第七章　§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义）

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1.掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台、球的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图(1)画法：常用 .(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形.(　　)(2)圆台的母线长都相等.(　　)(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　　)(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(　　)
3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是
4.已知球O的表面积与圆锥SO'的侧面积相等，且球O的直径与圆锥SO'的母线长均为4，则圆锥SO'的底面半径为　　　.
2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
例1　 (多选)(2025·南宁模拟)下面关于空间几何体叙述错误的是A.正四棱柱都是长方体B.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
解析　对于A，正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，而长方体是底面为矩形的直棱柱，所以正四棱柱满足长方体的定义，正四棱柱都是长方体，A正确；对于B，两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，比如两个底面全等的斜棱柱拼接在一起的多面体，虽然满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错误；对于C，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误；对于D，根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，D错误.
(1)辨别空间几何体的两种方法①定义法：紧扣定义进行判定；②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.(2)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.(3)在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.
跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中，正确的有A.圆柱的侧面展开图是一个矩形B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
解析　对于A，圆柱的侧面展开图是一个矩形，故A正确；对于B，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故B错误；对于C，由平行六面体的概念和性质可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确；对于D，根据棱台的特征可知，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误.
(3)(2025·莆田模拟)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”，其意思为“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少？”，若1丈=10尺，则葛藤最少长A.21尺B.25尺C.29尺D.33尺
例4　(1)(2025·济南模拟)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为A.π B.2π C.4π D.8π
(2)如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为A.12+3πB.12+1.5πC.24+2πD.24+1.5π
解析　所得几何体的表面积为6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24-0.5π+2π=24+1.5π.
例5　(1) (2026·聊城模拟)瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘，通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为A.556πB.900πC.732πD.588π
解析　连接EB，EC(图略).因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，FH⊥BC，FH⊂平面FBC，所以FH⊥平面ABCD.又EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，FH为四棱锥E-ABCD的高.因为AB⊥BC，平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面FBC，
求空间几何体的体积的常用方法
一、单项选择题1.下面关于空间几何体叙述不正确的是A.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱 的母线C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
解析　对于A，因为母线长相等，所以圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，A正确；对于B，在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，B正确；对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，C错误；对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，D正确.
5.(2026·潍坊模拟)不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图.已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为A.240πB.220πC.160πD.176π
三、填空题9.(2026·红桥模拟)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为　　　　.
10.(2025·包头模拟)如图，已知圆柱的轴截面为正方形ABCD，AB=BC=2，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若AB⊥EF，则三棱锥A-BEF的体积为　　　.
四、解答题11.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.
12.如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积；
解　由题知，底面半径为2，母线长为4，所以圆柱的侧面积S=2π×2×4=16π，圆柱的体积V=π×22×4=16π.
12.如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点.(2)若AC=2，D是PB的中点，点E在线段AP上，求CE+DE的最小值.