2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

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1．（四川省成都市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·四川成都·期末）计算：=（ ）
A．-1B．0C．D．
3．（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一下·四川雅安·期末）已知，，则（ ）
A．B．3C．D．
5．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
9．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选）（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列式子结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25高一下·甘肃白银·期末） ．
12．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知，则 .
13．（24-25高一下·辽宁朝阳·期中）已知，，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
14．（24-25高一下·四川成都·期末）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.
(1)求的值；
(2)将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
B相遇高考
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
C素养提升
1．（24-25高二下·浙江丽水·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中.
(1)若，，求之间的余弦距离；
(2)已知，，，，若，，
①求之间的余弦距离；
②求的值．
2．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度．
(1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，且．
①求N，P之间的余弦距离；
②求N，P之间的曼哈顿距离．
3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
4．（24-25高一下·江苏常州·期中）中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知，试证明此三倍角公式；
(2)若角满足 ，求的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
1．（四川省成都市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式与和差角的正切公式化简计算，再根据正弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】因，
，
，
又因函数在第一象限是增函数，故，即.
故选：C.
2．（24-25高一下·四川成都·期末）计算：=（ ）
A．-1B．0C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦两角和差的逆应用即可求解.
【详解】由，故C正确.
故选：C.
3．（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果.
【详解】，
．
故选：A.
4．（24-25高一下·四川雅安·期末）已知，，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件，利用两角和与差的余弦公式展开，解方程可得，，进而求得答案.
【详解】由，得，
解得，，
所以.
故选：D.
5．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同角的正余弦的平方关系求得，，利用可求值.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，又，
所以，所以，
所以
.
故选：A.
6．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果.
【详解】.
故选：A.
7．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案.
【详解】.
故选：C.
8．（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】由题可将化为，其中，然后可得答案.
【详解】
，其中，
则当时，取最大值.
故选：C
9．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
10．（多选）（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列式子结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】逆用两角和的正切公式和二倍角的余弦公式即可得出答案.
【详解】对于A，逆用两角和的正切公式可得
，故A正确；
对于B，逆用由两角和的正切公式可得，故B错误；
对于C，逆用由两角和的正切公式，故C正确；
对于D，逆用二倍角的余弦公式，故D错误.
故选：AC.
11．（24-25高一下·甘肃白银·期末） ．
【答案】
【分析】由，利用两角和的正切公式变形即可得解.
【详解】，
，
．
故答案为：.
12．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知，则 .
【答案】
【分析】先用辅助角公式化简等式，再利用二倍角公式进行求解.
【详解】因为，所以，
令，则，
.
故答案为：
13．（24-25高一下·辽宁朝阳·期中）已知，，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解.
【详解】（1）由，得，又，则，
所以.
（2）由，得，又，
则，又，
所以.
14．（24-25高一下·四川成都·期末）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.
(1)求的值；
(2)将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数定义列方程求出点P的坐标，然后再求出、，最后利用诱导公式化简求值；
（2）由题意知，根据两角差的正弦、余弦公式求出，再利用两角和的正弦公式求.
【详解】（1）由三角函数定义可得，得，
则，
，，
（2）因为，，
所以，，
所以.
B相遇高考
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
C素养提升
1．（24-25高二下·浙江丽水·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中.
(1)若，，求之间的余弦距离；
(2)已知，，，，若，，
①求之间的余弦距离；
②求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）①由新定义及所给点的坐标得出，，再求出，即可得出之间的余弦距离；
②由，，展开化简可得解.
【详解】（1）由题意得，
∴之间余弦距离为；
（2）①由题意得
∵，∴，∴，
∵，
∴，∵，∴
∴，之间的余弦距离为.
②由①可得，，
∴，∴
∴
2．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度．
(1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，且．
①求N，P之间的余弦距离；
②求N，P之间的曼哈顿距离．
【答案】(1)曼哈顿距离为2，余弦距离为
(2)①；②
【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案；
（2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解，结合和角公式可得答案.
【详解】（1）由题意；
因为，
所以余弦距离为.
（2）①由题意，
由，可得，故；
因，故，
则，
又，
所以N，P之间的余弦距离为.
②由①可知，，
，
因，则，
所以N，P之间的曼哈顿距离为：
.
3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由的范围求出的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式即求.
（2）利用同角公式及两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）由，得，而，，
则，，
所以
.
（2）由（1）知，，，
由，得，
因此，
所以.
4．（24-25高一下·江苏常州·期中）中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知，试证明此三倍角公式；
(2)若角满足 ，求的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；
（2）由（1）得，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论；
（3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得，由此可得结论.
【详解】（1）由
，得证；
（2）由（1）知，可得，
又
，
故
（3）由，则，
所以，则，
所以，可得（负值舍），
所以.