2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲导数与函数的极值、最值(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲导数与函数的极值、最值(精讲)(原卷版+解析)，共10页。试卷主要包含了函数的极值，函数的最大值，函数的最值与极值的关系等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31384" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc31384 \h 1
\l "_Tc26606" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc26606 \h 2
\l "_Tc2906" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2906 \h 3
\l "_Tc7167" 高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系 PAGEREF _Tc7167 \h 3
\l "_Tc458" 高频考点二：求已知函数的极值（点） PAGEREF _Tc458 \h 4
\l "_Tc12266" 高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 PAGEREF _Tc12266 \h 5
\l "_Tc21233" 高频考点四：求函数的最值（不含参） PAGEREF _Tc21233 \h 5
\l "_Tc15825" 高频考点五：求函数的最值（含参） PAGEREF _Tc15825 \h 6
\l "_Tc11462" 高频考点六：根据函数的最值求参数 PAGEREF _Tc11462 \h 8
\l "_Tc3804" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc3804 \h 9
第一部分：基础知识
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系
典型例题
例题1．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．当时，取得最小值B．在上单调递增
C．当时，取得极大值D．在上不具备单调性
例题2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数及其导函数均为上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（ ）
A．是的极小值点B．0是的极大值点
C．是的最大值D．
精练高频考点
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减B．在处取得极小值
C．有2个极值点D．有极大值，没有极小值
2．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的极大值点B．是函数的最小值点
C．函数在区间上单调递增D．曲线在处切线的斜率小于零
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（24-25高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数是奇函数，则的极小值是（ ）
A．B．0C．2D．
例题2．（24-25高二下·北京·期中）设函数，则（ ）．
A．为的极大值点B．为的极小值点
C．为的极大值点D．为的极小值点
例题3．（24-25高三下·内蒙古包头·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 .
精练高频考点
1．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）函数的极小值为（ ）
A．B．2C．D．
2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·重庆·期中）函数的极大值点为 ．
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（ ）
A．B．8C．D．12
例题3．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（ ）
A．B．C．5D．9
精练高频考点
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 .
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）函数的最小值为 ．
例题2．（24-25高二下·福建·期中）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
精练高频考点
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（2025·辽宁·三模）已知函数．
(1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求的最值．
例题2．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知函数；
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值．
精练高频考点
1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设，若，求时函数的最大值．
2．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值．
高频考点六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·福建·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
例题3．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
精练高频考点
1．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 .
2．（2025·河北·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
3．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上的最大值为2，求的值.
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案
1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A．B．C．0D．或1
2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ）
A．B．1C．或1D．或2
第03讲 导数与函数的极值、最值
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31384" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc31384 \h 1
\l "_Tc26606" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc26606 \h 2
\l "_Tc2906" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2906 \h 5
\l "_Tc7167" 高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系 PAGEREF _Tc7167 \h 5
\l "_Tc458" 高频考点二：求已知函数的极值（点） PAGEREF _Tc458 \h 8
\l "_Tc12266" 高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 PAGEREF _Tc12266 \h 10
\l "_Tc21233" 高频考点四：求函数的最值（不含参） PAGEREF _Tc21233 \h 13
\l "_Tc15825" 高频考点五：求函数的最值（含参） PAGEREF _Tc15825 \h 15
\l "_Tc11462" 高频考点六：根据函数的最值求参数 PAGEREF _Tc11462 \h 19
\l "_Tc3804" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc3804 \h 24
第一部分：基础知识
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.
【详解】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系
典型例题
例题1．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．当时，取得最小值B．在上单调递增
C．当时，取得极大值D．在上不具备单调性
【答案】C
【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点和最值，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以当时，取不到最小值，当时，取得极大值.
所以ABD选项错误，C选项正确.
故选：C.
例题2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数及其导函数均为上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（ ）
A．是的极小值点B．0是的极大值点
C．是的最大值D．
【答案】C
【分析】讨论的范围，进而由图可得与0的关系，进而可知的单调性和极值点.
【详解】对于A，根据题意，当时，，则，所以在上单调递增；
当时，，则，所以在上单调递减；
当时，，则，所以在上单调递减，
且，所以是的极大值点，故A错误；
对于B，由上分析，0不是的极值点，故B错误；
对于C，因是的极大值点，又，故是的最大值，故C正确；
对于D，由于是的最大值，所以，故D错误．
故选：C．
精练高频考点
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减B．在处取得极小值
C．有2个极值点D．有极大值，没有极小值
【答案】D
【分析】利用导函数的图象得出导函数的正负，得出函数的单调区间，即可知为的极大值点，无极小值点，可判断得出结论.
【详解】由图可知在上恒成立，则在上单调递增，A错误．
因为在上恒成立，在上恒成立，
所以在单调递增，在单调递减，
所以在处取得极大值，没有极小值，B和C错误，D正确．
故选：D
2．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的极大值点B．是函数的最小值点
C．函数在区间上单调递增D．曲线在处切线的斜率小于零
【答案】C
【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；
【详解】解：由导函数的图象可知，
当时，当时，当时，当或时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，
因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，
综上可知ABD错误，C正确.
故选：C
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（24-25高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数是奇函数，则的极小值是（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】D
【分析】由奇函数可求得，可得，求导可求得极小值.
【详解】易得的定义域为，且为奇函数，
故，
对应相等可得，故，，
令，即，解得或；令，即，解得；
则在，上单调递增，在上单调递减，故的极小值是．
故选：D．
例题2．（24-25高二下·北京·期中）设函数，则（ ）．
A．为的极大值点B．为的极小值点
C．为的极大值点D．为的极小值点
【答案】A
【分析】求导，即可根据单调性求解.
【详解】由可得，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
故为的极大值点，
故选：A
例题3．（24-25高三下·内蒙古包头·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 .
【答案】/0.5
【分析】根据处取得极值，利用导数为0，求出，再列表得出函数的极值点.
【详解】因为，
所以，∴，
则，
、随x的变化情况如下表：
∴的单调递增区间为和，单调递减区间为，
∴的极大值点为.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）函数的极小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】求导分析函数单调性即可求出极小值.
【详解】，
令或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极小值为.
故选：D.
2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导函数的图象得到的取值情况，即可得到的单调性，从而得到函数的极大值点.
【详解】由导函数的图象可知，当时，当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为.
故选：B
3．（24-25高二下·重庆·期中）函数的极大值点为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，进而求出其极大值点.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值点为，极小值点为1.
故答案为：
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围.
【详解】对函数求导得，
因为函数在上无极值，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
例题2．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（ ）
A．B．8C．D．12
【答案】C
【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而验证，即可求解的值.
【详解】因为，所以，
所以，解得，
当时，，
当或时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此是的极大值点，故，所以.
故选：C
例题3．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】D
【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．
【详解】函数，
则，
因为在处取极值，
所以，解得：，
经检验满足题意.
故.
故选：D.
精练高频考点
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得，根据函数存在极值点，可得，进而求得实数的取值范围.
【详解】由函数，可得，
因为函数存在极值点，则满足，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
2．（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对求导，得到，根据条件有，得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，则，
由题有，得到，所以，
得到，当且仅当时，取等号，
故选：D.
3．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】求导后构造，再求导分析单调性数形结合可得.
【详解】，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根.
即存在唯一变号根，设，，
函数在上单减；在上单增，在上单减；
当时，；当时，；则实数a的取值范围为.
故答案为：.
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】求导确定函数单调性即可求解.
【详解】，令得．
当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为．
故答案为：
例题2．（24-25高二下·福建·期中）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程；
（2）求导，确定单调性后即可求解最值.
【详解】（1）由题意知，，即切点为，
由已知，则，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2），得或.
当时，，所以函数在区间上单调递增，
当时，，所以函数在区间上单调递减.
所以函数的极小值点为，极小值为，
因为，，故在区间上的最大值为，最小值为.
精练高频考点
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值.
【详解】，，
，，即，
在上单调递增，.
故选：D.
2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由可求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出其极大值、极小值以及、的值，比较大小后可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
则得，故.
（2）令，得或，列表如下：
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，的极大值为，极小值为，
又因为，，
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（2025·辽宁·三模）已知函数．
(1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求的最值．
【答案】(1)只有1条，
(2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值．
【分析】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即；
（2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值.
【详解】（1）当时，，则，
由题意可知点在曲线上，
①所以当是切点时，则切线斜率为
进而切线方程为，即，
②当不是切点时，设切点为，且，
则切线斜率为，
进而切线方程为，
化简得，
将代入上式，得，
化简得，解得（舍），进而此时没有切线，
综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为．
（2），
当时，由解得，由解得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，没有最大值；
当时，由解得，由解得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，没有最小值．
综上，当时，，没有最大值；
当时，，没有最小值．
例题2．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知函数；
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.
(2)答案见解析.
【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可；
（2）求导得，分和讨论即可.
【详解】（1）函数定义域为，
当时，，
则，
令，
令，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2），
令解得
①当时，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减．
.
②当时，
当时，，在区间单调递增．
.
综上所述，当时，，
当时，.
精练高频考点
1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设，若，求时函数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率与切点纵坐标，从而得函数的切线方程；
（2）求导函数，根据已知条件确定函数的单调性即可得最值.
【详解】（1），则，
所以，
所以函数在处的切线方程为，即；
（2），
则，，
因为，则恒成立，所以函数在上单调递减，
所以.
2．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为，，单调减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）由，求解即可；
（2）通过，，讨论函数单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
令，解得或
当变化时，和的变化情况如表所示：
所以函数的单调递增区间为，，单调减区间为.
（2），令，解得或
当时，
若，则，所以在区间上单调递增，
此时
当时，
若，则，所以在区间上单调递增，
若，则，所以在区间上单调递减；
此时
当时，
若，则，所以在区间上单调递减；
此时
综上所述，当时，；
当时，；
当时，
高频考点六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围.
【详解】由可得，
函数，的导函数，，
若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
由函数在上的最大值为，可得，
所以，又，
所以；
若，当时，，函数在上单调递减，
函数在上的最大值为，满足条件，
所以时，函数在上的最大值为.
综上所述，的范围是.
故选：D.
例题2．（2025·福建·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【答案】(1)极小值点为，无极大值点
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点；
（2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以为的极小值点，无极大值点.
（2）当，即时，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，不符合题意；
当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当，即，此时在上单调递减，
所以，不符合题意；
综上可得.
例题3．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）先对求导得到，再结合参数范围讨论导函数正负，进而得到原函数单调性即可.
（2）利用分离参数法得到，再构造，利用导数得到，最后确定的取值即可.
【详解】（1）由题意得函数的定义域为，
因为，所以，
当时，令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）若函数在上的最小值为，
则对于恒成立，且存在使得等号成立，
得到恒成立，即对于恒成立，
令，则恒成立，而，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
得到，故.
精练高频考点
1．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 .
【答案】1
【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案.
【详解】由，求导可得，
当时，令，可得，
由可得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，解得；
当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意；
当时，，函数在上单调递减，故不合题意.
故答案为：
2．（2025·河北·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，按分类求出单调区间，再结合区间及最小值讨论求解.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，不符题意舍去；
当时，由得，；由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，满足，则；
②当，即时，在上单调递减，
则，解得，不满足，不符题意舍去.
所以.
3．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上的最大值为2，求的值.
【答案】(1)极大值为：，极小值
(2)或.
【分析】（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为函数在处取得极值，，
当时，，，
，随的变化情况如下表：
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，
极大值为：，极小值，
（2）当时，由，可知，
，，
易知当时，，当时，，
所以，在单调递增，在单调递减，
此时最大值为，不符合题意，
当时，由，得到，
所以，
令，，，
因为在处取得极值，所以，
当时，易得在上恒成立，
在上单调递减；
所以在区间上的最大值为，
令，解得，
当，；
当时，易得在恒成立，
在上单调递增，
所以，解得，符合；
当时，
由得，由得
所以在上单调递减，上单调递增，
所以最大值2可能在或处取得，而，
所以，
解得，与矛盾
当时，可以在恒成立，
所以在单调递减，
所以最大值2可能在处取得，而，矛盾
综上所述，或.
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案
1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A．B．C．0D．或1
【答案】A
【分析】求出导函数，由导数在极值点处的函数值为零可求或，检验后可得参数的值.
【详解】由题知在时取得极大值，
，解得或，
当时，，
由，在区间上单调递增；
由在区间上单调递减．
此时在时取得极大值，满足题意，
当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去．
．
故选：A.
2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ）
A．B．1C．或1D．或2
【答案】A
【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解.
【详解】求导得，则，
解得：或，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极小值，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极大值，故舍去，
故选：A.
x
1
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
4
0
0
单调递增
单调递减
单调递增
1
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增