第七章　§7.7　向量法求空间角-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义）

这是一份第七章　§7.7　向量法求空间角-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义），共18页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.
1.异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ=|cs〈u，v〉|=_______.2.直线与平面所成的角
3.平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ=|cs〈n1，n2〉|=________.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(　　)(4)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角相等.(　　)
4.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3BC=3CD=3，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起，使点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则平面ACD与平面ABE夹角的余弦值为　　　.
(1)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.(2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ=|cs〈a，n〉|.(3)平面与平面的夹角和二面角的概念不同.
例2　(2025·北京)四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点.(1)F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；
例2　(2025·北京)四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点.(2)若PA⊥面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.
利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练2　(2026·青岛模拟)如图，已知底面ABC是正三角形，EA⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，EA=AB=2.(1)若CD=1，F是BE的中点，证明：FD⊥平面ABE；
证明　又△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又EA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴CM⊥EA，又EA∩AB=A，EA，AB⊂平面ABE，∴CM⊥平面ABE，故FD⊥平面ABE.
跟踪训练2　(2026·青岛模拟)如图，已知底面ABC是正三角形，EA⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，EA=AB=2.(2)求直线CE与平面EBD所成角的正弦值的最大值.
例3　(2025·全国Ⅱ卷改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明：A'B∥平面CD'F；
证明　因为AB∥CD，所以AE∥DF，所以A'E∥D'F，因为D'F⊂平面CD'F，A'E⊄平面CD'F，所以A'E∥平面CD'F，因为FC∥EB，FC⊂平面CD'F，EB⊄平面CD'F，所以EB∥平面CD'F，又EB∩A'E=E，EB，A'E⊂平面A'EB，所以平面A'EB∥平面CD'F，又A'B⊂平面A'EB，所以A'B∥平面CD'F.
例3　(2025·全国Ⅱ卷改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(2)求平面BCD'与平面EFD'A'夹角的正弦值.
解　方法三　由CD=2AD，F为CD的中点，得DF=AD=FC.又AB∥CD，EF∥AD，所以四边形EFDA为平行四边形，又∠DAB=90°，DF=AD，所以四边形EFDA为正方形，则EF⊥CD，即D'F⊥EF，FC⊥EF，所以∠D'FC是面EFD'A'与面EFCB所成二面角的平面角，因为面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°，所以∠D'FC=60°，又D'F=FC，所以△CD'F为正三角形.
解　由D'F⊥EF，FC⊥EF，D'F∩FC=F，D'F，FC⊂平面CD'F，得EF⊥平面CD'F.因为EF⊂平面EFCB，所以平面CD'F⊥平面EFCB.取FC的中点O，连接D'O，则D'O⊥FC，又平面CD'F⊥平面EFCB，平面CD'F∩平面EFCB=FC，D'O⊂平面CD'F，所以D'O⊥平面EFCB，
利用法向量的方向判断二面角二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角.
典例　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点，则二面角D1-EC-D的余弦值为　　　　.
利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.
跟踪训练3　 (2025·南京模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，点E在线段PD上，PB∥平面AEC.(1)证明：E为PD的中点；
证明　连接BD交AC于点O，连接EO.因为底面ABCD为菱形，所以O为BD的中点.又因为PB∥平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC=EO，所以PB∥EO，所以E为PD的中点.
(1)证明　连接CM，因为M是线段ED的中点，△ECD为正三角形，所以CM⊥ED.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ECD.
又因为ED⊂平面ECD，所以BC⊥ED.又因为BC∩CM=C，BC，CM⊂平面BCM，所以ED⊥平面BCM.又因为BM⊂平面BCM，所以BM⊥ED.
(2)解　取CD的中点F，连接EF.因为△ECD为正三角形，F为CD的中点，所以EF⊥CD.又因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD，EF⊂平面ECD，所以EF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
一、单项选择题1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于A.40°B.50°C.130°D.以上均错
解析　因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α的所成的角等于130°-90°=40°.
4.(2026·遂宁模拟)如图，三棱柱ABC-A1B1C1满足棱长都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中点，E是棱AA1上的动点(不包括端点).设AE=x，随着x的增大，平面BDE与平面ABC的夹角A.先增大再减小B.减小C.增大D.先减小再增大
四、解答题9.(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3.(1)证明：B2C2∥A2D2；
9.(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3.(1)证明：B2C2∥A2D2；
9.(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3.(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.
10.(2025·广州模拟)如图，四边形ABCD为正方形，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点.(1)证明：BM⊥ED；
证明　连接CM，因为M是线段ED的中点，△ECD为正三角形，所以CM⊥ED.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ECD.
证明　又因为ED⊂平面ECD，所以BC⊥ED.又因为BC∩CM=C，BC，CM⊂平面BCM，所以ED⊥平面BCM.又因为BM⊂平面BCM，所以BM⊥ED.
10.(2025·广州模拟)如图，四边形ABCD为正方形，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点.(2)若AB=2，E，A，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O，求直线DO与平面ECD所成角的正弦值.
12.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M，N分别在棱BC，AB上，且满足AN=BM，当三棱锥D-MNB1的体积最小时，B1M与平面A1MN所成角的正弦值是　　　　.