2026年上海市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

这是一份2026年上海市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了因式分解，化简等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列分数①512、②615、③9128、④43100中，能化成有限小数的是（ ）
A．①②③B．②④C．②③④D．①②④
2．（4分）若13a4□a4=13，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A．+B．÷C．×D．﹣
3．（4分）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．2x2﹣5x+3＝0B．3x2+23x+1=0
C．x2+x﹣6＝0D．﹣2x2+2x﹣1＝0
4．（4分）如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2＝8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内含D．内切
5．（4分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线AB只有一个公共点，则r＝（ ）
A．6B．6512C．6013D．3013
6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△DBE，点D恰好落在AC上，连接CE，则∠DCE的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）因式分解：mx﹣my＝ ．
8．（4分）化简：6a3b8÷b5a⋅a2= ．
9．（4分）如果关于x的无理方程x+2+5+m=0没有实数根，那么m的取值范围是 ．
10．（4分）我国陆地边界全长约22800000米，则用科学记数法表示22800000应为 ．
11．（4分）一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的根的判别式的值是 ．
12．（4分）已知反比例函数y=kx的图象经过点（a，b），且ab＜0，写出一个符合条件的k的值是 ．
13．（4分）从3名男生和4名女生中随机抽取2024年校运动会志愿者，若抽取1名，则恰好是男生的概率是 ．
14．（4分）如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ．
15．（4分）如图，已知点G是△ABC的重心，如果向量AB→=a→，AC→=b→，那么向量BG→= .（结果用a→、b→表示）
16．（4分）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了26米，则他距离地面的垂直高度升高了 米．
17．（4分）一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣2，0，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程mx2﹣2x+n＝0是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 ．
18．（4分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△CEF，当点E落在对角线AC上时，且AG＝GH，则cs∠CAB的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：412−2sin60°﹣（13）﹣2﹣|3−2|．
20．（10分）解分式方程：1x−2=32x−5．
21．（10分）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）请你根据方案二求出旗杆的高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625）
22．（10分）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆AF，EC，BP，QD的长度都相同，加粗杆AM，EH的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面HI垂直，晾衣架的宽度HI最宽可拉伸到1200mm，最窄可拉伸到600mm，点A，E始终在加粗杆的相同高度上，且AC＝EF，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆AF与加粗杆AM的夹角∠FAM＝17.5°，MI：MH＝3：2．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计）
（1）求固定杆AF的长度．
（2）将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时MI＝MH，求E，F两点之间缩短的距离．
（计算过程和结果都精确到1cm；参考数据：sin17.5°≈0.30，tan17.5°≈0.32，7≈2.65）
23．（12分）如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O，连接ED．
（1）求证：△DEO∽△CBO；
（2）若∠A＝60°，求DECB的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，p），N（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点，p≠0且x12p−x2−4x1−4=0，求证：p＝q．
25．（14分）已知AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上异于A、B的两点，点P在⊙O外，已知CD⊥AB，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为F，CE交AB于点H，连接DE．
（1）如图1，求证：∠E＝2∠ECD；
（2）如图1，若OA2＝OG•OP，判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接BE，分别交AD，CD于点M，N，若OH＝2OG，HF=10，求线段EN的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列分数①512、②615、③9128、④43100中，能化成有限小数的是（ ）
A．①②③B．②④C．②③④D．①②④
【考点】分数的互化；小数的互化．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】判断分数是否能化成有限小数，需将其化为最简形式后，检查分母的质因数是否只包含2和5，若是，则能化成有限小数；否则不能．
【解答】解：根据判断分数是否能化成有限小数，需将其化为最简形式后，检查分母的质因数是否只包含2和5，若是，则能化成有限小数；否则不能可得：
①512：12的质因数为2和3（∵12＝2×2×3），含3，故不能化成有限小数；
②615：化简为25（∵分子分母同除以3），分母5的质因数只有5，故能化成有限小数；
③9128：化简为134（∵分子分母同除以7），分母4的质因数为2（∵4＝2×2），故能化成有限小数；
④43100：100的质因数为2和5（∵100＝2×2×5×2），且43为质数无法约分，故能化成有限小数；
故选：C．
【点评】本题考查了判断分数与小数的转化，熟练掌握转化方法是解题的关键．
2．（4分）若13a4□a4=13，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A．+B．÷C．×D．﹣
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】分别把四个选项中的运算符号代入原式求出对应的结果即可得到答案．
【解答】解：A、13a4+a4=43a4，不符合题意；
B、13a4÷a4=13，符合题意；
C、13a4×a4=13a8，不符合题意；
D、13a4−a4=23a4，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键．
3．（4分）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．2x2﹣5x+3＝0B．3x2+23x+1=0
C．x2+x﹣6＝0D．﹣2x2+2x﹣1＝0
【考点】根的判别式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】找出各项方程中a，b及c的值，进而计算出根的判别式的值，找出根的判别式的值小于0时的方程即可．
【解答】解：A、这里a＝2，b＝﹣5，c＝3，
∵Δ＝25﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意；
B、这里a＝3，b＝23，c＝1，
∵Δ＝12﹣4×3×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意；
C、这里a＝1，b＝1，c＝﹣6，
∵Δ＝1﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
D、这里a＝﹣2，b＝2，c＝﹣1，
∵Δ＝4﹣4×（﹣2）×（﹣1）＜0，
∴方程没有实数根，本选项符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
4．（4分）如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2＝8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内含D．内切
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出7s后，两圆的圆心距为1cm，结合两圆的半径差即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2＝8cm．⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．
∴7s后，两圆的圆心距为8﹣7＝1cm，
∵两圆的半径差为3﹣2＝1cm，
∴此时两圆内切，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d＝R+r，则两圆外切，d＝R﹣r，则两圆内切，是关键．
5．（4分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线AB只有一个公共点，则r＝（ ）
A．6B．6512C．6013D．3013
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O有唯一公共点⇔d＝r，由此求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=13，
设C到直线AB的距离是d，
∵△ABC的面积=12AB•d=12AC•BC，
∴13×d＝12×5，
∴d=6013，
∵以C为圆心，r为半径的圆与直线AB只有一个公共点，
∴d＝r，
∴r=6013．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△DBE，点D恰好落在AC上，连接CE，则∠DCE的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理以及等边对等角得出∠ABC＝∠A＝70°，∠ACB＝40°，由旋转可知，∠ABD＝∠CBE＝α，AB＝DB，BC＝BE，进而根据三角形内角和定理得出α＝40°，根据∠ACE＝∠ACB+∠BCE即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△DBE，点D恰好落在AC上，
∴∠ABD＝∠CBE＝α，AB＝DB，BC＝BE，
在等腰△ABD中，∠ADB＝∠A＝70°，
∴∠ABD＝∠CBE＝α＝40°，
在等腰△BCE中，∠CBE＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质以及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）因式分解：mx﹣my＝m（x﹣y） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】m（x﹣y）．
【分析】提公因式m即可．
【解答】解：mx﹣my＝m（x﹣y）．
故答案为：m（x﹣y）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
8．（4分）化简：6a3b8÷b5a⋅a2= 6a6b3 ．
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】6a6b3．
【分析】先把除法化为乘法运算，再计算即可．
【解答】解：6a3b8÷b5a•a2
＝6a3b8•ab5•a2
＝6a6b3，
故答案为：6a6b3．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
9．（4分）如果关于x的无理方程x+2+5+m=0没有实数根，那么m的取值范围是 m＞﹣5 ．
【考点】无理方程．
【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】m＞﹣5．
【分析】根据x+2≥0得当关于x的无理方程x+2+5+m=0设有实数根时，5+m＞0，由此解出m即可．
【解答】解：∵x+2≥0
∴当关于x的无理方程x+2+5+m=0设有实数根时，5+m＞0，
解得：m＞﹣5．
∴m的取值范围是m＞﹣5．
故答案为：m＞﹣5．
【点评】此题主要考查了无理方程，算术平方根的意义，理解算术平方根的意义是解决问题的关键．
10．（4分）我国陆地边界全长约22800000米，则用科学记数法表示22800000应为 2.28×107 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】2.28×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：22800000＝2.28×107，
故答案为：2.28×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（4分）一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的根的判别式的值是 17 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】17
【分析】根据一元二次方程判别式公式Δ＝b2﹣4ac，代值求解即可得到答案．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣5x+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17，
故答案为：17．
【点评】本题考查一元二次方程的判别式，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键．
12．（4分）已知反比例函数y=kx的图象经过点（a，b），且ab＜0，写出一个符合条件的k的值是 ﹣1（答案不唯一） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣1（答案不唯一）
【分析】根据题意k＝ab＜0，即k＜0，任意取一个符合条件的k值即可．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象过经点（a，b），
∴k＝ab＜0，即k＜0，
不妨k＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．
13．（4分）从3名男生和4名女生中随机抽取2024年校运动会志愿者，若抽取1名，则恰好是男生的概率是 37 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】37
【分析】先求出总人数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵总人数＝3+4＝7（名），其中男生有3名，
∴抽取1名，则恰好是1名男生的概率是37．
故答案为：37．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
14．（4分）如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 6 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】计算题．
【答案】6．
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：根据正n边形的中心角的度数为360°÷n，
则n＝360°÷60°＝6，故这个正多边形的边数为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
15．（4分）如图，已知点G是△ABC的重心，如果向量AB→=a→，AC→=b→，那么向量BG→= 13b→−23a→ .（结果用a→、b→表示）
【考点】三角形的重心；*平面向量．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】13b→−23a→；
【分析】先求出向量BC→，进而求出向量BD→，可得向量AD→，然后求出AG→，最后利用向量BG→=BA→+AG→求解即可．
【解答】解：∵AB→=a→，
∴BA→=−a→，
∴BC→=BA→+AC→=b→−a→，
∵点G是△ABC的重心，
∴点D是BC中点，AG=23AD，
∴BD→=12BC→=12b→−12a→，
∴AD→=AB→+BD→=12a→+12b→，
∴AG→=23AD→=13a→+13b→，
∴向量BG→=BA→+AG→=13b→−23a→；
故答案为：13b→−23a→；
【点评】本题主要考查了平面向量和三角形的重心等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（4分）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了26米，则他距离地面的垂直高度升高了 10 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】10．
【分析】设坡度的高为x米，根据勾股定理，列方程求解．
【解答】解：设坡度的高为x米（x＞0），则水平距离为：2.4x米，
则：x2+（2.4x）2＝262，
解得：x＝10，
答：他距离地面的垂直高度升高了10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
17．（4分）一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣2，0，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程mx2﹣2x+n＝0是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 29 ．
【考点】列表法与树状图法；一元二次方程的定义；根的判别式；概率公式．
【专题】一元二次方程及应用；概率及其应用；应用意识．
【答案】29．
【分析】若方程mx2﹣2x+n＝0是关于x的一元二次方程且此方程无解，则m≠0，Δ＝4﹣4mn＜0，即m≠0且mn＞1．列表可得出所有等可能的结果数以及满足m≠0且mn＞1的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：若方程mx2﹣2x+n＝0是关于x的一元二次方程且此方程无解，
则m≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4mn＝4﹣4mn＜0，
∴m≠0且mn＞1．
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中满足m≠0且mn＞1的结果有：（﹣2，﹣2），（4，4），共2种，
∴方程mx2﹣2x+n＝0是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为29．
故答案为：29．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一元二次方程的定义、根的判别式、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、一元二次方程的定义、根的判别式、概率公式是解答本题的关键．
18．（4分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△CEF，当点E落在对角线AC上时，且AG＝GH，则cs∠CAB的值为 34 ．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】34．．
【分析】过点H作EF的平行线，交AC于点N，设AD＝a，CD＝b，AC＝c，根据图形旋转的性质可知EF＝AD＝a，CD＝CE＝b，∠D＝∠CEF＝90°，则AE＝AC﹣CE＝c﹣b，cs∠CAB=ABAC=bc，根据AEAN=AGAN=12，求得CN＝AC﹣AN＝2b﹣c，根据△ANH∽△ABC，求得NH=a(2c−2b)b，结合CNCE=NHEF，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点H作EF的平行线，交AC于点N，设AD＝a，CD＝b，AC＝c．
∵AC为矩形ABCD的对角线，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△CEF，
∴EF＝AD＝a，CD＝CE＝b，∠D＝∠CEF＝90°．
∴AE＝AC﹣CE＝c﹣b，cs∠CAB=ABAC=bc．
∵EF∥NH，
∴△AEG∽△ANH．
∴AEAN=AGAH=12，
∴AN＝2c﹣2b，
∴CN＝AC﹣AN＝2b﹣c，
∵EF∥NH，
∴∠AEG＝∠ANH＝90°，
∴∠ABC＝∠ANH，
∵∠NAH＝∠BAC，
∴△ANH∽△ABC，
∴ANNH=ABBC，
∴NH=a(2c−2b)b，
∵EF∥NH，
∴△CNH∽△CEF，
∴CNCE=NHEF，
∴2b−cb=a(2c−2b)ab，
∴2b﹣c＝2c﹣2b，
∴bc=34．
∴cs∠CAB=34．
故答案为：34．
【点评】本题主要考查旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：412−2sin60°﹣（13）﹣2﹣|3−2|．
【考点】分数指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣9．
【分析】直接利用分数指数幂、特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：412−2sin60°﹣（13）﹣2﹣|3−2|
＝2﹣2×32−9﹣（2−3）
＝2−3−9﹣2+3
＝﹣9．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握分数指数幂、特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及绝对值的性质是解题的关键．
20．（10分）解分式方程：1x−2=32x−5．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将原方程去分母并整理后化为一元一次方程，然后解方程后并检验即可．
【解答】解：原方程两边同时乘以 （x﹣2）（2x﹣5），
去分母得：2x﹣5＝3（x﹣2），
去括号得：2x﹣5＝3x﹣6，
移项，合并同类项得：﹣x＝﹣1，
系数化为1得：x＝1，
检验：把x＝1代入最简公分母（x﹣2）（2x﹣5）得：﹣1×（﹣3）＝3≠0，
故x＝1是原方程的解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21．（10分）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）请你根据方案二求出旗杆的高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的应用；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）①△ABC∽△DEC；②acb．
（2）旗杆的高度约为12.9米．
【分析】（1）结合相似三角形的判定与性质进行填空即可；
（2）先由题意得出CE＝AD＝18m，AC＝DE＝1.68m，再由解直角三角形即可得旗杆的高度．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝∠ECD，
∴△ABC∽△DEC，
∴ABDE=ACCD，即ABc=ab，
∴AB=acb，
故旗杆的高度为acbm．
故答案为：①△ABC∽△DEC；②acb．
（2）∵∠BEC＝32°，
∴AB＝AC+BC＝AC+CE•tan∠BEC＝1.68+18•tan32°≈12.9（m），
∴旗杆的高度约为12.9米．
【点评】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握解直角三角形．
22．（10分）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆AF，EC，BP，QD的长度都相同，加粗杆AM，EH的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面HI垂直，晾衣架的宽度HI最宽可拉伸到1200mm，最窄可拉伸到600mm，点A，E始终在加粗杆的相同高度上，且AC＝EF，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆AF与加粗杆AM的夹角∠FAM＝17.5°，MI：MH＝3：2．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计）
（1）求固定杆AF的长度．
（2）将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时MI＝MH，求E，F两点之间缩短的距离．
（计算过程和结果都精确到1cm；参考数据：sin17.5°≈0.30，tan17.5°≈0.32，7≈2.65）
【考点】解直角三角形的应用；平行线的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）80cm；
（2）22cm．
【分析】（1）连接AE，求出MH＝240，判断四边形AMHE是矩形，得AE＝MH＝240，由正弦定义即得AF的长度约为80cm．
（2）当晾衣架最宽时，AE＝MH＝600，AF＝800，由勾股定理求出EF≈530；当晾衣架从最窄时，AE＝MH＝240，由正切定义求出EF≈750．即得E、F之间的距离大约缩短了22cm．
【解答】解：（1）连接AE．
由题意知MH=600×23+2=240．
∵AM，EH垂直于HI，
∴AM∥EH．
∴∠AFE＝∠FAM＝17.5°，
由条件可知AM＝EH．
∴四边形AMHE是矩形．
∴AE＝MH＝240．
∴AF=AEsin∠AFE=240sin17.5°≈2400.3=800．
∴800mm＝80cm．
答：固定杆AF的长度约为80cm．
（2）当晾衣架从最宽时，
由条件可知MI=MH=12HI=600．
∴AE＝MH＝600．
∵AF＝800，
∴EF=AF2−AE2=2007≈530．
当晾衣架最窄时，
∵AE＝240，
∴EF=AEtan∠AFE=240tan17.5°≈2400.32=750．
∴E、F间缩短的距离为750﹣530＝220．
∴220mm＝22cm．
答：E、F之间的距离大约缩短了22cm．
【点评】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键．
23．（12分）如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O，连接ED．
（1）求证：△DEO∽△CBO；
（2）若∠A＝60°，求DECB的值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）∵BD，CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEO＝∠CDO，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴BOOC=OEOD，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DEO∽△CBO；
（2）DEBC=12．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BEO＝∠CDO，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠AEC＝∠ADB＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理得到DEBC=AEAC，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEO＝∠CDO，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴BOOC=OEOD，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DEO∽△CBO；
（2）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
又∵∠EAC＝∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴AEAD=ACAB，
∴AEAC=ADAB，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
又∵∠BAC＝60°，
∴Rt△ACE中，AEAC=12，
∴DEBC=12．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，p），N（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点，p≠0且x12p−x2−4x1−4=0，求证：p＝q．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）x＝2；
（2）①y＝﹣x2+4x；
②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：p=−x12+4x1，
∴x12−x12+4x1−x2−4x1−4=0，
化简得x1+x2＝4x1+x22=2，
即点M，N关于对称轴对称，
∴p＝q．
【分析】（1）把A（4，0）代入得b＝﹣4a，进而根据对称轴公式，即可求解；
（2）①根据当x＝2时，最大值为6﹣2a2.得出a＝﹣1，结合b＝﹣4a即可求解；
②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：p=−x12+4x1代入代数式化简得出x1+x2＝4，即可得出点M，N关于对称轴对称，即可求解．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝ax2+bx得：16a+4b＝0，
解得b＝﹣4a，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−−4a2a=2，
即对称轴为直线x＝2．
（2）①∵二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2.对称轴为直线x＝2，
∴抛物线开口向下，
当x＝2时，函数取得最大值，
∴4a﹣8a＝6﹣2a2，
解得a＝3（舍去）或a＝﹣1，
∴b＝﹣4a＝4，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x；
②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：p=−x12+4x1，
∴x12−x12+4x1−x2−4x1−4=0，
化简得x1+x2＝4x1+x22=2，
即点M，N关于对称轴对称，
∴p＝q．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．（14分）已知AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上异于A、B的两点，点P在⊙O外，已知CD⊥AB，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为F，CE交AB于点H，连接DE．
（1）如图1，求证：∠E＝2∠ECD；
（2）如图1，若OA2＝OG•OP，判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接BE，分别交AD，CD于点M，N，若OH＝2OG，HF=10，求线段EN的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）PD是⊙O的切线，理由见解析；（3）12．
【分析】（1）连接AC，利用圆周角定理，垂径定理，垂直的定义和直角三角形的性质解答即可；
（2）连接OD，利用相似三角形的判定与性质，垂直的定义和圆的切线的判定定理解答即可；
（3）连接AE，OC，BC，设OG＝x，则OH＝2x，HG＝3x，利用等腰三角形的判定的与性质得到BG＝HG＝3x，OB＝BG+OG＝4x，则OC＝4x，AB＝8x，AH＝2x，AE＝AH＝2x，利用勾股定理分别求得CG，BE，CH，利用直角三角形的边角关系定理求得x值，则BE，BG，AB可求，最后利用相似三角形的判定与性质求得BN，则EN＝BE﹣BN＝12．
【解答】（1）证明：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴BD=BC，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAC＝2∠DAB，
∵∠E＝∠DAC，
∴∠E＝2∠DAB．
∵CD⊥AB，
∴∠AGD＝90°，
∴∠ADG+∠DAB＝90°，
∵AF⊥CE，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ADG+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠DAB，
∴∠E＝2∠ECD；
（2）解：PD是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，如图，
∵点D在圆上，所以OD是⊙O的半径，
∴OD＝OA，
∵OA2＝OG•OP，
∴OD2＝OG•OP，
即ODOP=OGOD，
∵∠DOG＝∠DOP，
∴△DOG∽△DOP，
∴∠DGO＝∠PDO，
∵AB⊥CD，
∴∠OGD＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
（3）解：连接AE，OC，BC，如图，
设OG＝x，则OH＝2x，HG＝3x，
∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠ECD+∠CHG＝∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CHG＝∠CDF，
又∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠CHG＝∠ABC，
∴CH＝CB．
∵CG⊥BH，
∴BG＝HG＝3x，OB＝BG+OG＝4x，
∴OC＝4x，AB＝8x，AH＝2x，
∵∠CHB＝∠AHE，∠CBA＝∠CEA，∠CHB＝∠CBA，
∴∠AHE＝∠CEA，
∴AE＝AH＝2x，
在Rt△OCG中，CG=OC2−OG2=15x，
在Rt△ABE中，BE=AB2−AE2=215x，
在Rt△HGC中，CH=HG2+CG2=26x，
由（1）可知：∠BAD＝∠DCE，
∴sin∠BAD＝sin∠DCE，
∵sin∠BAD=HFAH，sin∠DCE=HGCH，
即HFAH=HGCH，
∴102x=3x26x，
∴x=2153，
∴BE=215x=20，BG=3x=215，AB=8x=16153，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BGN＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠GBN，
∴△BGN∽△BEA，
∴BNAB=BGBE，
∴BN=BG⋅ABBE=215×1615320=8，
∴EN＝BE﹣BN＝12．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．活动任务：测量旗杆的高度
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．
【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角．（如图3）
【步骤三】实地测量并记录数据
方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，得到∠BCA＝∠ECD），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下：
测量过程：
小明将镜子放在距离旗杆AB底部am的点C处，然后看着镜子沿直线AC来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得CD＝bm，小明的眼睛离地面的高度DE＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，CD＝b，DE＝c，
由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝∠ECD，
∴①
∴ABDE=ACCD，即ABc=ab，
∴AB＝② （m）
故旗杆的高度为…m．
方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角∠BEC＝32°，量出测点D到旗杆的距离AD＝18m，量出测倾器的高度DE＝1.68m．
﹣2
0
4
﹣2
（﹣2，﹣2）
（﹣2，0）
（﹣2，4）
0
（0，﹣2）
（0，0）
（0，4）
4
（4，﹣2）
（4，0）
（4，4）
活动任务：测量旗杆的高度
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．
【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角．（如图3）
【步骤三】实地测量并记录数据
方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，得到∠BCA＝∠ECD），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下：
测量过程：
小明将镜子放在距离旗杆AB底部am的点C处，然后看着镜子沿直线AC来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得CD＝bm，小明的眼睛离地面的高度DE＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，CD＝b，DE＝c，
由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝∠ECD，
∴① △ABC∽△DEC
∴ABDE=ACCD，即ABc=ab，
∴AB＝② acb （m）
故旗杆的高度为…m．
方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角∠BEC＝32°，量出测点D到旗杆的距离AD＝18m，量出测倾器的高度DE＝1.68m．