专题5.2 平面向量的数量积及应用（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析3
【课程标准】3
【考情分析】3
【2026考向预测】3
三、知识点•逐点夯实3
知识点1、平面向量的数量积3
知识点2、数量积的运算律4
知识点3、数量积的性质4
知识点4、数量积的坐标运算4
知识点5、向量中的易错点5
四、重点难点•分类突破5
考点1 平面向量数量积的基本运算5
考点2 求平面向量的模6
考点3 求平面向量的夹角6
考点4 垂直与平行的坐标表示7
考点5 平面向量的最值问题8
五、必考题型•分层训练9
A、基础保分9
B、综合提升10
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
7．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
8．（2023·上海·高考真题）已知,，求
9．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义．
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
三、知识点•逐点夯实
知识点1．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点2．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点3．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．
②．
③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．
④．⑤．
知识点4．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
知识点5、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且
四、重点难点•分类突破
考点1 平面向量数量积的基本运算
例1、（24-25高三下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例2、已知向量，满足，，则 ．
【变式训练1】、已知是两个单位向量，与的夹角为，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式训练2】、（24-25高三下·天津·期末）已知；是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数 .
考点2 求平面向量的模
例3、（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量，满足，则 ．
例4、（24-25高二下·河北邢台·期末）已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】、（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（ ）
A．4B．2C．1D．
【变式训练4】、（24-25高二下·海南海口·期末）已知向量，，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．2D．3
考点3 求平面向量的夹角
例5、（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知向量，，，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
例6、（2025·四川巴中·三模）非零向量，满足：，，则与夹角的余弦值为 .
【变式训练5】、（2025·四川·模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6】、（2025·甘肃金昌·三模）已知向量，其中，为单位向量，且，则 .
考点4 垂直与平行的坐标表示
例7、（2023·河南·二模）已知、不共线，向量，，且，则 .
例8、（2025·辽宁·三模）已知向量，向量在向量上的投影的数量为．若，则实数的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式训练7】、（多选题）若平面向量满足，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．
【变式训练8】、（2025·山东威海·三模）已知向量满足，则与的夹角为 ．
考点5 平面向量中的最值问题
例9、（2025·浙江绍兴·二模）已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例10、（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）
A．B．
C．8D．
【变式训练9】、（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
【变式训练10】、（2025·河北·模拟预测）（多选题）已知平面向量，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角B．
C．D．在方向上的投影向量为
五、分层训练
一、单选题
1．若,且，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．4
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
4．（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（ ）
A．B．2C．6D．
5．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ）
A．2B．C．0D．1
二、多选题
6．（多选题）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．在方向上的投影向量为
C．D．当时，与的夹角为锐角
三、填空题
7．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则 .
8．（24-25高二下·云南·期末）已知向量满足，且，则 ．
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知向量，，若，则 ．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）已知向量，为平面内两个单位向量，且，则下列说法正确的有（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．与可以构成平面内所有向量的一组基底
D．
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为 ．
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2024年新I卷，第3题,5分
向量垂直的坐标表示
简单
2024年新Ⅱ卷，第3题,5分
数量积的运算律
已知数量积求模
垂直关系的向量表示
简单
2023年新I卷，第3题,5分
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
简单
2023年新Ⅱ卷，第13题,5分
数量积的运算律
简单
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分
数量积及向量夹角的坐标表示
简单
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
（当且仅当时等号成立）