数学证明教学课件ppt

这是一份数学证明教学课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，新知探究，But，命题的条件，偶数的定义，等量代换和分配律，不等式的基本性质，典例分析，题型探究，等量代换等内容，欢迎下载使用。
知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式
数学中有各种各样的命题。判断命题的真假是数学的一个基本活动。我们可以用反例说明一个命题为假，那么如何确定一个命题为真？
如图，是静的，还是动的？
1. 观察下图，线段AB与CD哪条较长？
解：通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：AB = CD。
看上去线段AB比线段CD长
2. 观察下图，位于中心位置的两个圆一样大吗？
解：通过度量两个圆的直径，可以证实：位于中心位置的两个圆一样大。
看上去线段左边的圆比较大
3. 把图 ( 1 ) 长方形草坪中间1m宽的直道，改成图 ( 2 ) 中处处1m宽的“曲径”，这两条小道的面积相等吗？
看上去不相等，但实际相等
如果将图 ( 2 ) 中小道左边的草坪向右平移1m，并将其与右边的草坪拼在一起，可以得到一个长为( a - 1 ) m、宽为b m的长方形，
于是，“曲径”的面积= “原长方形的面积” - “现长方形的面积”= ab - b ( a - 1 ) = ab - ab + b = b ( m2 )，而“直道”的面积 = 1 × b = b ( m2 )，∴通过图形的平移与计算可得：两条小道的面积相等。
生活经验告诉我们，“眼见不一定为实”。数学中一般不能仅仅凭借观察来判断一个命题的真假。数学命题一般都由“条件”和“结论”两部分组成，如果我们从命题的“条件”出发，根据一些已知的事实，得出命题的“结论”成立，那么就可以说这个命题为真命题。
下面，我们来看两个例子：1. 判断命题“如果a，b是偶数，那么a + b也是偶数”的真假性。
解：∵a，b都是偶数，∴可以设a = 2m，b = 2n ( m，n是整数 )，∴a + b = 2m + 2n = 2 ( m + n )。∴a + b也是偶数。
根据偶数定义，得到命题的结论
∴命题“如果a，b是偶数，那么a + b也是偶数”为真命题。
2. 判断命题“如果a < b，c < d，那么a + c < b + d”的真假性。
解：∵a < b，在不等式两边都加上c，得a + c < b + c。∵c < d，在不等式两边都加上b，得b + c < b + d。∵a + c < b + c，b + c < b + d，∴a + c < b + d。
根据传递性，得到命题的结论
∴命题“如果a < b，c < d，那么a + c < b + d”为真命题。
证明： 像上面这样，从命题的条件出发， 根据一些已知的事实 ( 如概念的定义，基本性质，真命题等 )， 用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论， 从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。
典例1 证明：三个连续自然数之和能被3整除。
证明：设这三个自然数分别为k - 1，k，k + 1，其中k ≥ 1。所设三个自然数的和为( k - 1 ) + k + ( k + 1 ) = 3k。∵3k能被3整除，∴这三个自然数的和能被3整除。
典例2 证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行。已知：如图，a，b，c是同一平面内的三条直线，a ⊥ c，b ⊥ c。求证：a // b。
证明：∵a ⊥ c ( 已知 )，∴∠1 = 90° ( 垂直的定义 )。∵b ⊥ c ( 已知 )，∴∠2 = 90° ( 垂直的定义 )。∴∠1 = ∠2 ( 等量代换 )。∴a // b ( 同位角相等，两直线平行 )。
等量代换：一个量用与它相等的量代替
证明一个命题的一般步骤有哪些？
解：① 审题：分清命题的条件和结论；② 画图：根据题意画出对应几何图形；③ 写已知、求证：结合图形用几何语言表述条件与待证结论；④ 推理证明：依据已知的事实 ( 如概念的定义，基本性质，真命题等 )逐步推导；⑤ 得出结论：总结命题成立。
【例1-1】完成下列推理过程。如图，已知∠CGD = ∠CAB，∠ADE + ∠CEF = 180°，求证：∠1 = ∠2。证明：∵∠ADE + ∠CEF = 180° ( __________________________ )，∴EF ∥ AD ( __________________________ )，∴∠2 = ∠3 ( __________________________ )；∵∠CGD = ∠CAB ( __________________________ )，∴DG ∥ AB ( __________________________ )，∴∠1 = ∠3 ( __________________________ )；∴∠1 = ∠2 ( __________________________ )。
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
【例1-2】完成下列推理过程。如图，已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠5 = ∠A，求证：BE ∥ CF。证明：∵∠3 = ∠4 ( 已知 )，∴AE ∥ ______ ( __________________________ )，∴∠EDC = ∠5 ( __________________________ )；∵∠5 = ∠A ( 已知 )，∴∠EDC = ______ ( 等量代换 )，∴DC ∥ AB ( __________________________ )，∴∠5 + ∠ABC = 180° ( __________________________ )，即∠5 + ∠2 + ∠3 = 180°；
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
证明：∵∠3 = ∠4 ( 已知 )，∴AE ∥ ______ ( __________________________ )，∴∠EDC = ∠5 ( __________________________ )；∵∠5 = ∠A ( 已知 )，∴∠EDC = ______（等量代换），∴DC ∥ AB ( __________________________ )，∴∠5 + ∠ABC = 180° ( __________________________ )，即∠5 + ∠2 + ∠3 = 180°；∵∠1 = ∠2 ( 已知 )，∴∠5 + ∠1 + ∠3 = 180° ( __________________________ )，即∠BCF + ∠3 = 180°，∴BE ∥ CF ( __________________________ )。
【例1-3】如图，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，请从以下给出三个条件① ∠1 + ∠2 = 180°；② ∠3 = ∠C；③ DE ∥ BC再选取两个为条件，剩下的一个作为结论，并请完成证明。条件 ( 已知 ) __________；结论 ( 求证 ) __________。
已知：① ∠1 + ∠2 = 180°，② ∠3 = ∠C，求证：③ DE ∥ BC。
证明：∵∠1是△DEH的外角 ( 已知 )，∴∠1 = ∠3 + ∠4 ( 外角的性质 )；又∵∠1 + ∠2 = 180° ( 已知 )，∴∠3 + ∠4 + ∠2 = 180° ( 等量代换 )；∵∠3 = ∠C ( 已知 )，∴∠C + ∠4 + ∠2 = 180° ( 等量代换 )，即∠DEC + ∠C = 180°，∴DE ∥ BC ( 同旁内角互补，两直线平行 )。
【例2】数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式：23 × 83 = ( 2 × 8 + 3 ) × 100 + 3 × 3 = 1909；38 × 78 = ( 3 × 7 + 8 ) × 100 + 8 × 8 = 2964；45 × 65 = ( 4 × 6 + 5 ) × 100 + 5 × 5 = 2925。( 1 ) 请你类比上面的等式，计算：① 84×24，② 562；( 2 ) 请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明。
解：( 1 ) ① 84 × 24 = ( 8 × 2 + 4 ) × 100 + 4 × 4 = 2016，② 562 = 56 × 56 = ( 5 × 5 + 6 ) × 100 + 6 × 6 = 3100 + 36 = 3136；
23 × 83 = ( 2 × 8 + 3 ) × 100 + 3 × 3 = 1909；38 × 78 = ( 3 × 7 + 8 ) × 100 + 8 × 8 = 2964；45 × 65 = ( 4 × 6 + 5 ) × 100 + 5 × 5 = 2925。( 2 ) 请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明。
( 2 ) 一般规律为：(10a + c ) × [ 10 × ( 10 - a ) + c ] = [ a × ( 10 - a ) + c ] × 100 + c × c，证明：左边 = 10a × 10 × ( 10 - a ) + 10a × c + c × 10 × ( 10 - a ) + c × c= 100a × ( 10 - a ) + 10ac + 10c × ( 10 - a ) + c × c= 100a × ( 10 - a ) + 100c + c × c= [ a × ( 10 - a ) + c ] × 100 + c × c = 右边。
证明一个命题的一般步骤： ① 审题：分清命题的条件和结论； ② 画图：根据题意画出对应几何图形； ③ 写已知、求证：结合图形用几何语言表述条件与待证结论； ④ 推理证明：依据已知的事实 ( 如概念的定义，基本性质，真命题等 ) 逐步推导； ⑤ 得出结论：总结命题成立。