2027年高考数学一轮复习核心考点 第七章 第31课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课件（含试题及答案）

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考点一　基本立体图形考向1　结构特征[典例1]　(多选)下列说法中正确的是(　　)A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
AD　[由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故B错误；对于C，如图，在圆锥SO中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形，
设截面为△SAC，设AB为底面圆O的一条直径，若∠ASB为钝角，则当SA⊥SC时，截面三角形的面积最大，C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．]
通性通法：辨别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义进行判定．(2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可．
D　[根据斜二测画法还原图形，可得如图：则AO＝A′O′，CO＝C′O′，BO＝2B′O′，BO⊥AC，易知△ABC为等腰直角三角形，故A、C错误；由题意，过B′作B′D′⊥A′C′，垂足为D′，如图，
通性通法：在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
D　[第1步　确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．将平面ABC、平面AA1C1C沿AC翻折至同一平面，如图所示．第2步　确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长．则当A1，B，D三点共线时，A1D＋DB取最小值，
思维建模：最短路径模型第1步　确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．第2步　确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长．
通性通法：空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是________．
通性通法：求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积．
课时作业(三十一)　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
一、单项选择题 1．(2025·惠州校级期中)下列说法正确的是(　　)A．过球面上两点与球心有且只有一个平面B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C　[对于A：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，故A错误；对于B：若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台，如图所示，故B错误；对于C：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D：棱台要求侧棱的延长线交于一点，故D错误．故选C．]
B　[将长方体的部分表面展开，则从A点出发到C1点，有3条直线路线，如图1，2，3所示．
三、填空题10．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为________．
11．(2025·鄄城模拟)如图，已知圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B∥O2A，则圆台的体积为________，圆台的表面积为________．
12．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为________．