2027年高考数学一轮复习核心考点 第七章 第34课时 空间直线、平面的垂直课件（含试题及答案）

这是一份2027年高考数学一轮复习核心考点 第七章 第34课时 空间直线、平面的垂直课件（含试题及答案），共17页。PPT课件主要包含了常用结论必备，核心考点突破，或34等内容，欢迎下载使用。
直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点一　与线、面垂直相关命题的判定[典例1]　(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　)A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若m⊥α，m⊥β，则α⊥βC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
C　[对于A，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；对于D，若m⊂α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m⊂β，故D错误．故选C．]
通性通法：与线、面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线、面关系要做到作图快、准，甚至不需要作图，通过空间想象来判断．(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
[多维变迁](多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βB．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥αC．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
AC　[根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只能有m∥α，正确；D中，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选AC．]
考点二　直线与平面垂直的判定与性质[典例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．
[证明]　(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD．又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．
思维建模：线面垂直的证明模型第1步　找线线垂直翻译题干条件，转化出所有可能的线线垂直，为寻找目标直线做准备．类型1：共面垂直；类型2：已知线面垂直⇒线线垂直；类型3：已知面面垂直→线面垂直⇒线线垂直．第2步　分析法，逆向思考：确定要证的逆向逻辑链条．第3步　正向写过程：根据正向表述的逻辑书写证明过程．
(2)[证明]　由(1)知，BC⊥C1D，因为CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则CC1⊥BC，因为CC1∩C1D＝C1，CC1⊂平面ACC1A1且C1D⊂平面ACC1A1，则BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面ACC1A1．
通性通法：1．证明面面垂直首先要根据条件证明线面垂直，则所有经过平面垂线的平面都与已知平面垂直，而面面垂直判定的常用两种方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．若条件中已知面面垂直，则通常会应用面面垂直证明线面垂直，即一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
[解]　(1)[证明]　连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，因为SO，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD．
在△BDN中知BN∥PO，又NE∥PC，BN⊄平面APC，PO⊂平面APC，NE⊄平面APC，PC⊂平面APC，可知BN∥平面PAC，NE∥平面PAC，BN∩NE＝N，BN，NE⊂平面BEN，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1．
通性通法：求解三种平行、垂直的综合问题时，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用，可通过作辅助线进行线线、线面、面面平行、垂直间的转化．
课时作业(三十四)　空间直线、平面的垂直
一、单项选择题1．(2025·宝鸡月考)已知两个相交平面α，β，过平面α内一点作交线的垂线l，则“α⊥β”是“l⊥β”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
D　[当点在交线上时，若α⊥β，则l与β的位置关系可能是l与β相交或l⊂β，故充分性不成立；当点在交线上时，若l⊥β，此时l⊂α或l⊄α，所以α，β不一定垂直，故必要性不成立．所以“α⊥β”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．故选D．]
2．已知a，b是空间内两条不同的直线，α，β，γ是空间内三个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γD．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥α或b⊥β
C　[对于A，由α⊥β，a⊂α，设α∩β＝l，当a∥l时，可得a∥β，故A错误；对于B，由a⊥β，α⊥β可得a∥α或a⊂α，故B错误；对于C，如图，设α∩γ＝b，β∩γ＝c，在平面α内作不与a重合的直线m，使m⊥b，因为α⊥γ，则m⊥γ，因为β⊥γ，m⊄β，则m∥β，因为α∩β＝a，则m∥a，于是a⊥γ，故C正确；对于D，当α⊥β，α∩β＝a，b⊥a时，若b⊄α，且b⊄β，则b可以和平面α，β成任意角度，故D错误．]
3．已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分不必要条件是(　　)A．α⊥γ，β⊥γB．m⊥n，m⊂α，n⊂βC．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βD．m∥α，m⊥β
D　[对于A选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β平行或相交，与A选项不符合，所以A不正确；对于B选项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α，β平行或相交，与B选项不符合，所以B不正确；对于C选项，若m⊥n，α∩β＝m，n⊂β，则α，β斜交或垂直，与C选项不符合，所以C不正确；对于D选项，如图所示，
因为m∥α，过直线m作平面γ，使得α∩γ＝n，由线面平行的性质定理可得m∥n，因为m⊥β，则n⊥β，因为n⊂α，故α⊥β，而反过来不成立，D满足要求．故选D．]
4．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
D　[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，A错误；若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，C错误；若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．故选D．]
5．(人教A版必修第二册P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直圆柱的底面，则必有(　　)A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABD
B　[因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．]
6．(2026·合肥模拟)在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，如图，则在三棱锥A-BCD中，下列结论不正确的是(　　)A．CD⊥ABB．CD⊥BDC．平面ADC⊥平面ABDD．平面ABC⊥平面BDC
D　[对于B，如图，因为AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°，又因为∠BCD＝45°，AD∥BC，所以∠ADC＝135°，所以∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝135°－45°＝90°，所以CD⊥BD，所以B正确；对于A，由B选项知CD⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB，所以A正确；对于C，由选项A知，CD⊥平面ABD，因为CD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABD，所以C正确；
对于D，如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，显然AE⊄平面ABC，所以平面ABC与平面BDC不垂直，所以D错误．故选D．]
8．(2025·潮州期末)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(　　)A．PB⊥ACB．PC⊥BCC．平面ABC⊥平面PACD．平面PBC⊥平面PAC
BCD　[对于A，假设PB⊥AC，∵BC⊥AC，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AC⊥平面PBC，∵PC⊂平面PBC，∴AC⊥PC，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥PA，在△PCA中，PA⊥AC，PC⊥AC，不能同时成立，故A错误；对于B，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，故B正确；对于C，∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故C正确；对于D，由选项B可知BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，故D正确．故选BCD．]
三、填空题9．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
四、解答题11．(人教B版必修第四册P124习题11-4BT2改编)如图，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作AE ⊥PC，垂足为E．求证：AE⊥平面PBC．
[证明]　因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE．又PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC．
[解]　(1)[证明]　∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE．∵A1E∩BE＝E，A1E，BE⊂平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，∴DE⊥A1B．
(2)[证明]　取CD的中点H，连接NH，MH，如图．∵M，N分别为A1C，BE的中点，∴MH∥A1D，NH∥DE．∵MH⊄平面A1ED，A1D⊂平面A1ED，∴MH∥平面A1ED，∵NH⊄平面A1ED，DE⊂平面A1ED，∴NH∥平面A1ED，又NH∩MH＝H，NH，MH⊂平面MNH，∴平面A1ED∥平面MNH，又MN⊂平面MNH，∴MN∥平面A1ED．
(3)取A1B的中点G，连接EG，如图．在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB，∴BC∥DE，∵AB＝2CD，∴AE＝BE，即A1E＝BE，∴EG⊥A1B，由(1)知DE⊥平面A1BE，又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，
阶段检测(十一)　空间中的平行与垂直问题
一、单项选择题1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，则(　　)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC
D　[因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BDC，所以AD⊥平面BDC．又AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC．故选D．]
2．(2026·六盘水模拟)已知a，l是直线，α是平面，且a⊂α，则“l⊥a”是“l⊥α”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[根据题意，分两步来判断：①由线面垂直的判定，当a⊂α，l⊥a时，不足以判断l⊥α，故由“l⊥a”推不出“l⊥α”；②a⊂α，若l⊥α，由线面垂直的定义可得，l⊥a，即“l⊥a”是“l⊥α”的必要条件，则“l⊥a”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B．]
3．(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
C　[对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误．对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n相交或异面，故D错误．故选C．]
4．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．其中所有真命题的编号是(　　)A．①③ B．②④C．①②③ D．①③④
A　[对①，当n⊂α时，因为m∥n，m⊂β，则n∥β；当n⊂β时，因为m∥n，m⊂α，则n∥α；当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，则n∥α且n∥β，故①正确；对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，
同理可得n∥t，则s∥t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s∥平面β，因为s⊂平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；对④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误．综上只有①③正确，故选A．]
由于CD⊥平面A1D1DA，A1D⊂平面A1D1DA，所以CD⊥A1D，由于A1B1∥CD，所以四边形A1B1CD是正方形，所以A1C⊥B1D，故B正确；由于AB∥CD，所以AB⊥A1D，由于四边形A1D1DA是正方形，所以AD1⊥A1D，由于AB∩AD1＝A，且AB，AD1⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，故C正确；由于四边形A1B1BA是长方形，所以AB1⊥A1B不成立，由线面垂直的性质可知，AB1⊥平面A1BD不成立，故D错误．故选BC．]
8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　　)A．CD⊥PDB．AB⊥PCC．平面PBD⊥平面PACD．E，F，C，D四点共面
AD　[如图所示，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以 CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，所以BD与AC不一定垂直，则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；因为E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四点共面，故D正确．]
三、填空题9．如图，在四棱锥V-ABCD中，四边形ABCD是正方形，△VAD是正三角形，平面VAD⊥平面ABCD，则二面角A-VD-B的余弦值为________．
10．平面α∥平面β，A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于点P，已知AP＝8，BP＝9，CP＝16，则CD＝________．