2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(精讲)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了两角和与差的正弦，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，常用结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22324" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc22324 \h 1
\l "_Tc26098" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc26098 \h 2
\l "_Tc2404" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2404 \h 2
\l "_Tc7868" 高频考点一：公式的基本应用 PAGEREF _Tc7868 \h 2
\l "_Tc21405" 高频考点二：公式的逆用及变形 PAGEREF _Tc21405 \h 3
\l "_Tc14953" 高频考点三：辅助角公式的运用 PAGEREF _Tc14953 \h 4
\l "_Tc2348" 高频考点四：二倍角 PAGEREF _Tc2348 \h 5
\l "_Tc6432" 高频考点五：拼凑角 PAGEREF _Tc6432 \h 5
\l "_Tc9079" 高频考点六：降幂公式 PAGEREF _Tc9079 \h 6
\l "_Tc2313" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc2313 \h 7
第一部分：基础知识
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式

4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·四川巴中·二模）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则 ．
3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川·期中）计算（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·福建泉州·期中）的值为 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·四川凉山·期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·福建泉州·期中）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知对于恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ．
例题3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期．
精练高频考点
1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设函数，，若是奇函数，则 ．
2．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ．
3．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，．
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求使取得最小值的的集合．
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知是第四象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·河南·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，为锐角，，且．
(1)求的值；
(2)求角的值．
精练高频考点
1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·湖北·期中）已知，都是锐角，，，则（ ）
A．1B．C．D．
3．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知，其中，求的值（ ）
A．B．C．D．
高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）若，则 .
精练高频考点
1．（23-24高一下·云南保山·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则=（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数的周期为，则 .
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽略了辅助角(其中)公式中的先化为正数再化简
1．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化为的形式：
(1)；
(2)．
2．（2024高三·全国·专题练习）化简：
3．（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）化简
(1)
(2)
第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22324" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc22324 \h 1
\l "_Tc26098" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc26098 \h 2
\l "_Tc2404" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2404 \h 3
\l "_Tc7868" 高频考点一：公式的基本应用 PAGEREF _Tc7868 \h 3
\l "_Tc21405" 高频考点二：公式的逆用及变形 PAGEREF _Tc21405 \h 6
\l "_Tc14953" 高频考点三：辅助角公式的运用 PAGEREF _Tc14953 \h 7
\l "_Tc2348" 高频考点四：二倍角 PAGEREF _Tc2348 \h 9
\l "_Tc6432" 高频考点五：拼凑角 PAGEREF _Tc6432 \h 12
\l "_Tc9079" 高频考点六：降幂公式 PAGEREF _Tc9079 \h 15
\l "_Tc2313" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc2313 \h 17
第一部分：基础知识
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式

4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用差角的正切求解即得.
【详解】由，，
所以.
故选：D
例题2．（2025·四川巴中·二模）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件结合同角关系可求，再由两角差余弦公式求结论.
【详解】因为，，所以，
因为，，所以，
所以，
故选：B.
精练高频考点
1．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解可得结果.
【详解】在中，，，，
所以，，
所以.
故选：C.
2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系得出，再应用两角和正切公式计算求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：.
3．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到，，利用余弦和角公式得到答案；
（2）先求出，利用正切和角公式得到方程，求出.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
所以.
（2）由（1）可知，
因为，所以，
即，解得.
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川·期中）计算（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：A.
例题2．（24-25高一下·福建泉州·期中）的值为 .
【答案】
【分析】根据两角差的正切公式化简，然后利用特殊角的正切值得解.
【详解】由题意得.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解．
【详解】，
故选：D．
2．（24-25高一下·四川凉山·期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由两角和的正弦公式即可求解.
【详解】,
故选：C
3．（24-25高一下·福建泉州·期中）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和差角公式化简计算即可．
【详解】

.
故选：B.
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知对于恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】，其中，，
.
故选：B.
例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质列式求解.
【详解】依题意，，其中锐角由确定，
由为奇函数，得，即，
所以.
故答案为：
例题3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小正周期．
【答案】
【分析】化简得到，得到其最小正周期，进而得到答案.
【详解】化简函数，
由公式得：的最小正周期，
的图象为的图象位于轴下方部分向上进行翻折，故周期减半，
∴的最小正周期为．
精练高频考点
1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设函数，，若是奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解.
【详解】函数，
由是奇函数，得，则，
所以.
故答案为：.
2．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ．
【答案】
【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值.
【详解】，令，得，，
由 恒成立，可知，，，
则.
故答案为：
3．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，．
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求使取得最小值的的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代值计算可得的值；
（2）利用辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（3）令，求出的表达式，即可得出使取得最小值的的集合.
【详解】（1）因为，故.
（2）因为，
故函数的最小正周期为.
（3）当时，即当时，函数取最小值，
故使取得最小值的的集合为.
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的商数关系可得的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解.
【详解】由题意得，所以.
故选：A.
例题2．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方关系结合题设可得，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】由，结合，解得，
则.
故选：B.
例题3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出，再结合两角和余弦公式计算求解.
【详解】因为，且，
所以，，
则.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】又条件根据同角关系求，再结合二倍角公式求结论.
【详解】因为，，
所以，即，
所以，又，
所以，
所以，
故选：A.
2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知是第四象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用差角的正切公式求得，结合角的象限求出角的正余弦，利用二倍角公式代入计算即得.
【详解】由可得，解得，
因为是第四象限角，所以，，
由解得
所以.
故选：D.
3．（24-25高一下·河南·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二倍角的余弦公式及弦切互化可得结果.
【详解】.
故选：D．
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为，为锐角，，，
所以，，
所以，
则
，
所以，
故选：A．
例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可.
【详解】已知为锐角，，
根据，可算出，
因为为锐角，且，
又，
，
，
所以．
故选：C．
例题3．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，为锐角，，且．
(1)求的值；
(2)求角的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由同角的三角函数关系得到，再利用差角的正切展开式结合同角的三角函数关系解方程组可得；
（2）方法一：由差角的正切公式结合特殊角的正切值可得；方法二：由同角的三角函数关系结合两角和的余弦展开式可得.
【详解】（1）由，为锐角，则，
又，则，
所以，
即，
所以……① 又……②
由为锐角，由①②解得：．
（2）由（1）知，又，
即．
由，且，则，所以，
又，则，所以．
法二：因为，为锐角，，，解得：，，
由，又，
所以，
则
，
由，且，则，所以，
又，则，所以．
精练高频考点
1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为，，
可得.
故选：B．
2．（24-25高一下·湖北·期中）已知，都是锐角，，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数间的关系求得，利用二倍角的正切公式求得，进而利用两角和的正切公式可求的值.
【详解】因为，是锐角，所以，
所以，从而，
所以.
故选：A.
3．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知，其中，求的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意及同角三角函数的关系可得，利用两角和的正弦公式，展开可得结果.
【详解】由，可得，所以，
.
故选：A.
高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】，
，
，
又在上单调递增，所以，即，
所以.
故选：A.
例题2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】根据题意利用降幂公式结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
精练高频考点
1．（23-24高一下·云南保山·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用降幂公式和诱导公式即可.
【详解】
，
故选：A．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解.
【详解】∵，∴．
故选：B．
3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数的周期为，则 .
【答案】
【分析】利用降幂扩角公式以及诱导公式化简函数，根据周期求得参数.
【详解】因为.
因为其周期为，故可得，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及由函数周期求参数，属综合基础题.
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽略了辅助角(其中)公式中的先化为正数再化简
1．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化为的形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据三角函数的恒等变换即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
2．（2024高三·全国·专题练习）化简：
【答案】或
【分析】利用辅助角公式，将其化为或的形式即可.
【详解】解法一：
解法二：
3．（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】三角换元之后，逆用和差角公式即可化简
【详解】（1）
（2）