2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精练+相遇真题)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（四川省部分学校2025届高三5月联考数学试卷）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．4D．6
2．（2025·江西赣州·二模）已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
4．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心B．有对称中心
C．有对称轴D．有对称轴
6．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．0B．-1012C．-2D．1010
二、多选题
7．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（ ）
A．是偶函数B．函数的图象关于点中心对称
C．是函数的一个周期D．
8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数B．
C．函数的图象关于点对称D．
三、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
10．（2026高三·全国·专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则 ．
四、解答题
11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性；
(3)求函数的值域.
12．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数.求证：.
13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称，且
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式
B相遇高考
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
C素养提升
1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，函数为奇函数，为常数．
(1)求的值；
(2)用定义法证明：函数在上单调递增；
(3)若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足.
(1)判断函数的奇偶性，并证明之；
(2)证明：；
(3)求的值.
3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，．
(1)求的值；
(2)设函数．
①证明函数的图象关于点对称；
②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
一、单选题
1．（四川省部分学校2025届高三5月联考数学试卷）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【知识点】求函数值、由奇偶性求参数
【分析】由求得，再由即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
则.
故选：C
2．（2025·江西赣州·二模）已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值.
【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则，
又因为，所以，，故，
即.
故选：B.
3．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为，则为奇函数，
所以的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．
故选：A
4．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.
【详解】因为奇函数在上有定义，所以，
所以
所以，解得.
所以的取值范围为.
故选：D.
5．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心B．有对称中心
C．有对称轴D．有对称轴
【答案】B
【知识点】判断或证明函数的对称性、简单复合函数的导数
【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解.
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
导函数关于对称，所以关于即对称，
故选：B
6．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．0B．-1012C．-2D．1010
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由题意知且，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个周期内的函数值之和，2025项的和包含506个周期之和及，分别求值相加即可.
【详解】已知为奇函数，所以且，
因为，所以，则，函数的周期为4，
因为，，，，
所以，
因为，前2024项和为，，
所以.
故选：C
二、多选题
7．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（ ）
A．是偶函数B．函数的图象关于点中心对称
C．是函数的一个周期D．
【答案】ABC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性，周期性及对称性的意义逐项判断即可.
【详解】令，则，解出，故A正确；
令，则，
故函数的图象关于点中心对称，故B正确；
因为所以令可得，
即，
又因为是偶函数所以，即，
整理可得：，
令，可得，即，
整理得，所以是函数的一个周期，故C正确；
因为所以令可得，
又因为是偶函数且周期为，所以，
因为，
当为奇数，根据周期性可知，
当为偶数，根据周期性可知，故，故D错误.
故选:ABC
8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数B．
C．函数的图象关于点对称D．
【答案】ACD
【知识点】简单复合函数的导数、函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断、求函数值
【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D.
【详解】对A，因为，所以，
所以函数是偶函数，故A正确；
对B，因为为偶函数，所以，即，
所以，即，令，得，
所以，故B错误；
对C，因为，所以，
即，又，所以，
所以，所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故C正确；
对D，因为，令，得，
所以，又，所以，
，…，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
【答案】
【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、由奇偶性求参数
【分析】由为奇函数即可求解.
【详解】因为函数为偶函数，
而是偶函数，是奇函数，
所以为奇函数，
，得；
若，函数，定义域为,不关于原点对称，函数不是偶函数，
若，代入验证符合题意.
故答案为：
10．（2026高三·全国·专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则 ．
【答案】339
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、求函数值
【分析】利用条件可得的周期，再利用函数解析式和周期性计算出至，再利用，从而将目标转化为一个周期内的函数值的运算.
【详解】因为，所以，则，
所以的周期，
当时，，则，，
则，，
当时，，则，，，，
则，，
则，
，
而，
所以．
故答案为：339.
四、解答题
11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性；
(3)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)奇函数
(3)
【知识点】已知函数类型求解析式、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域
【分析】（1）利用待定系数，代入可得方程求，即可得函数解析式；
（2）利用定义域对称，再结合，即可得奇函数；
（3）利用指数函数性质，分离分式即可求得值域.
【详解】（1）由可得，
所以.
（2）由的定义域为，关于原点对称， ，故是奇函数.
（3）由，
因为，所以，所以，
即，所以，
故函数的值域为.
12．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数.求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】判断或证明函数的对称性、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数
【分析】（1）根据函数奇偶性，由求出，再验证函数奇偶性即可；
（2）根据题中条件，直接计算即即可证明.
【详解】（1）因为为定义域为的奇函数，所以，即 ，解得；
所以，
则，即，
所以为奇函数，符合题意，
故；
（2）因为，
所以
因为为奇函数，所以则，
因此，
即.
13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称，且
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）由关于原点对称可得，，再结合代入计算即可得；
（2）借助单调性的定义证明即可；
（3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可.
【详解】（1）定义在上的函数图象关于原点对称，
为上的奇函数，，解得；
，
又，故，，
其满足，故为奇函数，图象关于原点对称，
即；
（2）在上单调递增；
证明如下：令，

，
由，
则，，，
，
即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，
故由，得，，
又在上单调递增，
则有，解得，
故不等式的解集为
B相遇高考
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含csx的函数的奇偶性
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
C素养提升
1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，函数为奇函数，为常数．
(1)求的值；
(2)用定义法证明：函数在上单调递增；
(3)若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得的值；
（2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证；
（3）求出的最大值后利用参变分离可求实数的取值范围．.
【详解】（1）∵，
∴.
∴，即，
故,解得，检验（舍），∴.
（2）由（1）可知，
证明：任取，即有，
即，即，
即有，即，
∴在上为增函数；
（3）由（2）可知在上为增函数，故，
由题设有在上恒成立，
故在上恒成立，
设，因为在上均为增函数，
故在上均为增函数，故，
故.
2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足.
(1)判断函数的奇偶性，并证明之；
(2)证明：；
(3)求的值.
【答案】(1)是定义在的偶函数；证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）令得，再令可得出，结合偶函数的定义可证得结论成立；
（2）分别令、可得出，结合偶函数的性质得出，进而推导出，结合函数周期性的定义可证得结论成立；
（3）利用赋值法可得出的值，，，，结合函数周期性可求得所求代数式的值.
【详解】（1）因为是定义在上的函数，
对、都有
令得，可得，
再令得，所以是定义在的偶函数.
（2）令得，
再令得，
两式相加得，这里不恒为零，
故，即，
又因为函数为偶函数，则，
所以，所以函数是周期为的周期函数.
（3）由（2）知，，，，，
所以，，
令得；
令，得，又，
得到；
令得，
所以
.
3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，．
(1)求的值；
(2)设函数．
①证明函数的图象关于点对称；
②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)①证明见解析；②不是，证明见解析
【知识点】函数对称性的应用、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）根据对称的充要条件，令即可求解；
（2）①根据对称的充要条件计算即可证明；②设在上的值域为，则命题“，使得成立”，即，讨论二次函数的对称轴，求出在上的值域，进行求解即可.
【详解】（1）函数的图象关于点对称，
所以，
令，得.
（2）①，
所以
，即满足，
所以函数的图象关于点对称.
②命题“，使得成立”不是真命题，
证明：在上单调递增，
所以，
设在上的值域为，
对，使得成立，
则，
当时，，
，，，
对称轴，
当时，在单调递增，，，
所以，不等式组无解，
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
所以，解得，
当时，在单调递减，在单调递增，
，，符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
所以，解得，
当时，在单调递减，，，
所以，不等式组无解，
综上所述：当时，对，使得成立，
故命题“，使得成立”不是真命题.