2026年上海市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

这是一份2026年上海市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案，共7页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么∠B的余切值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
3．（4分）如果当x＞0时，反比例函数y=kx(k≠0)的函数值随x的增大而增大，那么一次函数y=13kx−2k的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
4．（4分）下列各式错误的是（ ）
A．|0→|＝0B．m→+（−m→）＝0
C．m→+n→=n→+m→D．m→−n→=m→+（−n→）
5．（4分）已知：如图，在△OAB中，点C在OB上，CO＝CA＝CB，
求作：点D，使得点D在OA的延长线上，且BD∥AC．
甲、乙两位同学尺规作图的方法如下：
甲：以A为圆心，OA的长为半径画弧，交射线OA于点D，连接BD，点D即为所求；
乙：以B为圆心，OB的长为半径画弧，交射线OA于点D，连接BD，点D即为所求．上述两个作法中，可以判断出（ ）
A．只有甲正确B．只有乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确
6．（4分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
②两个全等三角形一定相似；
③有一个角对应相等的两个等腰三角形一定相似；
④等边三角形都相似；
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算(23)2025×(−32)2025= ．
8．（4分）若代数式a有意义，则a的取值范围是 ．
9．（4分）已知一个小球初速度为零，从距离地面高度为h的地方开始自由下落，经历时间t后落到地面，h关于t的数学关系式为h＝5t2，当h＝25时，则小球落地所用时间为 ．
10．（4分）一只不透明的袋中装有1个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数是 ．
11．（4分）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，若坝顶AD＝6m，坝高DE＝8m，且∠C＝30°，斜坡AB的坡度i＝1：1，则坝底BC的长为 m．
12．（4分）若直线a→⊥b→，b⊥c，c⊥d，d⊥e，则直线a，e的位置关系是 ．
13．（4分）如图所示，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕）得到的两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的大矩形相似，那么原来矩形的长、宽之比为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，以O为圆心（点O在BC下方），10为半径作圆，⊙O经过点B，C，则线段AO的长为 ．
15．（4分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 米．
16．（4分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB＝4AD，AC＝3AE，连接DE，DC，BE，DC与BE相交于点F，则S△DEFS△ABC= ．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与BD相交于点G，与DC相交于点N．则4个结论：①DE＝DF；②∠CME＝∠CDE；③DG2＝GN•GE；④若BF＝2，则MC=2．正确的结论有 个．
18．（4分）如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若DECE=52，则csB 的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：(1x+2+1)÷x2+6x+9x2−4，其中x＝1．
20．（10分）解方程组：x2+2y−2=0①x−y+1=0②．
21．（10分）求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：
（1）抛物线y＝ax2﹣1过点（1，2）；
（2）抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）．
22．（10分）小米暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具．已知小米所有玩具的进价均为2元/件，在销售过程中发现：每天玩具的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分．设小米销售玩具的日利润w（元）．
（1）根据图象，求出y与x之间的函数表达式；
（2）求出小米销售玩具的日利润w（元）与销售价格x（元/件）之间的函数表达式，并求出日利润的最大值；
（3）若某天玩具的销售价格x＞4，要使小米在该天销售玩具的日利润不低于54元，求该天玩具的销售价格x的取值范围．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．
（1）△ABC与△BDC相似吗？请说明理由；
（2）求DCAD的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），点P、Q为抛物线y＝x2﹣2x﹣3上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为4﹣m．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ=25时，求m的值；
（3）当抛物线在点P和点Q之间的部分（包括点P与点Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，求m的值；
（4）当点P在点B左侧时，连结PQ，过点P作y轴的垂线交该抛物线于点M，以PM、PQ为边作▱PMNQ，连结OM、ON，设△OMN的面积为S1，▱PMNQ的面积为S2，当S1S2=14时，直接写出m的值．
25．（14分）已知同一平面内，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转，使∠BAC+∠DAE＝180°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图1，当点D在线段BC上且AD＝CD时，求证：∠B＝∠CAE；
（2）如图2，连接BE，CD，取BE的中点F，连接AF，用等式表示线段AF与CD的关系并证明；
（3）如图3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，点B与点D重合，AB=42．点M为线段AB中点，点N为直线BC上一点，连接MN，将△MBN沿MN翻折到同一平面内的△MPN，连接CP，再将CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接BQ．当BQ取得最小值时，请直接写出BQBC的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行解答．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么∠B的余切值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求得AC的长度，然后求得∠B的余切值即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC=52−32=4，
∴∠B的余切值为BCAC=34，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（4分）如果当x＞0时，反比例函数y=kx(k≠0)的函数值随x的增大而增大，那么一次函数y=13kx−2k的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限．
【解答】解：∵当x＞0时，反比例函数y=kx(k≠0)的函数值随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴13k＜0，﹣2k＞0，
∴一次函数y=13kx−2k的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质和反比例函数的性质，先根据题意判断出k的符号是解题的关键，
4．（4分）下列各式错误的是（ ）
A．|0→|＝0B．m→+（−m→）＝0
C．m→+n→=n→+m→D．m→−n→=m→+（−n→）
【考点】*平面向量．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平面向量的意义和性质进行分析作答．
【解答】解：A、|0→|＝0，不符合题意．
B、m→+（−m→）=0→，符合题意．
C、m→+n→=n→+m→，不符合题意．
D、m→−n→=m→+（−n→），不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，且实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中．
5．（4分）已知：如图，在△OAB中，点C在OB上，CO＝CA＝CB，
求作：点D，使得点D在OA的延长线上，且BD∥AC．
甲、乙两位同学尺规作图的方法如下：
甲：以A为圆心，OA的长为半径画弧，交射线OA于点D，连接BD，点D即为所求；
乙：以B为圆心，OB的长为半径画弧，交射线OA于点D，连接BD，点D即为所求．上述两个作法中，可以判断出（ ）
A．只有甲正确B．只有乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确
【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】甲乙两种方法度正确．甲利用三角形中位线定理证明即可；乙利用同位角相等两直线平行证明即可．
【解答】解：甲乙两种方法度正确．
理由：甲：由作图可知OA＝AD，OC＝CB，
∴AC∥BD；
乙：由作图可知CO﹣CA，BO＝BD，
∴∠O＝∠CAO，∠A＝∠D，
∴∠CAO＝∠D，
∴AC∥BD．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（4分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
②两个全等三角形一定相似；
③有一个角对应相等的两个等腰三角形一定相似；
④等边三角形都相似；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理；相似三角形的判定．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法对选项逐个判断即可．
【解答】解：有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，说法正确，为真命题；
两个全等三角形一定相似，说法正确，为真命题；
有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，说法错误，为假命题；
等边三角形都相似，说法正确，为真命题；
真命题的个数为3，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，涉及了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）计算(23)2025×(−32)2025= ﹣1 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】逆用积的乘方的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=(−23×32)2025
＝（﹣1）2025
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键．
8．（4分）若代数式a有意义，则a的取值范围是a≥0 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】a≥0．
【分析】二次根式有意义的条件即被开方数为非负数，据此即可求得答案．
【解答】解：若代数式a有意义，
则a≥0，
故答案为：a≥0．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
9．（4分）已知一个小球初速度为零，从距离地面高度为h的地方开始自由下落，经历时间t后落到地面，h关于t的数学关系式为h＝5t2，当h＝25时，则小球落地所用时间为 5 ．
【考点】函数值；算术平方根．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】5．
【分析】将h＝25代入h＝5t2计算可得答案．
【解答】解：将h＝25代入h＝5t2得：
25＝5t2，
解得t=5（负值舍去），
故答案为：5．
【点评】此题考查的是求函数值、算术平方根，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程
10．（4分）一只不透明的袋中装有1个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数是 3 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】3．
【分析】用白球个数除以白球的概率求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：根据题意知，袋中球的总个数为1÷14=4（个），
∴黑球个数为4﹣1＝3（个），
故答案为：3．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
11．（4分）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，若坝顶AD＝6m，坝高DE＝8m，且∠C＝30°，斜坡AB的坡度i＝1：1，则坝底BC的长为 14+83 m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】14+83．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，结合坡度以及特殊角度，分别计算出BF、EF、EC的长度，最终得出BC的长度．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，如图：
∵DE⊥BC，AD∥BC，AF⊥BC，
∴四边形ADEF为矩形，
∴AF＝DE＝8，AD＝EF＝6，
∵∠C＝30°，
∴tan∠C=DEEC=33，
解得EC=83，
∵AB的坡度为i＝1：1，
即AFBF=11，
∴BF＝AF＝8，
∴则坝底BC的长为BC=BF+EF+EC=8+6+83=14+83米，
故答案为：14+83．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．（4分）若直线a→⊥b→，b⊥c，c⊥d，d⊥e，则直线a，e的位置关系是 a∥e ．
【考点】*平面向量；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】a∥e．
【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，得到直线a、c与直线c、e的位置关系，即可得到结论．
【解答】解：∵a→⊥b→，b⊥c，
∴a∥c；
∵c⊥d，d⊥e，
∴c∥e；
∴a∥e，
故答案为：a∥e．
【点评】本题考查了平行线的判定方法，平行公理的应用．掌握垂直于同一条直线的两条直线互相平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行是解决本题的关键．
13．（4分）如图所示，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕）得到的两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的大矩形相似，那么原来矩形的长、宽之比为 2：1 ．
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】2：1．
【分析】由折叠的性质得到：AE=12AB，由相似多边形的性质推出AE：AD＝AD：AB，得到AB2＝2AD2，求出AB：AD=2：1，即可得到答案．
【解答】解：由折叠的性质得到：AE＝BE=12AB，
∵矩形AEFD∽矩形DABC，
∴AE：AD＝AD：AB，
∴12AB：AD＝AD：AB，
∴AB2＝2AD2，
∴AB：AD=2：1，
∴原来矩形的长、宽之比为2：1．
故答案为：2：1．
【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，折叠的性质，关键是由矩形AEFD∽矩形DABC，得到AE：AD＝AD：AB，
14．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，以O为圆心（点O在BC下方），10为半径作圆，⊙O经过点B，C，则线段AO的长为 5 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】如图，设BC，AO交于点D，连接OB，OC．由AB＝AC＝5，OB＝OC，推出AO垂直平分线段BC，推出BD＝CD，解直角三角形求出AD，BD，OD可得结论．
【解答】解：如图，设BC，AO交于点D，连接OB，OC．
∵AB＝AC＝5，OB＝OC，
∴AO垂直平分线段BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝4，
∴BD＝CD=AB2−AD2=52−42=3，
∴OD=OB2−BD2=10−9=1，
∴AO＝AD+OD＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（4分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 （103+1.5） 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（103+1.5）．
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，由锐角三角函数的定义求出BE的长，再由BC＝CE+BE即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在Rt△ABE中，tanα=BEAE=tan30°=33，
∴BE=33AE=33×30＝103（米），
∴BC＝BE+CE＝（103+1.5）米，
答：铁塔的高BC为（103+1.5）米，
故选：（103+1.5）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（4分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB＝4AD，AC＝3AE，连接DE，DC，BE，DC与BE相交于点F，则S△DEFS△ABC= 122 ．
【考点】平行线分线段成比例；三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】122．
【分析】设△ADE的面积＝x，△DEF的面积＝y，得到△ABC是面积＝12x，△FBD的面积＝3x﹣y，因此EFBF=△DEF的面积△FBD的面积=y3x−y，而△CEF的面积＝2x﹣y，△BCF的面积＝8x﹣（2x﹣y）＝6x+y，因此EFBF=△CEF的面积△BCF的面积=2x−y6x+y，得到y3x−y=2x−y6x+y，推出y=611x，即可解决问题．
【解答】解：设△ADE的面积＝x，△DEF的面积＝y
∵AB＝4AD，
∴△ABE的面积＝4x，△EBD的面积＝3x，
∴△FBD的面积＝3x﹣y，
∴EFBF=△DEF的面积△FBD的面积=y3x−y，
∵AC＝3AE，
∴△ABC的面积＝△ABE的面积×3＝12x，△BCE的面积＝△ABE的面积×2＝8x，
∵CE＝2AE，
∴△DCE的面积＝2x，
∴△CEF的面积＝2x﹣y，
∴△BCF的面积＝8x﹣（2x﹣y）＝6x+y，
∴EFBF=△CEF的面积△BCF的面积=2x−y6x+y，
∴y3x−y=2x−y6x+y，
∴y=611x，
∴S△DEFS△ABC=611x12x=122．
故答案为：122．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是应用同高的三角形面积的比等于底边的比．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与BD相交于点G，与DC相交于点N．则4个结论：①DE＝DF；②∠CME＝∠CDE；③DG2＝GN•GE；④若BF＝2，则MC=2．正确的结论有 4 个．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】4．
【分析】由正方形的性质得CD＝CB＝AD，∠ABC＝∠A＝∠ADC＝∠BCD＝∠DCE＝90°，则∠CDB＝∠CBD＝45°，而CE＝AD，可证明△CDE≌△ADF，得DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，可判断①正确；推导出∠EDF＝∠ADC＝90°，则∠DEF＝∠DFE＝45°，连接DM，由M是FE中点，得DM⊥EF，可证明△DNM∽△ENC，得MNCN=DNEN，变形为MNDN=CNEN，再证明△CNM∽△END，则∠CME＝∠CDE，可判断②正确；再证明△NGD∽△DGE，则∠MCN＝∠DEN＝45°，DGGE=GNDG，所以DG2＝GN•GE，可判断③正确；取BE的中点P，连接MP，则PM∥BF，所以∠MPC＝∠ABC＝90°，可证明∠PMC＝∠PCM＝45°，由BF＝2，得PC＝PM=12BF＝1，求得MC=2，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，
∴CD＝CB＝AD，∠ABC＝∠A＝∠ADC＝∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
在△CDE和△ADF中，
CD=AD∠DCE=∠ACE=AD，
∴△CDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，
故①正确；
∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
连接DM，
∵M是FE中点，
∴DM⊥EF，
∴∠DMN＝∠ECN＝90°，
∵∠DNM＝∠ENC，
∴△DNM∽△ENC，
∴MNCN=DNEN，
∴MNDN=CNEN，
∵∠CNM＝∠END，
∴△CNM∽△END，
∴∠CME＝∠CDE，
故②正确；
∵∠NDG＝∠DEG＝45°，∠NGD＝∠DGE，
∴△NGD∽△DGE，
∴∠MCN＝∠DEN＝45°，DGGE=GNDG，
∴DG2＝GN•GE，
故③正确；
取BE的中点P，连接MP，则PM=12BF，PM∥BF，
∴∠MPC＝∠ABC＝90°，
∵∠PCM＝∠BCD﹣∠MCN＝45°，
∴∠PMC＝∠PCM＝45°，
∵BF＝2，
∴PC＝PM=12BF＝1，
∴MC=PC2+PM2=12+12=2，
故④正确，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
18．（4分）如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若DECE=52，则csB 的值是 15 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】15．
【分析】在BC的延长线上取一点K，使得EK＝EC，过点E作EJ⊥CK于点J．设DE＝5k，EC＝2k，则DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k，证明∠B＝∠K，求出KJ（用k表示）即可．
【解答】解：在BC的延长线上取一点K，使得EK＝EC，过点E作EJ⊥CK于点J．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠B＝∠D，
∵DE：CE＝5：2，
∴可以假设DE＝5k，EC＝2k，则DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k，
∴∠ECK＝∠K，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECK＝∠K，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠AFE＝∠B＝∠AFB，
∵∠EFK+2∠B＝180°，∠KEC+2∠B＝180°，
∴∠CEK＝∠EFK，
∵∠K＝∠K，
∴△KEC∽△KFE，
∴ECEF=EKKF=KCKE，
∴2k5k=2kKF=KC2k，
∴KF＝5k，KC=45k，
∵EJ⊥CK，EC＝EK，
∴CJ＝KJ=25k，
∵∠B＝∠K，
∴csB＝csK=KJEK=25k2k=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：(1x+2+1)÷x2+6x+9x2−4，其中x＝1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x−2x+3，−14．
【分析】先根据分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x＝1代入化简式计算即可．
【解答】解：(1x+2+1)÷x2+6x+9x2−4
=x+3x+2÷(x+3)2(x+2)(x−2)
=x+3x+2⋅(x+2)(x−2)(x+3)2
=x−2x+3，
当x＝1时，原式=1−21+3=−14．
【点评】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
20．（10分）解方程组：x2+2y−2=0①x−y+1=0②．
【考点】高次方程．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1=0y1=1，x2=−2y2=−1．
【分析】变形组中的方程②代入①，得一元二次方程，求解得出一个未知数的值，再代入变形后的方程求得另一个未知数的值．
【解答】解：x2+2y−2=0①x−y+1=0②，
由②，得x＝y﹣1③，
把③代入①，得（y﹣1）2+2y﹣2＝0，
∴y2＝1．
∴y＝±1．
当y＝1时，x＝0；
当y＝﹣1时，x＝﹣2．
∴原方程组的解为x1=0y1=1，x2=−2y2=−1．
【点评】本题考查了二元二次次方程组，掌握代入消元法和一元二次方程的解法是解决本题的关键．
21．（10分）求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：
（1）抛物线y＝ax2﹣1过点（1，2）；
（2）抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝3x2﹣1；
（2）y＝﹣x2+1．
【分析】（1）把（1，2）代入解析式求出a即可；
（2）根据二次函数的性质易得a＝﹣1，c＝1，从而得到抛物线解析式．
【解答】解：（1）把（1，2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝2，解得a＝3，所以抛物线解析式为y＝3x2﹣1；
（2）因为抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，
所以a＝﹣1，
而抛物线y＝ax2+c的顶点为（0，1），则c＝1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．（10分）小米暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具．已知小米所有玩具的进价均为2元/件，在销售过程中发现：每天玩具的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分．设小米销售玩具的日利润w（元）．
（1）根据图象，求出y与x之间的函数表达式；
（2）求出小米销售玩具的日利润w（元）与销售价格x（元/件）之间的函数表达式，并求出日利润的最大值；
（3）若某天玩具的销售价格x＞4，要使小米在该天销售玩具的日利润不低于54元，求该天玩具的销售价格x的取值范围．
【考点】反比例函数的应用；二次函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y=80x(2≤x≤4)−2x+28(4＜x≤14)；
（2）当2≤x≤4时，w＝80−160x；当4＜x≤14时，w＝﹣2x2+32x﹣56；每天利润的最大值为72元；
（3）当5≤x≤11时，该天玩具的销售利润不低于54元．
【分析】（1）依据题意，由待定系数法即可计算得解；
（2）依据题意，分当2≤x≤4时和当4＜x≤14时，分别计算即可得解；
（3）依据题意得，w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，令w＝54，即w＝﹣2x2+32x﹣56＝54，求出x1＝5，x2＝11，结合w≥54，即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵AB段为反比例函数图象的一部分，A（2，40），
∴当2≤x≤4时，y=80x，
∵BC段为一次函数图象的一部分，且B（4，20）、C（14，0），
∴设BC段为y＝kx+b．
∴4k+b=2014k+b=0，
∴k=−2b=28．
∴当4≤x≤14时，y＝﹣2x+28，
∴y=80x(2≤x≤4)−2x+28(4＜x≤14)；
（2）当2≤x≤4时，w=(x−2)y=(x−2)⋅80x=80−160x，
又∵随着x的增大，−160x增大，w=80+−160x也增大，
∴当x＝4时，w取得最大值为40，
当4＜x≤14时，w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）（﹣2x+28）＝﹣2x2+32x﹣56．
∵w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，且﹣2＜0，4＜8＜14，
∴当x＝8时，w取得最大值为72，
综上所述，每天利润的最大值为72元；
（3）由题意得，w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，
由题意，令w＝54，即w＝﹣2x2+32x﹣56＝54，
∴x1＝5，x2＝11．
又∵w≥54，
∴5≤x≤11，
∴当5≤x≤11时，该天玩具的销售利润不低于54元．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．
（1）△ABC与△BDC相似吗？请说明理由；
（2）求DCAD的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）△ABC与△BDC相似，理由见解答；
（2）5−12．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝72°，然后利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，从而利用两角相等的两个三角形相似可得：△CBD∽△CAB，即可解答；
（2）根据等角对等边可得：DA＝DB，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠C＝72°，从而可得AD＝DB＝BC，然后利用相似三角形的性质可得：ACCB=CBCD，从而可得CB2＝AC•CD，再利用等量代换可得：AD2＝AC•CD，从而可得点D是AC的黄金分割点，最后利用黄金分割的定义即可解答．
【解答】解：（1）△ABC与△BDC相似，
理由：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C=180°−∠A2=72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠A＝∠DBC＝36°，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB；
（2）∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∵∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝DB＝BC，
∵△CBD∽△CAB；
∴ACCB=CBCD，
∴CB2＝AC•CD，
∴AD2＝AC•CD，
∴点D是AC的黄金分割点，
∴ADAC=CDAD=5−12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），点P、Q为抛物线y＝x2﹣2x﹣3上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为4﹣m．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ=25时，求m的值；
（3）当抛物线在点P和点Q之间的部分（包括点P与点Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，求m的值；
（4）当点P在点B左侧时，连结PQ，过点P作y轴的垂线交该抛物线于点M，以PM、PQ为边作▱PMNQ，连结OM、ON，设△OMN的面积为S1，▱PMNQ的面积为S2，当S1S2=14时，直接写出m的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AB＝4；
（2）m的值为1或3；
（3）m的值为3+132或65；
（4）m的值为1−6．
【分析】（1）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，求出A，B点的坐标，即可求解；
（2）由题意得到 P（m，m2﹣2m﹣3），Q（4﹣m，m2﹣6m+5），利用两点间距离公式列出方程即可求解；
（3）分点P在点Q上方和点P在点Q下方，两种情况讨论即可；
（4）根据题意画出示意图，设PM交y轴于点E，QN交y轴于点F，由P（m，m2﹣2m﹣3），Q（4﹣m，m2﹣6m+5），根据平行四边形的性质得到M（2﹣m，m2﹣2m﹣3），N（6﹣3m，m2﹣6m+5），进而得到ME＝m﹣2，OE＝﹣m2+2m+3，NF＝3m﹣6，OF＝﹣m2+6m﹣5，PM＝2m﹣2，EF＝4m﹣8，再根据S2＝PM•EF，S1＝S△OEM+S梯形MNFE﹣S△NFO，分别求出△OMN的面积，▱PMNQ的面积，利用S1S2=14建立方程求解即可．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
根据题意：A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4；
（2）∵点P、Q为抛物线y＝x2﹣2x﹣3 上两点 （点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为4﹣m．
∴P（m，m2﹣2m﹣3），Q（4﹣m，m2﹣6m+5），
∴PQ=[m−(4−m)]2+[(m2−2m−3)−(m2−6m+5)]2=25，
整理得：m2﹣4m+3＝0，
解得：m1＝1，m2＝3，
∴m的值为1或3；
（3）由（2）知P（m，m2﹣2m﹣3），Q（4﹣m，m2﹣6m+5），
当点P在点Q上方时，m2﹣2m﹣3＞m2﹣6m+5，
解得：m＞2，
则（m2﹣2m﹣3）﹣（m2﹣6m+5）＝m+2，即4m﹣8＝m+2，
解得：m=103（P，Q在对称轴的两侧，P不是最低点，不合题意，舍去）；
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
最低点为顶点时，得：（m2﹣2m﹣3）﹣（﹣4）＝m+2，
解得：m=3+132或3−132（不合题意，舍去）；
当点P在点Q下方，
同理得：m＜2，
则（m2﹣6m+5）﹣（m2﹣2m﹣3）＝m+2，即﹣4m+8＝m+2，
解得：m=65，
综上所述，最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，m的值为3+132或65；
（4）m的值为1−6．理由如下：
如图，设PM交y轴于点E，QN交y轴于点F，
∵P（m，m2﹣2m﹣3），Q（4﹣m，m2﹣6m+5），则E（0，m2﹣2m﹣3），F（0，m2﹣6m+5），
∵四边形PMNQ是平行四边形，
∴PM∥QN，PM＝QN，
∵PM⊥y轴，则QN⊥y轴，
∴点P与点M关于x=−−22×1=1对称，
∴点M的横坐标为：1×2﹣m＝2﹣m，
∴M（2﹣m，m2﹣2m﹣3），
∵m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，
∴点N的横坐标为：4﹣m﹣（2m﹣2）＝6﹣3m，
∴N（6﹣3m，m2﹣6m+5），
∵点P在点B左侧，
∴m＜3，
∴ME＝m﹣2，OE＝﹣m2+2m+3），NF＝3m﹣6，OF＝﹣m2+6m﹣5，PM＝2m﹣2，EF＝4m﹣8，
∴S2＝PM•EF＝（2m﹣2）（4m﹣8）＝8（m﹣1）（m﹣2），
S1＝S△OEM+S梯形MNFE﹣S△NFO=12ME•OE+12（ME+NF）•EF−12NF•OF，
∴S1=12（m﹣2）（﹣m2+2m+3）+8（m﹣2）（m﹣2）+32（m﹣5）（m﹣1）（m﹣2）＝（m﹣2）（m2﹣7），
∵S1S2=14，
∴(m−2)(m2−7)8(m−1)(m−2)=14，
整理得m2﹣2m﹣5＝0，
解得：m＝1−6或m＝1+6（不合题意，舍去），
∴m的值为1−6．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方 程，二次函数与特殊的平行四边形综合．二次函数 与面积综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的平行四边形综合是解题的关键．
25．（14分）已知同一平面内，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转，使∠BAC+∠DAE＝180°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图1，当点D在线段BC上且AD＝CD时，求证：∠B＝∠CAE；
（2）如图2，连接BE，CD，取BE的中点F，连接AF，用等式表示线段AF与CD的关系并证明；
（3）如图3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，点B与点D重合，AB=42．点M为线段AB中点，点N为直线BC上一点，连接MN，将△MBN沿MN翻折到同一平面内的△MPN，连接CP，再将CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接BQ．当BQ取得最小值时，请直接写出BQBC的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠BAE＝∠BAC+DAE﹣∠DAC，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠DAC，
∴∠BAE+∠B＝180°﹣∠DAC+∠DAC＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ACB＝∠CAE，
∴∠B＝∠CAE．
（2）AF=12CD，
证明：如图：延长AF到G，使FG＝AF，连接BG．
∵F是BE的中点，
∴BF＝EF
，在△AFE和△GFB中，
AF=GF∠AFE=∠GFBEF=BF，
∴△AFE≌△GFB（SAS），
∴AE＝BG，∠FAE＝∠FGB，
∴AE∥BG（内错角相等，两直线平行），
∴∠ABG+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠BAC+DAE﹣∠DAC，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠DAC，即∠BAE+∠DAC＝180°，
∴∠ABG＝∠DAC，
∵AD＝AE，
∴BG＝AD，
在△BAG和△ADC中，
AB=AC∠ABG=∠DACBG=AD，
∴△BAG≌△ACD（SAS），
∴AG＝CD，
∴AF=12CD．
（3）34−24．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠ACB、∠DAC＝∠ACB，即∠DAC＝∠B；再根据角的和差以及已知条件可得∠BAE+∠B＝180°，易得AE∥BC；再根据平行线的性质以及等量代换即可证明结论；
（2）延长AF到G，使FG＝AF，连接BG．易证△AFE≌△GFB（SAS）可得AE＝BG，∠FAE＝∠FGB，再证明△BAG≌△ACD（SAS）可得AG＝CD，进而证明结论；
（3）如图：连接CM，过点C作CF⊥CM垂足为点C，使CF＝CM，连接FQ、BF，延长BC，过点F作FG⊥BC于点G，过点M作MH⊥BC于点H；先证明△MHC≌△CGF（AAS）可得MH＝CG，HC＝GF，再用旋转的性质、勾股定理以及相关已知条件可求得BC＝8、BM=AM=12AB=22，MP=BM=22、MH＝BH＝2、HC＝6，CG＝MH＝2，GF＝6，BG＝10.BF=234，由翻折得：PM=BM=22，由旋转得∠PCB＝90°，PC＝QC，再证明△MCP≌△FCQ（SAS）可得PM=BF=22，再根据三角形的三边关系可得可求得BQ的最小值，然后代入求比例即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠BAE＝∠BAC+DAE﹣∠DAC，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠DAC，
∴∠BAE+∠B＝180°﹣∠DAC+∠DAC＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ACB＝∠CAE，
∴∠B＝∠CAE．
（2）解：AF=12CD，
证明：如图：延长AF到G，使FG＝AF，连接BG．
∵F是BE的中点，
∴BF＝EF
，在△AFE和△GFB中，
AF=GF∠AFE=∠GFBEF=BF，
∴△AFE≌△GFB（SAS），
∴AE＝BG，∠FAE＝∠FGB，
∴AE∥BG（内错角相等，两直线平行），
∴∠ABG+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠BAC+DAE﹣∠DAC，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠DAC，即∠BAE+∠DAC＝180°，
∴∠ABG＝∠DAC，
∵AD＝AE，
∴BG＝AD，
在△BAG和△ADC中，
AB=AC∠ABG=∠DACBG=AD，
∴△BAG≌△ACD（SAS），
∴AG＝CD，
∴AF=12CD．
（3）解：如图：连接CM，过点C作CF⊥CM垂足为点C，使CF＝CM，连接FQ、BF，延长BC，过点F作FG⊥BC于点G，过点M作MH⊥BC于点H，
∵∠MCF＝90°，∠G＝90°，∠BMH＝∠MHC＝90°，
∴∠MHC＝∠G，
∴∠GCM+∠FCG＝180°﹣∠MCF＝90°，∠FCG+∠CFG＝90°，
∴∠GCM＝∠CFG，
在△MHC和△CGF中，
∠MHC=∠G∠GCM=∠CFGCM=CF，
∴△MHC≌△CGF（AAS），
∴MH＝CG，HC＝GF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BMH＝90°﹣∠MHB＝45°，
∴∠BMH＝∠MBH，
∴BH＝MH，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，点B与D重合，AB=AC=42，
∴BC=AB2+AC2=(42)2+(42)2=8，
∵点M为线段AB中点，
∴BM=AM=12AB=22，
∵BH2+MH2＝BM2．
∴BH2+BH2=(22)2，
∴MH＝BH＝2（已舍去负值），
∴HC＝BC﹣BH＝6，CG＝MH＝2，
∴GF＝6，BG＝BC+CG＝10，
∴BF=GF2+BG2=62+102=136=234，
由翻折得PM=BM=22，
由旋转得∠PCB＝90°，PC＝QC，
∵∠MCP+∠PCF＝90°，∠FCQ+∠PCF＝90°，
∴∠MCP＝∠FCQ，
在△MCP和△FCQ中，MC＝FC，∠MCP＝∠FCQ，PC＝QC，
∴△MCP≌△FCQ（SAS），
∴PM=BF=22，
∵BQ+QF≥BF，当且仅当B、Q、F，三点共线且点Q在B、F之间时，BQ+QF＝BF；
∴BQ+QF≥BF，
∴BQ+22≥234，
∴BQ≥234−22，
∴BQ的最小值为234−22，
此时BQBC=234−228=34−24．
【点评】本题主要考查了等边对等角、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键．