第七章　§7.5　空间直线、平面的垂直-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义）

这是一份第七章　§7.5　空间直线、平面的垂直-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义），共18页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.
1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
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2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是___.(2)范围：________.
3.二面角(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围： .
4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
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1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　)
2.(2025·重庆模拟)已知α，β为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是A.若m∥n，n⊂α，则m∥αB.若m∥α，n⊥α，则m⊥nC.若m∥β，α⊥β，则m⊥αD.若α⊥β，n⊂α，则n⊥β
解析　 A选项，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以A选项错误；B选项，若m∥α，则在α内存在直线l，使得m∥l，又n⊥α，l⊂α，故n⊥l，则m⊥n，所以B选项正确；C选项，若m∥β，α⊥β，则可能m⊂α或m∥α或m与α相交，所以C选项错误；D选项，若α⊥β，n⊂α，则可能n⊂β或n∥β或n与β相交，所以D选项错误.
3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形
解析　因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA=90°，而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾，所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误.
1.灵活应用两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.掌握三种垂直关系的转化
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例1　(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T15)已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.
证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：(1)CD⊥AE；
证明　在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：(2)PD⊥平面ABE.
证明　由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
证明　∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
证明　因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC，因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.(2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.
(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
证明　∵在图②中，平面ABC⊥平面ACD，且交线为AC，DC⊂平面ACD，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，BC，DC⊂平面BCD，∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.
三余弦定理cs θ=cs θ1·cs θ2的应用
已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cs θ=cs θ1·cs θ2.
典例　已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC=90°，又∠PAB=∠PAC=60°，则PA与平面α所成的角为　　　　. 
三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(1)∵△PAB为等边三角形，且F为PB的中点，∴AF⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，∴CB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴CB⊥AF，又AF⊥PB，CB∩PB=B，CB，PB⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AF⊥PC.
(2)取AB的中点M，连接PM(图略)，则PM⊥AB，又CB⊥平面PAB，∴PM⊥BC，且AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，又DE⊥平面ABCD，∴DE∥PM，又DE⊂平面CDE，PM⊄平面CDE，∴PM∥平面CDE，
又AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又PM∩AB=M，PM，AB⊂平面PAB，∴平面PAB∥平面CDE.
(1)证明　在四棱锥E-ABCD中，由AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，得AE⊥CD，由四边形ABCD是正方形，得AD⊥CD，而AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，因此CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD.
一、单项选择题1.(人教A版必修第二册P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β=a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥αD.a∥α，a⊥β
2.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC内的射影H必在A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部
解析　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.又平面ABC1∩平面ABC=AB，所以C1在平面ABC内的射影H必在两平面的交线AB上.
5.(2026·南昌模拟)如图，已知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2DC，F，G分别是EB和AB的中点，则下列结论错误的是A.FD∥平面ABCB.FG⊥平面ABCC.FC⊥ABD.平面EBC⊥平面EAB
二、多项选择题7.(2026·德州模拟)在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法错误的是A.若l∥α，l⊥m，则m⊥αB.若l⊥m，l⊥α，则m∥αC.若l⊥α，m⊥β，l∥m，则α∥βD.若l∥α，α∥β，l⊥m，则m⊥β
8.(2026·长沙模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，侧棱BB1垂直于底面ABCD，下列结论正确的是 A.若AB=AD，则AC⊥BD1B.若AC=BD，则AC⊥BD1C.若A1D=A1B，则BD⊥平面ACC1A1D.若AD=AA1，则AD1⊥平面DA1B1C
解析　对于A，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB1⊥AC，又AB=AD，四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，因为BD∩BB1=B，BD，BB1⊂平面DBB1D1，则AC⊥平面DBB1D1，因为BD1⊂平面DBB1D1，所以AC⊥BD1，A正确；对于B，AC=BD，底面四边形ABCD为矩形，不一定得到AC⊥平面DBB1D1，B错误；
解析　对于C，设AC与BD交于点O，由A1D=A1B，O为BD的中点，得A1O⊥BD，因为AA1∥BB1，BB1⊥平面ABCD，所以AA1⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为AA1∩A1O=A1，AA1，A1O⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，C正确；对于D，因为AD=AA1，AA1⊥AD，所以四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，而AD1与A1B1不一定垂直，D错误.
三、填空题9.已知直线l与平面α所成的角为30°，若直线m⊂α，则l与m所成角的最小值为　　　　.
解析　根据直线与平面所成角的定义，直线与平面所成的角等于直线和它在平面内的射影所成的角，该角是直线与平面内所有直线所成的角中最小的角，题中直线l与平面α所成的角为30°，且m⊂α，所以直线l与直线m所成角的最小值为30°.
10.(人教A版必修第二册P152练习T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA=PB=PC，则点O是△ABC的　　　心；
解析　连接OA，OB，OC，图略，∵PA=PB=PC，且PO为公共边，∴Rt△AOP≌Rt△BOP≌Rt△COP，∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心.
(2)若PA=PB=PC，∠ACB=90°，则点O是AB边的　　　点；
解析　当∠ACB=90°时，O为AB边的中点.
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的____心.
解析　连接AO，CO并延长，图略，∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB.∵PO⊥α，AB⊂α，∴PO⊥AB，又PO∩PC=P，PO，PC⊂平面PCO，∴AB⊥平面PCO，又CO⊂平面PCO，∴AB⊥CO，同理，BC⊥AO，∴点O为△ABC三条高的交点，即点O为△ABC的垂心.
四、解答题11.如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，DE⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，且F为PB的中点.求证：(1)AF⊥PC；
证明　∵△PAB为等边三角形，且F为PB的中点，∴AF⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，∴CB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴CB⊥AF，又AF⊥PB，CB∩PB=B，CB，PB⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AF⊥PC.
11.如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，DE⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，且F为PB的中点.求证：(2)平面PAB∥平面CDE.
证明　取AB的中点M，连接PM(图略)，则PM⊥AB，又CB⊥平面PAB，∴PM⊥BC，且AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，又DE⊥平面ABCD，∴DE∥PM，又DE⊂平面CDE，PM⊄平面CDE，∴PM∥平面CDE，
证明　又AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又PM∩AB=M，PM，AB⊂平面PAB，∴平面PAB∥平面CDE.
证明　在四棱锥E-ABCD中，由AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，得AE⊥CD，由四边形ABCD是正方形，得AD⊥CD，而AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，因此CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD.
14.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V1