所以，
所以的周期为，
由得，
所以的单调递减区间为.
（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，即可得到，
再将的图象向右平移个单位，得到，
再将纵坐标变为原来的，即可得到，
因为，，
所以当，时，
，
令，，则
，所以当时，取得最小值，最小值为
所以，解得或，
故的取值范围为．
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）已知向量，，函数，图象的相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)求函数的单调递增区间和的图象的对称轴方程；
(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，，对称轴方程为，
(3)
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式和二倍角正弦公式，以及三角恒等变换化简函数；
（2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解；
（3）利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解.
【详解】（1）依题意，
，．
因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以．
（2）令，
则，
所以的单调递增区间为，；
令，，解得，，
即的图象的对称轴方程为，．
（3）由（1）知，
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，
得到函数的图象，
再向左平移个单位得的图象．
令，，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象（如图）可得，或，
所以的取值范围是.
例题2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知函数
(1)求函数的单调增区间：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
【答案】(1)的单调增区间为
(2)①函数的值域为；②
【分析】（1）由，求解可得单调递增；
（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.
【详解】（1）由，可得，
所以函数的单调增区间为；
（2）①：由已知得，
当时，，
所以，所以，
所以函数的值域为；
②当时，，令，
则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，
则，，所以，即，
所以，所以，
故.
精练高频考点
1．（24-25高三上·贵州毕节·阶段练习）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将的解析式化简，再利用整体代入法即可求解；
（2）利用图象变换的规则得到的解析式，再根据的范围即可求解.
【详解】（1）因为，
由，解得，
的单调递增区间为；
（2）由（1）知，
将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到，
再向右平移个单位得到，
当时，，则，
因为方程有解，所以，
所以实数的取值范围.
2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；
(2)是否存在实数，使在上有两个零点，若存在，求出实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】（1）由题变换后图象的解析式是：，求出的范围，再根据单调性列不等式组求解即可；
（2）化简可得，令，令，设为的一个零点，分①，②，③或，④且，⑤讨论零点的情况.
【详解】（1）由题图象变换后的解析式是，
因，则，
，则，
又因为在上单调递增，则，且，
解得，即的最大值为.
（2），
设，则，
当时，，，
它的图象如图所示：
则，令，
因为在上有两个零点，则在上至少存在一个零点，
设为的一个零点，
①当时，，此时仅有一个零点，对应一个，不符题意；
②当时，，此时仅有一个零点，对应两个，符合题意；
③当或时，，此时有两个零点，
由图，各对应一个，符合题意；
④当且时，因其对应一个，
则必有另一个零点，与矛盾；
⑤当时，则必有两相等零点，则，
由①②可知，不存在这样的值；
综上，或.
3．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式和函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；的单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简；根据的最小正周期为求出可得；再求单调递增区间即可；
（2）利用图象平移可得，令，转化为在上只有一个解，结合图象可得答案.
【详解】（1）
，
，因为图象的相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令，
则，所以的单调递增区间为；
（2）由（1）知，
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，
再向左平移个单位得的图象.
令，，则，所以，
因为在上只有一个解，由的图象（如图）可得，或，所以的取值范围是.
高频考点六：三角函数模型
典型例题
例题1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四边形是一块矩形铁皮，.该铁皮内有一半径为2的扇形（在上，在上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工人计划在上找一点（包含），作，得到可以使用的矩形铁皮.
(1)试比较当点分别与点重合时，矩形铁皮的面积的大小；
(2)以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.定义：若，，则.求的取值范围.
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）根据题意，分别点与点和重合时，结合矩形的面积公式，即可求解；
（2）设，得到，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当点与点重合时，可得，
此时矩形的面积为；
当点与点重合时，可得，
此时矩形的面积为.
（2）解：设，
因为，可得，
则
可得，
所以，
因为，可得，则，
所以，则，
即的取值范围.
例题2．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，．
(1)求的面积S的最大值；
(2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设，根据已知可得、，再由三角形面积公式及二倍角正弦公式、正弦函数的性质求面积的最大值；
（2）由（1）得三角形周长，再应用正余弦和差与积的关系及换元法、正弦函数性质求周长的范围，进而可得造桥费用的范围.
【详解】（1）设，由题意，
，，．
当N在D点时，θ最大，此时，，
当P在C点时，θ最小，此时，，
．
，
，，
当，即或时，．
（2）记的周长为L，由（1）知，
，
，
，．
令，则，
．
，，
，，
，
，
.
精练高频考点
1．（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．

(1)求S关于的函数表达式；
(2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析．
【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式；
（2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值.
【详解】（1）过作，垂足为，由题意得：，，
故，，

所以矩形的面积，．
（2）由（1）及题设知，
故，
令，，所以，且，
，
在区间上严格减，在区间上严格增，且，
当，即时，取得最小值，
此时，则，故，
当，即时，取得最大值，
此时，则，故或．
2．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”．
(1)试用、表示、；
(2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少?
【答案】(1)，
(2)为时，最小值为1
【分析】（1）由题意得，即的面积为，设正方形的边长为，由得，即可求解；
（2）由，利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得，的面积为，
设正方形的边长为，则由得，
，；
（2）由，当且仅当等号成立，
即为时，最小值为1.
3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
(1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式；
(2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
【答案】(1)
(2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间.
【分析】（1）画出散点图，根据图象可求出，，，进而可求得；
（2）依题意，其中，解不等式即可.
【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图，
由已知数据结合图象可得，，，，
故.
又，可取，
所以；
（2）由题意可得，化简得，
所以，解得，，
又，取可得：，取，可得，
所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，
所以卸货最多只能用4小时时间.
第四部分：典型易错题型
易错点一：函数图象变换过程中忽视了函数名要统一
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为
，
所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，
故选：D.
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】根据诱导公式得，即可根据平移的性质求解.
【详解】，所以需要将函数的图象向左平移个单位，
故选：A
0
1
2
1
0
1
0
0
0
0
0
x
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
x（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0