(通用版)中考数学二轮专题复习《圆的相关问题》专项练习(含答案)

这是一份(通用版)中考数学二轮专题复习《圆的相关问题》专项练习(含答案)，共17页。

1. 如图1，在平面直角坐标系中，⊙P交y轴于A（0，9），B（0，1），与x轴相切于点C。
（1）求⊙P 的半径和P点坐标；
（2）如图2，作直径EF∥x轴交⊙P于点E，F，交y轴于点D，B'与B关于x轴对称，连接B'F交⊙P于点H，求FH的长。
图1 图2
2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE▪CA。
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长。
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径。
（1）求证：OD⊥CE；
（2）若DF=1，DC=3，求AE的长。
圆中线段和角的计算与证明高分技巧专项练习
参考答案
1. 解：（1）连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。 ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵⊙ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 轴。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
即⊙ SKIPIF 1 < 0 的半径为5 。
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 。
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 。
由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
2. （1）证明：∵DC2=CE•CA，
∴ SKIPIF 1 < 0
△CDE∽△CAD，
∴∠CDB=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD。
（2）解：如图，连接OC，
∵BC=CD，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AO=CO，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵四边形ABCD为⊙O内接四边形
∴∠BCP=∠DAB
∴△PCB∽△PAD
∴PC·PD=PB·PA
∴ SKIPIF 1 < 0
∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，
在Rt△ACB中，
SKIPIF 1 < 0
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°
∴∠FDA+∠BDC=90°
∠CBA+∠CAB=90°
∵∠CDB=∠DAC
∴∠BDC=∠CAB，
∴∠FDA=∠CBA，
又∵∠AFD=∠ACB=90°，
∴△AFD∽△ACB
∴ SKIPIF 1 < 0
在Rt△AFP中，设FD=x，则 SKIPIF 1 < 0
∴在Rt△APF中，有 SKIPIF 1 < 0
求得 SKIPIF 1 < 0
3. 解：（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径。
SKIPIF 1 < 0 CE⊥AB。
SKIPIF 1 < 0 AB=AC，AD⊥BC，
SKIPIF 1 < 0 。
又 SKIPIF 1 < 0 OE=OC，
SKIPIF 1 < 0 OD∥EB。
SKIPIF 1 < 0 OD⊥CE。
（2）解：如图，连接EF。
SKIPIF 1 < 0 CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，
SKIPIF 1 < 0 ∠EFC=90°。
SKIPIF 1 < 0 CE⊥AB，
SKIPIF 1 < 0 ∠BEC=90°。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =90°。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
∴EF2=BF·FC
又 SKIPIF 1 < 0 DF=1，BD=DC=3，
SKIPIF 1 < 0 BF=2， FC=4。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
∵∠EFC=90°，
∴∠BFE=90°。
由勾股定理，得 SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 EF∥AD，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
圆中位置关系的证明问题易错点拨专项练习
1. 如图， SKIPIF 1 < 0 是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D。
（1）求证：AD是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 的半径OB=5，BC=8，求线段AD的长。
2. 如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF＝∠ABC。
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AD＝4，cs∠ABF＝ SKIPIF 1 < 0 ，求DE的长。
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BC＝4，AC＝3CE时，求⊙O的半径。
4. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，AC=6，求BF的长。
5. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D。
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，AD= SKIPIF 1 < 0 ，AC=8，求AB和CE的长。
圆中位置关系的证明问题易错点拨专项练习
参考答案
1. （1）证明：如图，连接AO，并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点E，交BC于点F。
∵AB=AC，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
又∵AD∥BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵AO是半径，
∴AD是 SKIPIF 1 < 0 的切线。
（2）解：∵AE是直径， SKIPIF 1 < 0 ，BC=8，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵OB=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△FOB。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
2.（1）证明：如图，连接BD，
∵AD⊥AB
∴∠DAB=90º
∴BD为⊙O的直径
∵BF是⊙O的切线
∴∠DBF=90º
∴∠ABF=∠D
∵ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴∠D=∠C
∴∠ABF =∠C
∵∠ABF=∠ABC
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC。
（2）解：∵∠ABF =∠D
∴cs∠ABF＝cs∠D＝ SKIPIF 1 < 0
在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵cs∠D= SKIPIF 1 < 0 ，AD=4
∴BD=5
∴AB= SKIPIF 1 < 0 =3
∴∠ABC=∠C=∠ABF
在Rt△ABE中，∠BAE=90°
∵cs∠ABE= SKIPIF 1 < 0
∴BE= SKIPIF 1 < 0
∴AE= SKIPIF 1 < 0
∴DE=AD－AE= SKIPIF 1 < 0 。
3. （1） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切。
理由如下：
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 。∴∠OMB=∠OBM。
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，∴∠OBM=∠EBM。
∴∠OMB=∠EBM。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是角平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切。
（2）解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是角平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 。
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 。 SKIPIF 1 < 0 。 SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 。
4. （1）证明：如图①，连接AD。
∵ E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ ∠DAE=∠EAB。
∵ ∠C =2∠EAB，
∴∠C =∠BAD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
∴ ∠C+∠CAD=90°。
∴ ∠BAD+∠CAD=90°。
即 BA⊥AC。
∴ AC是⊙O的切线。
（2）解：如图②，过点F作FH⊥AB于点H。
∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，
∴ FH=FD，且FH∥AC。
在Rt△ADC中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，AC=6，
∴ CD=4。
同理，在Rt△BAC中，可求得BC=9。
∴ BD=5。
设 DF=x，则FH=x，BF=5－x。
∵ FH∥AC，
∴ ∠BFH=∠C。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
即 SKIPIF 1 < 0 。
解得x=2。
∴ BF=3。
5. （1）证明：如图，连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
即AC平分∠DAB。
（2）解：如图，连接BC，OE，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AB=10，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 =6，
∵点E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴∠AOE=90°，
∴OE=OA= SKIPIF 1 < 0 AB=5，
∴AE= SKIPIF 1 < 0 =5 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△AFE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF=4 SKIPIF 1 < 0 ，EF=3 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠ACF=∠AOE=45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CF=AF=4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE=CF+EF=7 SKIPIF 1 < 0 。
与圆有关的综合问题突破专项练习
1. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接PA，PB，PC。
（1）如图①，若∠BPC=60°，求证：AC= SKIPIF 1 < 0 AP；
（2）如图②，若sin∠BPC= SKIPIF 1 < 0 ，求tan∠PAB的值。
2. 如图，在⊙的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是 SKIPIF 1 < 0 {eq \(AC\s\up4(⌒))} 上异于A，C的一个动点，射线AP交于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
（1）求证：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设，，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）
3. 如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF。
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）求证：BF= SKIPIF 1 < 0 BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系。
与圆有关的综合问题突破专项练习
参考答案
1. （1）证明：∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而点P是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴∠ACP= SKIPIF 1 < 0 ∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA= SKIPIF 1 < 0 =tan30°= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 PA。
（2）解：过A点作AD⊥BC交BC于D，连接OP交AB于E，如图②，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连接OB，则∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC= SKIPIF 1 < 0 ，
设OB=25x，则BD=24x，
∴OD= SKIPIF 1 < 0 =7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB= SKIPIF 1 < 0 =40x，
∵点P是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE= SKIPIF 1 < 0 AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE= SKIPIF 1 < 0 =15x，
∴PE=OP-OD=25x-15x=10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE= SKIPIF 1 < 0 ，
即tan∠PAB的值为 SKIPIF 1 < 0 。
2.（1）证明：由四边形APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，
又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，
∴∠APD＝∠FPC。
∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD。
又∵∠PAC＝∠PDC，
∴△PAC∽△PDF。
（2）解：如图，连接BP，设BC=a，
∵∠ACB=90°，AB=5，AC=2BC
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵△ACE∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 。
∴.
∵AB⊥CD，∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△APB是等腰直角三角形.
∴∠PAB＝45°，。
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴EF=AE=4，∴DF=6.
由（1）△PAC∽△PDF得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 。
∴PD的长为。
（3）如图，连接BP，BD，AD，
∵AC=2BC，
∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即。
∵AB⊥CD，BP⊥AP，
∴∠ABP＝∠AFD。
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵△AGP∽△DGB，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵△AGD∽△PGB，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴。
∴与之间的函数关系式为。
3. （1）解：连接OB，OD，
∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，
∴∠BOD=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴劣弧 SKIPIF 1 < 0 的长为： SKIPIF 1 < 0 ×π×3=2π；
（2）证明：连接AC，
∵AB=BE，∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，
∴BF= SKIPIF 1 < 0 AC，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，[来源:学&科&网]
∴ SKIPIF 1 < 0 [来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD=AC，
∴BF= SKIPIF 1 < 0 BD；
（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，
∵BF为△EAC的中位线，
∴BF∥AC，
∴∠FBE=∠CAE，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CAB=∠DBA，
∵由作法可知BP⊥AE，
∴∠GBP=∠FBP，
∵G为BD的中点，
∴BG= SKIPIF 1 < 0 BD，
∴BG=BF，
在△PBG和△PBF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG=PF。