2024年新高考数学一轮复习 第七章 第一节 第一课时 基本立体图形及简单几何体的表面积与体积

课时跟踪检测（四十五） 基本立体图形及简单几何体的表面积与体积

1．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(  )

解析：选C根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．故选C.

2．正三棱锥底面边长为a，高为a，则此正三棱锥的侧面积为(   )

A.a2      B.a2     C.a2      D.a2

解析：选A因为底面正三角形中高为a，其重心到顶点距离为a×＝a，且棱锥高为a，所以利用勾股定理可得侧棱长为 ＝a，斜高为 ＝，所以侧面积为S＝3××a×＝a2.

3．(2023·廊坊模拟)若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2，则原四边形AOBC的面积为(  )

A．12        B．6          C．3           D.

解析：选C因为A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2，

所以由斜二测画法的直观图可知O′A′＝.由斜二测画法的画法规则还原原图形OABC，如图，所以AC∥OB，OA⊥OB，AC＝1，OB＝2，AO＝2A′O′＝2×＝2，所以梯形AOBC的面积为S＝×(1＋2)×2＝3.

4．如图，已知正方体的棱长为a，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的表面积为(  )

A．(8＋2)a2  B．(2＋4)a2

C．(4＋2)a2  D．(6－4)a2

解析：选C由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为a，宽为a，所以矩形的面积为a2，所以拼成的几何体的表面积为4a2＋2a2＝(4＋2)a2.

5．足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的．即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去12个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的边数为(  )

A．60       B．90       C．105       D．120

解析：选B由题意可知原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，每条棱属于两个面，则原来共有＝30条棱，此外每个面会产生3条新棱，共产生3×20＝60条新棱，∴共有30＋60＝90条棱，故选B.

6．三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1和V2两部分，那么V1∶V2的比值可以为(  )

A．3∶2  B．4∶3

C．5∶6  D．7∶5

解析：选D设△ABC的面积为S，三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，则其体积为V＝Sh，

根据题意可知几何体AEF-A1B1C1为三棱台，则可知底面面积分别为S，S，高为h，则其体积为V1＝h＝Sh，

所以V2＝V－V1＝Sh－Sh＝Sh，则V1∶V2＝Sh∶Sh＝7∶5，故选D.

7.《九章算术》中将三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示，已知五面体ABCDEF为羡除，其中AB∥CD∥EF，AB＝4，CD＝8，EF＝3，CD与EF的距离为8，点A到平面CDEF的距离为6，则该羡除的体积为( )

A．108      B．112        C．120       D．132

解析：选C如图所示，连接AF，AC，∵CD∥EF，∴点C到平面ABF的距离即为CD与EF的距离，即为8，∴VC-ABF＝××4×6×8＝32，∵VA-CDEF＝××(3＋8)×8×6＝88，∴该羡除的体积V＝VA-CDEF＋VC-ABF＝88＋32＝120.

8．已知一个直角三角形的两条直角边分别为2和2，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为( )

A．(12＋4)π  B．(6＋2)π

C．(4＋3)π  D．(3＋)π

解析：选B如图所示旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，设直角三角形为△ABC，斜边为AC，过B作BD⊥AC，

由题意知，AC＝＝4，BD＝＝，即圆锥底面圆的半径为，

两个圆锥的母线长分别为2和2，故旋转体表面积为×2π××(2＋2)＝(2＋6)π.

9.通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是1 cm和4 cm)制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为( )

A. cm  B．1 cm

C. cm  D. cm

解析：选D由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r，R(r<R)，则2πr＝π×1,2πR＝π×4，解得r＝，R＝2.所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1 cm和4 cm，腰长为3 cm，即AD＝1，BC＝4，AB＝3，过点A作AH⊥BC，H为垂足，所以BH＝，AH＝，该圆台形容器的高为 cm，故选D.

10.如图是一个由圆柱和圆锥组成的几何体，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高是圆柱高的，则当该几何体的体积最大时，该几何体的高为( )

A．2  B．6

C．8  D．10

解析：选D设圆锥的高为x，则底面半径为，x∈(0,6)．

所以该几何体的体积为V(x)＝π(36－x2)x＋4π(36－x2)x＝π(36－x2)x，x∈(0,6)．

所以V′(x)＝π(36－3x2)，

令V′(x)＝0得x＝2，

所以当x∈(0,2)时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈(2，6)时，V′(x)<0，V(x)单调递减，

所以当x＝2时，V(x)取得最大值V(2)＝π×24×2＝208π，

此时，该几何体的高为5x＝10.

11．(2022·天津高考)如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为( )

A．23  B．24 

C．26  D．27

解析：选D该几何体由直三棱柱AFD-BHC及直三棱柱DGC-AEB组成，作HM⊥CB于点M，如图，因为CH＝BH＝3，∠CHB＝120°，所以CM＝BM＝，HM＝，因为重叠后的底面为正方形，所以AB＝BC＝3，在直三棱柱AFD-BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为I，则VI-BCDA＝×3×3×＝，VAFD-BHC＝×3××3＝，则该几何体的体积为V＝2VAFD-BHC－VI-BCDA＝2×－＝27.故选D.

12.(多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是( )

A．直三棱柱的侧面积是4＋2

B．直三棱柱的体积是

C．三棱锥E-AA1O的体积为定值

D．AE＋EC1的最小值为2

解析：选ACD在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；

如图所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E-AA1O的高为定值，S△AA1O＝××2＝，所以VE-AA1O＝××＝，故C正确；设BE＝x∈[0,2]，则B1E＝2－x，在Rt△ABE和Rt△EB1C1中，AE＋EC1＝＋.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值，由对称可知，当E为BB1的中点时，AE＋EC1取得最小值，其最小值为＋＝2，故D正确．

13．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

解析：由题意得，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，所以h＝1，

棱锥的斜高为＝＝2，该六棱锥的侧面积为6××2×2＝12.

答案：12

14．小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图1所示)，并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图2所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则的值为________．

解析：∵点心盒的长、宽、高之比是2∶2∶1，∴设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a，由题意可得l1＝4×a＋4×2a＝12a，l2＝4×4a＋4×2a＝24a，∴＝＝.

答案：

15.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在一正三棱柱中挖去一个圆柱后的剩余部分(圆柱的上、下两底面圆与三棱柱的底面各边相切)，圆柱底面直径为2 cm，高为4 cm.打印所用原料密度为1 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．(取＝1.73，π＝3.14，精确到0.1)．

解析：由题意，正三棱柱底面(等边三角形)如图，有＝且AE＝DC＝，AD＝AC，OE＝，∴＝，则AC＝6，故底面面积S＝×6×6×＝9，∴正三棱柱的体积为V＝Sh＝9×4＝36≈62.3.而圆柱的体积为V′＝πr2h＝12π≈37.7，∴制作该模型所需原料的质量为(V－V′)×1＝24.6 g.

答案：24.6

16.如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为________．

解析：由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作AB的垂线，垂足为点F.则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝＝5.故圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R＝5，高h＝4，母线长l2＝5.圆锥底面半径r＝2，高h＝2，母线长l1＝2.所以圆台侧面积S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，圆锥侧面积S2＝πr×l1＝π×2×2＝4π，圆台下底面面积S3＝πR2＝25π.故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4π＋25π＝(60＋4)π.

答案：(60＋4)π