2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲常用逻辑用语(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲常用逻辑用语(精讲)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了充分条件，全称量词与存在量词等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18701" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc18701 \h 1
\l "_Tc2193" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc2193 \h 2
\l "_Tc22814" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc22814 \h 3
\l "_Tc26780" 高频考点一：充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc26780 \h 3
\l "_Tc27491" 高频考点二：充分条件与必要条件的应用 PAGEREF _Tc27491 \h 3
\l "_Tc28990" 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 PAGEREF _Tc28990 \h 5
\l "_Tc3915" 高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 PAGEREF _Tc3915 \h 6
\l "_Tc22458" 高频考点五：含有一个量词的命题的否定 PAGEREF _Tc22458 \h 6
\l "_Tc16984" 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 PAGEREF _Tc16984 \h 7
\l "_Tc29613" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc29613 \h 8
第一部分：基础知识
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2025高三上·全国·专题练习）已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
精练高频考点
1．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025高二下·湖南郴州·）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ．
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为．
(1)求集合；
(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围．
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
典型例题
例题1．（24-25高三上·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·全国·课后作业）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．或
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ．
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
例题2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
精练高频考点
1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（ ）
A．命题与均为真命题
B．命题与均为真命题
C．命题与均为真命题
D．命题与均为真命题
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（ ）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
例题2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2025高三下·天津·专题练习）命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ．
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽视了“的”字结构倒装
1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
易错点二：最高项系数含参数，容易忽略系数为0
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·山西太原·阶段练习）．若此命题是假命题，则实数的取值集合是
3．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围.
易错点三：给定的区间是非区间，不能用判别法
1．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若命题“”为真命题，则实数的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
3．（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
易错点四：给定的区间是区间，可用判别法
1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 .
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有
第02讲 常用逻辑用语
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18701" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc18701 \h 1
\l "_Tc2193" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc2193 \h 2
\l "_Tc22814" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc22814 \h 3
\l "_Tc26780" 高频考点一：充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc26780 \h 3
\l "_Tc27491" 高频考点二：充分条件与必要条件的应用 PAGEREF _Tc27491 \h 4
\l "_Tc28990" 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 PAGEREF _Tc28990 \h 7
\l "_Tc3915" 高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 PAGEREF _Tc3915 \h 10
\l "_Tc22458" 高频考点五：含有一个量词的命题的否定 PAGEREF _Tc22458 \h 12
\l "_Tc16984" 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 PAGEREF _Tc16984 \h 13
\l "_Tc29613" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc29613 \h 15
第一部分：基础知识
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【知识点】判断命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】令代入集合，通过解一元二次不等式得到充分性成立，令可得必要性不成立.
【详解】若，则，则，，此时，
当时，也能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
例题2．（2025高三上·全国·专题练习）已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件
【详解】
因为，所以，解得，所以，又，因为，故p是q的必要不充分条件．
精练高频考点
1．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件，
反过来，能推出，“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2025高二下·湖南郴州·）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件，
分析得到，再列出不等式组，求解即可.
【详解】由解得，故，
因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以，所以有，解得，
故选：A.
例题2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式可得集合，再由集合的运算可得结果；
（2）易知，对集合是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可．
【详解】（1），
，
可得，
所以或．
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，
若，则解得；
若，则，且等号不能同时成立，解得，
综上可知，实数m的取值范围为
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式
【分析】由题意可得，再由必要不充分条件，求解即可.
【详解】不等式，即，解得，
故，
又的一个必要条件是，则是的真子集，
对于A，，不一定是的子集，比如时，A错误；
对于B，，不是的子集，B错误；
对于C，，是的真子集，C正确；
对于D，，不一定是的子集，比如时，D错误.
故选：C.
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围.
【详解】不等式，解得，
依题意，，则，此时，
所以m的取值范围是.
故答案为：
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为．
(1)求集合；
(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）由题意可得方程有解，根据求解即可；
（2）由题意可得，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）解：由题意可得方程有解，
所以，解得，
所以；
（2）解：因为是的必要条件，
所以，又因为为非空集合，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
典型例题
例题1．（24-25高三上·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】首先解不等式化简、，结合是的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可.
【详解】由，解得或，
即：“或”，
由，即，解得，
所以：“”，
因为是的必要不充分条件，
所以或，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：B
本题结构为正序结构，标志词：“是”是的必要不充分条件，翻译为数学语言：且，根据小范围能推大范围，大范围不能推小范围原则，本题中，表示的范围比表示的范围小。
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误．
本题结构为倒序结构，标志词：“的”使成立的一个充分不必要条件是（），翻译成数学语言为：且，注意与前后位置要调换。
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据充分不必要条件求参数、分式不等式
【详解】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以．
2．（25-26高三上·全国·课后作业）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件
【详解】解法1 设，，由题意可知和都不成立，所以．
解法2 若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D．
3．（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故选：C.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论.
【详解】解不等式，可得，
所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集，
所以可以排除选项A，B，C，
因为由可推得，由不能推得，
所以使不等式成立的一个充分不必要条件为．
故选：D．
5．（24-25高三上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ．
【答案】
【知识点】根据必要不充分条件求参数
【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值.
【详解】设或，，
因为“或”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，则，
即实数的最大值是.
故答案为：.
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假
【分析】判断出、的真假，即可得出结论.
【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，由可得或，则命题为真命题，
因此，和都是真命题.
故选：B.
例题2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假
【分析】先判断命题的真假，再逐项判断即可.
【详解】对命题：当时，不成立，所以命题为假命题，为真命题；
对命题：当时，成立，所以命题为真命题，为假命题.
故选：B
精练高频考点
1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、零点存在性定理的应用
【分析】取可判断命题，利用函数的零点存在定理可判断命题，即可得出结论.
【详解】取易得命题为假命题，故命题为真命题；
构造函数，其中，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，，则，
所以，函数在上有且只有一个零点，命题为真命题.
因此，和都是真命题.
故选：B.
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（ ）
A．命题与均为真命题
B．命题与均为真命题
C．命题与均为真命题
D．命题与均为真命题
【答案】B
【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、求指数函数在区间内的值域、基本不等式求积的最大值
【分析】利用指数函数值域及基本不等式判断，利用基本不等式求出最大值判断即可得解.
【详解】，则，当且仅当时取等号，为真命题；
当时，，当且仅当时取等号，为假命题，为真命题，
所以命题与均为真命题，B正确.
故选：B
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（ ）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解.
【详解】当时，，所以是假命题，且.
故选：C.
例题2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“”的否定是“”.
故选：D
精练高频考点
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：C
2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】由特称命题的否定定义可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选:D.
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由判别式即可求解.
【详解】由题意可得：，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：A
例题2．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“”的否定，
即命题“”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有，
解得.
故选：C.
例题3．（2025高三下·天津·专题练习）命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】 ，使得
【知识点】基本不等式求和的最小值、特称命题的否定及其真假判断、根据全称命题的真假求参数
【分析】由命题的否定的定义得到结果；原命题为假命题，则其否定为真命题，借助基本不等式求得实数的取值范围.
【详解】由题意得命题的否定为，使得，
若命题为假命题，则其否定为真命题，即，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，实数的取值范围为.
故答案为：，使得；
精练高频考点
1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据全称命题的真假求参数
【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》
【详解】命题“”是假命题，
则 是真命题，
∴，
解得：或，
即a的范围是
故选：D.
2．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据条件得到，即可求解.
【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根，
所以，即，解得或，
故选：D.
3．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题，为真命题，
所以，对，
又在上的最小值为，
，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽视了“的”字结构倒装
1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先解出一元二次不等式，再根据充分、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为，所以解得，即不等式的解集为，
由题意可知，选项对应的集合应为的真子集.
对于选项A ，因为 ，即是的必要不充分条件，故A错误；
对于选项B，因为，即是的充要条件，故B错误；
对于选项C，因为，即是充分不必要条件，故C正确；
对于选项D，因为与不存在包含关系，即是的既不充分也不必要条件，故D错误.
故选：C
2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件
【分析】求出不等式解集，再根据充分条件和必要条件得概念，结合选项选出答案即可.
【详解】的充要条件是，故必要不充分条件是，
故选：D．
3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小
【分析】对于A由不等式的性质可判断；对于B取特殊值可判断；对于C不等式可化为，由即可判断；对于D根据的单调性以及不等式的性质可判断
【详解】对于A，因为，所以得,故，故A正确；
对于B，取，此时满足，但，故B错误；
对于C，由可得，即，
当时，，
而，故C错误；
对于D，由可知，，因为，所以，故D正确．
故选：AD
易错点二：最高项系数含参数，容易忽略系数为0
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】由题意分或分类讨论即可求解.
【详解】由题意有：当时，满足题意，
当时，，
所以，
故选：C.
2．（23-24高三上·山西太原·阶段练习）．若此命题是假命题，则实数的取值集合是
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】我们已知原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，然后利用不等式的恒成立求解参数范围即可.
【详解】由题意可知，命题“”的否定是“”，
且是真命题，所以或解得，
所以实数的取值集合是．
故答案为：
3．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】分，，三种情况结合二次函数的性质求解即可.
【详解】由题意得：当时，，不符题意；
当时，的对称轴为，
所以只需，解得；
当时，表示开口向下的抛物线，满足题意.
综上所述，的取值范围为.
易错点三：给定的区间是非区间，不能用判别法
1．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若命题“”为真命题，则实数的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】将恒成立问题转化为最值问题结合二次函数的性质求解即可；
【详解】若命题“”为真命题，
则，恒成立，即，
，单调递减；单调递增；
当时，，
故，则实数的最小值是3.
故选：D.
2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求二次函数的值域或最值、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上恒成立，构造函数求解最小值即可．
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
记，，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以实数可取的最小值是．
故选：D.
3．（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可.
【详解】因为为假命题，所以为真命题，
即当时，恒成立.
因为函数图象的对称轴为，
所以当时，，所以，
即，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
易错点四：给定的区间是区间，可用判别法
1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
故当时，，即为，符合题意；
当时，需满足解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据命题为真结合二次函数值域应用判别式计算即可.
【详解】由题意可知，不等式有解，
实数m的取值范围为．
故答案为：
3．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据“”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得：“”为真命题，
所以，解得或.
∴实数a的取值范围为
故答案为：
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有