2027年高考数学一轮复习核心考点 第七章 第36课时 向量法求空间角课件（含试题及答案）

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2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．3．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
通性通法：向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点1．两种方法(1)基向量法：利用线性运算．(2)坐标法：利用坐标运算．2．一个注意点注意异面直线所成的角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．
[解]　(1)证明：连接AC1，交A1C于点P，连接DP，因为点D，P分别是AB，AC1的中点，所以DP∥BC1，因为DP⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．
通性通法：线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs 〈a，n〉|．
[多维变迁](2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．(1)证明：A1C＝AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解]　(1)[证明]　过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC．
[解]　(1)[证明]　因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则AD⊥PD，因为∠ADC＝90°，所以AD⊥CD，因为PD∩CD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，故AD⊥平面PDC．(2)由PD⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，则直线DA，DC，DP两两垂直．以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易错提醒：注意二面角的范围是[0，π]，二面角的余弦值可以为负值．要弄清题目中所求二面角的平面角是否为钝角．若是求两个平面的夹角，则直接取绝对值即可．
课时作业(三十六)　向量法求空间角
6．如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列说法中不正确的有(　　)A．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°B．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30°C．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45°D．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60°
三、填空题7．(人教A版选择性必修第一册P38练习T3)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，则平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值为________．
8．(人教B版选择性必修第一册P48练习B T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为________．
四、解答题9．(2024·北京卷节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
[解]　因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD．连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，