湖南衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份湖南衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．复数,则z的虚部为( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．向量,化简后等于( )
A.B.0C.D.
4．若函数,则( )
A.B.2C.3D.4
5设函数是定义在R上的奇函数,且,则( )
A.B.C.2D.
6．在某项测量中,测量结果服从正态分布,则( )
A.0.1B.0.2C.0.4D.0.5
7．为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积x（单位:）与水生植物的株数y（单位:株）之间的相关关系,收集了4组数据,如表格所示,得到y与x的线性回归方程,则( )
A.5B.6C.7D.8
8．人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法,实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间（单位：h）,其中为常数.在此条件下,训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为,当训练个单位的数据量所需的时间为时,( )
A.10000B.15000C.20000D.30000
多项选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知集合,,若 QUOTE ,则a的取值可以是( )
A.B.0C.2D.
10．在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.一共有5项 B.所有项的系数和为0
C. 第3项为 D.所有项的二项式系数和为32
11．已知函数，则下列结论正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.将函数的图象向左平移 QUOTE ?6 π6个单位长度得到函数 QUOTE ?=???(2?+?6) y=sin(2x+?6)的图象
C.函数的图象关于点对称
D.函数在区间上单调
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，满足，，，则________.
13．若函数在区间上不是单调函数，那么实数a的取值范围是__________.
14．某演讲比赛结束后,2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念,则2位老师相邻,
且3名女同学不相邻的站法有_________种.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知角θ的终边与单位圆相交于点.
(1) QUOTE 的值
(2)求的值；
(3)求 QUOTE 的值.
16．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,,.求：
(1)的值；
(2)c的值；
(3)边上的高.
17．围建一个面积为的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）.设修建此矩形场地围墙的总费用为y.
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
18．如图在棱长为1的正方体中,E,F,G分别是,,的中点.
求直线BD与所成角的余弦值
求证：CF⊥平面DEB;
求三棱锥B-EFC 的体积;
19．甲盒中有3个黑球,3个白球,乙盒中有4个黑球,2个白球,丙盒中有4个黑球,2个白球,三个盒中的球只有颜色不同,其它均相同,从这三个盒中各取一球.
(1)求“三球中至少有一个为白球”的概率；
(2)设表示所取白球的个数,求的分布列及数学期望.
衡阳县四中2026年下学期期中考试
高二数学参考答案
1答案：A
解析：因为,所以z的虚部为2,
2.答案：A
解析：.
3答案：C
解析：,
4.答案：D
解析：由题意得,则.
5.答案：D
解析：函数是定义在R上的奇函数,则,且,
.
6.答案：D
解析：服从正态分布,所以由正态分布的对称性知．
7.答案：C
解析：由题意可得,,
所以样本中心点为,又y与x的线性回归方程,
所以,解得.
8.答案：A
解析：依题意,得,
则有,解得,.
当训练m个单位的数据量所需的时间为时,则有,解得.
9.答案：BC
解析：因为,又,,
所以或,
解得或或,
当时,,,满足要求,
当时,,,满足要求,
当时,,与元素互异性矛盾,
10.答案：BD
解析：因为的展开式共有6项,所以A不正确;
通项公式为,令可得第三项为,C不正确;
令可得所有项的系数和为0,B正确;
所有项的二项式系数和为,D正确.
11.答案：ABC
解析：对于A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，即A正确；
对于B，将函数的图象向左平移 QUOTE π6 π6个单位长度得到 QUOTE = QUOTE
对于C，将代入检验可得，
因此函数的图象关于点对称，即B正确；
对于D，当时，；
易知在上不单调，所以D错误；
12.答案：1
解析：
13.答案：
解析：函数在区间上不是单调函数，说明其图象的对称轴满足，所以.
14.答案：288
解析：将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列,共有种方法,
再让3名女同学插空,有种方法,所以满足条件的站法有种.
15.解析：（1）因为角θ的终边与单位圆相交于点,所以, QUOTE = QUOTE 34 34
(2),,
所以.
(3) QUOTE = QUOTE = QUOTE −7 −7
16答案：(1) (2) (3)
解析：(1)由正弦定理,得,解得.
(2)由余弦定理得,即,
整理得,解得或（舍去）,所以.
(3)由(2)知.
三角形面积.
又边即边,设边上的高为,
则.
故边上的高为.
17.答案：(1)
(2)当时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
解析：(1)如图,设矩形的另一边长为,
则,
由已知,得,所以.(x>2)
(2),
,当且仅当时,等号成立.
即当时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
18.解析：（2）在正方体中，DD1⊥底面ABCD,
∴DD1⊥CF
又F为BD中点，所以CF⊥DB,且BD∩D1D=D,BD,D1D在平面DEF内
∴CF⊥平面DEF
(3)VB-EFC=VE-BFC= QUOTE 13 13S△FBC|DE|= QUOTE 124 124
19.答案：(1) (2)分布列见解析，E()= QUOTE
解析：(1)记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为,三球中至少有一球为白球记为事件M,
则；；.
；
(2)由题意可知,随机变量的可能取值为0,1,2,3.
,
,
,
.
所以,随机变量的分布列如下：
∴E()= QUOTE
x
3
4
6
7
y
2
2.5
4.5
m
0
1
2
3
P