2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲导数与函数的极值、最值(精练+相遇真题、模拟)(原卷版+解析)

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1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．为的极小值点B．2为的极大值点
C．在区间上，是增函数D．在区间上，是减函数
2．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的极小值为（ ）
A．B．1C．D．
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（ ）．
A．14B．16C．18D．20
5．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·四川成都·期末）已知函数的最小值为1，则（ ）
A．B．C．D．1
7．（24-25高三下·广东中山·阶段练习）若函数在是增函数，则常数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）函数，已知在处取得极值，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（多选）（24-25高二下·重庆·期中）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
10．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的单调增区间为
C．函数的极小值点为1
D．函数的最大值为
11．（24-25高三下·云南楚雄·阶段练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 ．
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 .
13．（24-25高三下·四川广元·阶段练习）．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数在区间上的极值．
14．（24-25高三下·河南商丘·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)当时，求函数在区间上的值域.
B相遇高考
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．当且仅当D．是的极大值点
2．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
C素养提升
1．（多选）（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．[0，1]B．C．D．
4．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)若是的极小值点，求实数的取值范围．
第03讲 导数与函数的极值、最值
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．为的极小值点B．2为的极大值点
C．在区间上，是增函数D．在区间上，是减函数
【答案】B
【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系，结合极值点定义判断即可.
【详解】对AD，在，，单调递增；在，，单调递减，故为的极大值点，AD错；
对B，在，，单调递增；在，，单调递减，故2为的极大值点，B对；
对C，在，，单调递减；在，，单调递增，C错.
故选：B
2．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的极小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解 ，再判断在两侧的单调性，确定极值.
【详解】因为，所以.
令得，
当时，，当时，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
则当时，取得极小值，且极小值为.
故选：C
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】函数存在减区间,则有解可求解.
【详解】由题可知,
因为函数存在减区间,则有解,
即有解,
令,,
令,解得 ; 令,解得 ,
所以在单调递减, 单调递增,
所以,
因为有解,所以,
解得.
故选:D.
4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（ ）．
A．14B．16C．18D．20
【答案】D
【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案．
【详解】因为，函数极值点可能为，又，
而，，，所以，，
所以，
故选：D．
5．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案
【详解】因为，
因为函数，在上单调递增，
所以题中问题等价于即解得，
故选：D.
6．（23-24高二上·四川成都·期末）已知函数的最小值为1，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可求解函数的最值求解.
【详解】函数的定义域为，，
当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数,此时无最小值，
当时，由，得，由得
函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值，
即，故，
故选：D
7．（24-25高三下·广东中山·阶段练习）若函数在是增函数，则常数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数为非负结合参变分离可得在上恒成立，构建新函数，利用导数求出右侧函数的最小值后可得参数的范围.
【详解】因为函数在是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
所以，令，
则，
故时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
故选：C
8．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）函数，已知在处取得极值，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】求导后令可得.
【详解】，
因为在处取得极值，所以.
经检验符合题意，
故选：C
9．（多选）（24-25高二下·重庆·期中）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】BCD
【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断.
【详解】由图知，
当时，；当时，；当时，；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为．
故选：BCD.
10．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的单调增区间为
C．函数的极小值点为1
D．函数的最大值为
【答案】ABD
【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】的定义域为，且，
当在单调递减，故单调递减区间为，A正确，
当在单调递增，故单调递增区间为，B正确，
当时，取极大值也是最大值，故C错误，
，D正确，
故选：ABD.
11．（24-25高三下·云南楚雄·阶段练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】通过分离参数，将问题转化为求新函数的最小值，进而确定参数的取值范围.
【详解】，因为函数在定义域内单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围为.
故答案为：.
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 .
【答案】/
【分析】根据极值与极值点的定义可得解.
【详解】由，
得，
则，
解得或，
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极小值，不成立；
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极大值，成立；
综上所述，
故答案为：.
13．（24-25高三下·四川广元·阶段练习）．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数在区间上的极值．
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）根据导函数算出时的导数，得到切线斜率.再结合时的函数值，用点斜式方程写出切线方程，最后整理成一般式.
（2）令导函数，解出可能的极值点，接着根据导数正负判断函数在不同区间的增减性，进而确定极大值点和极小值点，把对应的值代入函数求出极大值和极小值.
【详解】（1），则，又，
则函数在处的切线方程为，即；
（2）令，可得，
易知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，，
则函数在区间上的极大值为，极小值为．
14．（24-25高三下·河南商丘·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)当时，求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解；
（2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域.
【详解】（1）当时，由，可得，
由，可得，所以，
所以切线方程为，即；
（2）由，可得，
令，可得或，
当时，由二次函数性质可知，，
所以在上单调递减，又，
，所以值域为，
当时，由二次函数性质可知，，时，，
所以函数在区间上的最大值为，
又，，
若时，，
所以函数在区间上的最小值为，所以值域为，
若时，，
所以函数在区间上的最小值为，所以值域为，
综上所述：当时，函数在区间上的值域值域为，
当时，函数在区间上的值域值域为，
当时，函数在区间上的值域值域为.
B相遇高考
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．当且仅当D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
2．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
C素养提升
1．（多选）（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BC
【分析】借助导数可先得到函数的单调性，结合题意与函数单调性计算即可得解.
【详解】，
则当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
由函数在上有最小值，
则在上有最小值，
又，故有，
即，解得，故选项中BC符合、AD不符.
故选：BC.
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知函数在取极小值，可得出，则，利用导数分析函数的单调性，结合可求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则，
所以，
即，
当时，对任意的恒成立，，不合乎题意；
当时，由可得，由可得,
此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意；
当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意.
所以，由题意可得，则，解得，
因此，.
故选：C.
3．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．[0，1]B．C．D．
【答案】D
【分析】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围.
【详解】由可知函数的定义域为，则，
设，则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，则.
① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意；
② 当时，由解得，
因函数既有极大值也有极小值，故，解得.
由可得或；由可得，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意.
综上可知，实数的取值范围为.
故选：D.
4．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)若是的极小值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将代入函数，然后构造新函数，通过求导研究其单调性来证明不等式；
（2）先对函数求导，再根据是极小值点这一条件，分析导数在两侧的正负情况，从而确定实数的取值范围.
【详解】（1）设，
则，
因为且在上单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，
即．
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故
（2）依题意，，
令，
因为在上单调递增，
①当时，，存在，使得时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，不合题意.
②当时，，存在，使得时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，符合题意.
③当时，，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，即恒成立，
所以在上单调递增，无极值点，不合题意．
综上，的取值范围为.