(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第06讲 函数y=Asin(wx ψ)的图象及其应用 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的图象变换
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
高频考点三：五点法作图
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
角度3：三角函数模型
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、五点法作图
3、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
4、根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）将曲线：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】曲线：上的点向右平移个单位长度，
得到，
再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线的方程为．
故选：
2．（2022·河南信阳·高一期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【详解】，因此
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象.
故选：C.
3．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）已知函数，则函数的图象可以由的图象（ ）
A．向左平移得到B．向右平移得到
C．向左平移得到D．向右平移得到
【答案】A
【详解】由题意，由的图象向左平移得到函数
故选：A
4．（2022·浙江·高三专题练习）函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由图可知，过点，解得，
将的图像向右平移个单位
得到.
故选:D.
5．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由于表示距离，为非负数，所以BC选项错误.
点的初始位置为，在第四象限，
所以A选项符合，D选项不符合.
故选：A
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数的图象变换
典型例题
例题1．（2022·四川省广汉中学高二开学考试（理））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】，因此将函数的图象向右平移个单位．
故选：D．
例题2．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向上平移个单位D．向下平移个单位
【答案】A
【详解】因为，
所以由函数的图象得到函数的图象，
根据左加右减，只需向左平移个单位.
故选：A.
例题3．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）函数的图像如何由函数的图像平移得到（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【详解】由题意可得：函数
函数
向左平移个单位可得.
故选：A.
例题4．（多选）（2022·全国·高一）要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ）
A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
【答案】BC
【详解】函数的图象向左平移个长度单位，得，
再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；
函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，
再向左平移个长度单位，得，即.
故选：BC
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】因为，
所以应将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度.
故选：C.
2．（2022·广东·测试·编辑教研五高一阶段练习）将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】化解为
故选D
3．（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）要得到的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【详解】，
需将函数的图象向左平移个单位.
故选：A.
4．（2022·北京铁路二中高一期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象至少向右平移______个单位．
【答案】
【详解】解：，，
则，
需将函数的图像至少向右平移个单位.
故答案为：.
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由图可知，过点，解得，
将的图像向右平移个单位
得到.
故选:D.
例题2．（2022·河南开封·模拟预测（理））如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据函数的部分图像，
可得∴
再根据五点法作图，可得，
∴，∴.
将函数的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，
可得得图像；
在向左平移个单位长度，
得到函数的图像，
故选：D.
例题3．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由图象，，所以，
又，，，，
由得，
所以，
．
故选：D．
例题4．（多选）（2022·广东茂名·高一期中）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为4
B．在上单调递减
C．的值域为
D．图象上所有的点向右平移个单位长度后，图象关于轴对称
【答案】BC
【详解】因为函数
其中，
根据函数一个周期内的图象，
可得为图象的最高点，，为图象与x轴的交点，且 为正三角形，
可得，解得，所以，
故它的最小正周期为，所以A不正确；
由，可得，可得单调递减，所以B正确；
由三角函数的性质，可得的值域为，所以C正确；
将图象上的点向右平移个单位后，得到，
此时函数不是偶函数，所以图象不关于y轴对称，所以D错误，
故选：BC．
题型归类练
1．（2022·浙江宁波·高二期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．的图象关于直线对称
D．的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称
【答案】D
【详解】根据图象可得：
，则，即，A正确；
∵的图象过点，则
又∵，则
∴，即，B正确；
∴，则为最大值
∴的图象关于直线对称，C正确；
的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关于原点对称，D错误；
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知，
，解得：,
函数的图象向左平移个单位长度，得
当时，，且，
得
所以，.
故选：A
3．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题，
由图，，
所以，向左平移个单位后，
得到
故选：B.
4．（多选）（2022·全国·高一）函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的单调递减区间为，
C．函数在区间上单调递增
D．直线是函数的一条对称轴
【答案】BC
【详解】根据图形可得：，则，∴
图像过点，即
∵，则或
当时，不是最大值，不合题意
当时，，符合题意，则，A错误；
，
，则
∴函数的单调递减区间为，，B正确；
∵，则
∴函数在区间上单调递增，C正确；
不是最值，D错误；
故选：BC．
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（理））已知函数.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
作图：
(2)求它的振幅､周期和初相；
(3)根据图象写出它的单调递减区间.
【答案】(1)答案见解析
(2)振幅，周期，初相为
(3)
（1）解：令，列表如下：
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象.
（2）解：由图象得：振幅，周期，初相为.
（3）解：由图象得单调递减区间为.
例题2．（2020·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）已知函数
（1）写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；
（2）用五点法作图，填表并作出在的图象.
【答案】（1）递减区间，对称轴方程：；（2）见解析
【详解】(1) 令，解得，
令，解得，
所以函数的递减区间为，对称轴方程：；
(2)
题型归类练
1．（2021·广东·高一单元测试）(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) .
【详解】解:（1）先列表,后描点并画图
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，
所以函数的对称轴方程是.
2．（2022·海南·海口中学高一期末）已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.
(2)解不等式.
【答案】(1)表格、图象见解析；
(2)，.
(1)由正弦函数的性质，上的五点如下表：
函数图象如下：
(2)由，即，故，，
所以，，故不等式解集为，.
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数的图象，求.
【答案】(1)；
(2).
（1）因为是奇函数，
所以，即.
又，所以，检验符合.
（2）由（1）得：.
将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到的图象.
故.
例题2．（2022·四川南充·高一期末）已知函数的部分图象，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(1)解：根据函数的部分图象
可得，，所以.
再根据五点法作图可得，
所以，.
(2)将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
由，可得
又函数在上单调递增，在单调递减
，，
函数在的值域.
例题3．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）设函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；
(2)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间.
【答案】(1)最小正周期为，最大值为，
(2)，单调增区间为
(1)
所以周期；
当，即时，.
(2)由题意知，，
由，得，
所以函数的单调增区间为.
例题4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当，时，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)最大值为0
（1）
故函数的最小正周期.
由得.
∴函数的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，即.故a的最大值为0.
题型归类练
1．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数．
(1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)若的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，求函数在上的值域．
【答案】(1)，（）
(2)
（1）因为
，
所以的最小正周期．
令，，则，，
所以图象的对称轴方程是，．
（2）由题可知．
因为，所以，
所以，即，
故在上的值域是．
2．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知函数，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数g（x）的图象.
(1)求函数g（x）的解析式和值域；
(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，值域为[1，2]
(2)[3，+∞）
（1）由题意可知函数g（x）的解析式为
∵，.
所以函数g（x）值域为[1，2]；
（2）记，则
由恒成立，可知恒成立.
即恒成立，因为，所以
令，因为h（t）在[1，]上单调递减，在上单调递增.
又..
当时，不等式恒成立.
所以实数m的取值范围是[3，+∞）.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数在上单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最值.
【答案】(1)函数的单调递增区间是；
(2)最小值为，最大值为
（1），令，因为 ，所以，所以在上单调递递增，函数在上单调递增.
（2）由将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，得：，因为，所以 ，所以，所以函数在上的最小值为，最大值为.
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）已知函数.
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)若函数在存在零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为
(2)
（1）解：对于函数
，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的对称轴的方程为.
（2）解：因为函数在存在零点，
即方程在上有解，
当时，可得，可得，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
例题2．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）根据图象，可得，，
∴
∴，将代入f（x），得，
即，，
又，∴，
∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，
由题得，
∵在[0，]上有两个不同的实数解，
∴在[0，]上有两个不同的实数解．
∵，
令，
∴，
则需直线与的图象在有两个不同的公共点．
画出在时的简图如下：
∴实数m的取值范围是．
例题3．（2022·广东·阳江市第三中学高一期中）已知函数
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)将的图像向右平移个单位得到函数的图像，求在上的零点.
【答案】(1)，最大值为
(2)，
(1)
所以，当 时，最大值为；
(2)由将的图像向右平移个单位可得：

令，得，故,即.
因为，
所以在上的零点为，．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中常数．
(1)若，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数的图象，求；
(2)若在，上单调递增，求的取值范围；
(3)对（1）中的，区间，，且满足：在，上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的，中，求的最小值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(1)若，由题意得，向左平移个单位，得到的函数
．
故．
(2)∵,当，时，
又∵在，单调递增，
∴ ，解得，
∴的取值范围为，．
(3)
由函数可知，
令，得，即．
∴相邻两个零点之间的距离为，且周期，
则要使在，上至少含有30个零点，至少包含14.5个周期．
即．
故的最小值为.
题型归类练
1．（2022·河南河南·高一期末）已知函数．
(1)当时，求的取值范围；
(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为
．
即
∵，∴，
∴，
∴，
故的取值范围为．
(2)解：∵，
∴．
由（1）知，
∵有两个不同的实数根，
因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，
由正弦函数图象可知，解得，
故实数的取值范围是．
2．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数在一个周期内的图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)显然，又，所以，
所以，又函数过点，所以，
所以，又，所以，
所以所求的函数的解析式为.
(2)，且方程有两个不同的实数根，
即与的图像在内有两个不同的交点，
令，则，作出函数的图像如下：
由图像可知：与的图像在内有两个不同的交点时，
，故实数的取值范围为.
3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数的图象如图．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)由图象最高点函数值为1，最低点函数值为，且，可知，函数最小正周期，所以，因为，所以，故，将点代入，可得：，因为，所以，所以.
(2)由图象变换得：，当时，，，关于的方程有解，则.
角度3：三角函数模型
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．
【答案】(1)时间为4秒，
(2)点滚动的路程为，点滚动的路程为．
（1）设、第一次相遇时所用的时间是，
则，
（秒，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为，则，，
点的坐标为，
（2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．
例题2．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天（24小时）之内呈周期性变化，且符合函数，其中为水深（单位：米）t为时间（单位：小时）.研究小组绘制了水深图，部分信息如下：
(1)求解析式
(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底距离），问：
（i）该船满载时一天之内何时能进出港口？
（ii）该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港;为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，问最迟在几点之前离港才能确保安全？
【答案】(1)
(2)（i）该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口；（ii）最多滞留到五点半可确保安全离港
(1)由题意得：A=，，
当x=2时最大，，又；
(2)（i）由题意得：得：
∴，解得：
∵
∴或
或，
答：该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口；
（ii）空载时水深至少要4米，由得： 又或或，因为6-0.5=5.5，所以最多滞留到五点半可确保安全离港.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点第一次到达最高点大约要多长时间？
【答案】(1)
(2)
（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，，
∵，∴，
∴，
∵时，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴当时，P第一次到达最高点，
∴点P第一次到达最高点大约要.
题型归类练
1．（2022·全国·高一）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：
（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率
（2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从点算起呢？
（3）写出这个简谐运动的函数表达式.
【答案】(1)振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；
(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；
(3).
【详解】(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；
(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；
(3)设这个简谐运动的函数解析式为由图像可知：，又由，得：.
所以所求简谐运动的函数解析式为.
2．（2022·全国·高一课时练习）某地农业检测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：
现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？
【答案】（1）模型①；模型②；（2）有可能．
【详解】解：（1）对于模型①，由点及可得函数周期满足，即，所以，
又函数最大值为，最小值为，解得，，
所以，又，所以，
又，所以，
所以模型①；
对于模型②，图象过点，，
所以，
解得：，所以模型②；
（2）由（1）设，，
若时则盈利，若则亏损；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
这说明第8，9，11，12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．所以今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损．
3．（2022·全国·高一课时练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【答案】(1) ，;(2) 8小时.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,
x
y
x
t
0
π
2π
y
0
2
0
-2
0
x
y
0
x
y
1
3
1
-1
1
x
y
0
x
y
0
1
0
-1
0
0
0
0
0
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
收购价格（元/斤）
6
7
6
5
养殖成本（元/斤）
3
4
4．6
5