还剩5页未读，
继续阅读
湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题
展开
这是一份湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A=−1,a,a+2,B=yy=x2−2x,x∈A，若A∪B=A，则a=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或3
2．“0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量＝(1，2)，＝(x，－2)，且⊥，则实数x等于( )
A.－7 B.9 C.4 D.－4
4．已知复数z＝a－bi（a，b∈R，b＜0），满足｜z｜＝1，复数z的实部为22，则复数z的虚部为（ ）
A.22 B.－22 C.12D.－12
5．已知a=−lg513,b=50.3,c=lg62，则（ ）
A．c6．已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（ ）
A．4π5 B．5π4 C．π5 D．5π
7．已知函数fx=Acsωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则fx的解析式为（ ）
A．fx=cs2x+π3 B．fx=2cs2x+π6
C．fx=2cs4x−π3 D．fx=2cs4x−π6
8．在△ABC中，若csA−csB+a−bc=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若(a2−b2+c2)tanB=ac，则角B的值为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．下列说法正确的有（ ）
A．若a与b是单位向量，则a⋅b=1
B．若非零向量a与b是相反向量，则a=b
C．a⋅b≤ab
D．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
11．在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜OZ1｜＝2.点Z与Z1关于x
轴对称.则点Z对应的复数z＝（ ）
A.1－2i B.1＋2i C.1－i D.1＋i
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知sinx−2csx=5sinx+φ，则sinφ−2csφ=_______________.
13．已知向量a,b满足a=2,b=2,−1,a+b=1，则a在b上的投影向量的坐标为_____．
14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a=2,2sinB+2sinC=3sinA．则sinA的最大值为_________
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2,c=2,csC=−33．
(1)求sinB和a的值；
(2)求△ABC的面积．
16．（15分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，F是CD上靠近点C的三等分点.
(1)设AF=λAB+μAD，求λ+μ的值；
(2)若AB=3，BC=2，求AF⋅EF的值.
17．（15分）已知|a|=2,|b|=4，且|a+b|=23．
(1)求a与b的夹角；
(2)求|a−2b|的值；
(3)若(2a−b)⊥(a+kb)，求实数k的值．
18．（17分）已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i.
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值.
19．（17分）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向.
(1)求点D到塔底B的距离BD；
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°，求铁塔高AB.
答案
1．【答案】C
【解析】由题意知：对于集合B，当x=−1时，y=x2−2x=3；当x=a时，y=a2−2a；
当x=a+2时，y=(a+2)2−2(a+2)=a2+2a；
又A∪B=A，故A∪B=A，则B⊆A，
若a=3，则a2−2a=3,a2+2a=15,a+2=5，此时A=−1,3,5,B=3,15，
不满足B⊆A；
若a+2=3,∴a=1，此时A=−1,1,3,B=3,−1，满足B⊆A，
故a=1，
故选：C
2．【答案】A
【解析】由|x(x−1)|=x(1−x)可得：x(x−1)≤0，
解得：0≤x≤1，
所以“0但“|x(x−1)|=x(1−x)”推不出“0所以“0故选：A.
3．【答案】C
【解析】∵＝(1，2)，＝(x，－2)，且⊥，
∴·＝1·x＋2×(－2)＝0，即x－4＝0，∴x＝4.
4．【答案】A
【解析】 因为复数z的实部为22，所以a＝22.因为｜z｜＝1，所以｜z｜＝（22）2＋(−b）2＝1，解得b＝－22或b＝22（舍去），所以复数z的虚部为22.故选A.
5．【答案】A
【解析】因为a=−lg513=lg53，且lg55b=50.3>1；c=lg62所以c故选：A.
6．【答案】A
【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动2050=25周，
故其转动的弧度数是25×2π=4π5.
故选：A.
7．【答案】C
【解析】依题意，由图象中最值可知A=2，
周期满足12T=π3−π12=π4，又ω>0，则T=π2=2πω，故ω=4，
所以fx=2cs4x+φ，又点π12,2在fx的图象上，
所以2cs4×π12+φ=2，即csπ3+φ=1，
所以π3+φ=2kπ,k∈Z，即φ=−π3+2kπ,k∈Z，
而φ<π2，所以φ=−π3，
所以fx=2cs4x−π3.
故选：C.
8．【答案】D
【解析】由csA−csB+a−bc=0，得a−ccsB=b−ccsA，
由余弦定理得a−c×a2+c2−b22ac=b−c×b2+c2−a22bc，化简得a2+b2−c2a=a2+b2−c2b，
当a2+b2−c2=0时，即a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形；
当a2+b2−c2≠0时，得a=b，则△ABC为等腰三角形；
综上：△ABC为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
9．【答案】AD
【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2+c2−b2=2accsB，又(a2−b2+c2)tanB=ac，
因此2accsB⋅sinBcsB=ac，解得sinB=12，而0∘所以B=30∘或B=150∘.
故选：AD
10．【答案】BC
【解析】a与b是单位向量且方向不同时，a⋅b≠1，A错误；
根据相反向量的定义可知，a与b方向相反且两个向量模相等，即a=b，B正确；
a⋅b=abcsa,b≤ab，C正确；
若b为零向量，a、c为非零向量，则a与c不一定共线，D错误．
故选：BC.
11．【答案】CD
由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜OZ1｜＝2，所以｜OZ1｜＝12＋(−a）2＝2，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D.
12．【答案】−455
【解析】由sinx−2csx=5×(55sinx−255csx)=5sinx+φ，
可得csφ=55,sinφ=−255，所以sinφ−2csφ=−255−2×55=−455.
故答案为：−455.
13．【答案】−2,1
【解析】因为a=2,b=2,−1，可得b=3，
又因为a+b=1，可得a+b2=a2+2a⋅b+b2=4+2a⋅b+3=1，解得a⋅b=−3，
所以a在b上的投影向量为acsθ⋅bb=a⋅bb⋅bb=−2,1．
故答案为：−2,1.
14．【答案】459/495
【解析】因为a=2,2sinB+2sinC=3sinA，所以由正弦定理可得b+c=3.
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，得22=b+c2−2bc−2bccsA，
整理得csA=52bc−1.
因为bc≤b+c22=94，当且仅当b=c=32时，等号成立，
所以csA≥19，又sin2A=1−cs2A，所以sin2A≤8081，即sinA≤459.
故答案为：459.
15．
【解析】（1）在△ABC中，由csC=−33，可得sinC=1−cs2C=63．
又由csinC=bsinB及b=2,c=2，可得sinB=33．
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，得3a2+26a−6=0，
由a>0，解得a=63．
所以sinB=33,a=63．
（2）由（1）知，a=63,sinC=63，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12×63×2×63=23．
16．
【解析】（1）∵AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB，∴λ=23，μ=1，
∴λ+μ=23+1=53.
（2）由（1）知：AF=AD+23AB，
∵EF=CF−CE=13CD−12CB=−13AB+12AD，
∴AF⋅EF=AD+23AB⋅−13AB+12AD=−13AB⋅AD+12AD2−29AB2+13AB⋅AD =12BC2−29AB2=2−2=0.
17．【答案】(1)2π3；(2)221；(3)12
【解析】（1）由题意知，a+b2=a2+2a⋅b+b2=12，
又a=2,b=4，所以a⋅b=−4，
所以csa,b=a⋅bab=−42×4=−12，又a,b∈[0,π]，
所以a,b=2π3，即a与b的夹角为2π3；
（2）由（1）知a⋅b=−4，
所以a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=84，
故a−2b=221；
（3）由(2a−b)⊥(a+kb)，得(2a−b)⋅(a+kb)=0，
即2a2+2ka⋅b−a⋅b−kb2=0，又a=2,b=4，a⋅b=−4，
所以8−8k+4−16k=0，解得k=12.
18．18.解：（1）由题意得｜z｜＝（x－2）2＋（x+2）2＝2x2+8≥22，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为22.
（2）由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）.
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以m＞0，n＞0.
所以1m＋1n＝1m＋1nm＋n2＝32＋mn＋n2m≥32＋2.当且仅当mn＝n2m，即n2＝2m2时等号成立.
又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－2，n＝22－2.
19．【解析】（1）由题意可知，∠BCD=45°,∠BDC=105°，故∠CBD=30°，
在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，即BDsin45°=20sin30°，
所以BD=20sin45°sin30°=20×2212=202（米）.
因此点D到塔底B的距离BD为202米；
（2）在△BCD中， 由正弦定理， 得BCsin∠BDC=BDsin∠BCD，
得BC=202sin45°⋅sin105°=40⋅sin60°+45°=40⋅sin60°cs45°+cs60°sin45°
=40×6+24=106+2，
在Rt△ABC中，AB=BC×tan∠ACB=106+2×33=102+1063，
所以铁塔高AB为102+1063米.
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A=−1,a,a+2,B=yy=x2−2x,x∈A，若A∪B=A，则a=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或3
2．“0
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量＝(1，2)，＝(x，－2)，且⊥，则实数x等于( )
A.－7 B.9 C.4 D.－4
4．已知复数z＝a－bi（a，b∈R，b＜0），满足｜z｜＝1，复数z的实部为22，则复数z的虚部为（ ）
A.22 B.－22 C.12D.－12
5．已知a=−lg513,b=50.3,c=lg62，则（ ）
A．c
A．4π5 B．5π4 C．π5 D．5π
7．已知函数fx=Acsωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则fx的解析式为（ ）
A．fx=cs2x+π3 B．fx=2cs2x+π6
C．fx=2cs4x−π3 D．fx=2cs4x−π6
8．在△ABC中，若csA−csB+a−bc=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若(a2−b2+c2)tanB=ac，则角B的值为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．下列说法正确的有（ ）
A．若a与b是单位向量，则a⋅b=1
B．若非零向量a与b是相反向量，则a=b
C．a⋅b≤ab
D．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
11．在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜OZ1｜＝2.点Z与Z1关于x
轴对称.则点Z对应的复数z＝（ ）
A.1－2i B.1＋2i C.1－i D.1＋i
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知sinx−2csx=5sinx+φ，则sinφ−2csφ=_______________.
13．已知向量a,b满足a=2,b=2,−1,a+b=1，则a在b上的投影向量的坐标为_____．
14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a=2,2sinB+2sinC=3sinA．则sinA的最大值为_________
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2,c=2,csC=−33．
(1)求sinB和a的值；
(2)求△ABC的面积．
16．（15分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，F是CD上靠近点C的三等分点.
(1)设AF=λAB+μAD，求λ+μ的值；
(2)若AB=3，BC=2，求AF⋅EF的值.
17．（15分）已知|a|=2,|b|=4，且|a+b|=23．
(1)求a与b的夹角；
(2)求|a−2b|的值；
(3)若(2a−b)⊥(a+kb)，求实数k的值．
18．（17分）已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i.
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值.
19．（17分）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向.
(1)求点D到塔底B的距离BD；
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°，求铁塔高AB.
答案
1．【答案】C
【解析】由题意知：对于集合B，当x=−1时，y=x2−2x=3；当x=a时，y=a2−2a；
当x=a+2时，y=(a+2)2−2(a+2)=a2+2a；
又A∪B=A，故A∪B=A，则B⊆A，
若a=3，则a2−2a=3,a2+2a=15,a+2=5，此时A=−1,3,5,B=3,15，
不满足B⊆A；
若a+2=3,∴a=1，此时A=−1,1,3,B=3,−1，满足B⊆A，
故a=1，
故选：C
2．【答案】A
【解析】由|x(x−1)|=x(1−x)可得：x(x−1)≤0，
解得：0≤x≤1，
所以“0
3．【答案】C
【解析】∵＝(1，2)，＝(x，－2)，且⊥，
∴·＝1·x＋2×(－2)＝0，即x－4＝0，∴x＝4.
4．【答案】A
【解析】 因为复数z的实部为22，所以a＝22.因为｜z｜＝1，所以｜z｜＝（22）2＋(−b）2＝1，解得b＝－22或b＝22（舍去），所以复数z的虚部为22.故选A.
5．【答案】A
【解析】因为a=−lg513=lg53，且lg55
6．【答案】A
【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动2050=25周，
故其转动的弧度数是25×2π=4π5.
故选：A.
7．【答案】C
【解析】依题意，由图象中最值可知A=2，
周期满足12T=π3−π12=π4，又ω>0，则T=π2=2πω，故ω=4，
所以fx=2cs4x+φ，又点π12,2在fx的图象上，
所以2cs4×π12+φ=2，即csπ3+φ=1，
所以π3+φ=2kπ,k∈Z，即φ=−π3+2kπ,k∈Z，
而φ<π2，所以φ=−π3，
所以fx=2cs4x−π3.
故选：C.
8．【答案】D
【解析】由csA−csB+a−bc=0，得a−ccsB=b−ccsA，
由余弦定理得a−c×a2+c2−b22ac=b−c×b2+c2−a22bc，化简得a2+b2−c2a=a2+b2−c2b，
当a2+b2−c2=0时，即a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形；
当a2+b2−c2≠0时，得a=b，则△ABC为等腰三角形；
综上：△ABC为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
9．【答案】AD
【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2+c2−b2=2accsB，又(a2−b2+c2)tanB=ac，
因此2accsB⋅sinBcsB=ac，解得sinB=12，而0∘
故选：AD
10．【答案】BC
【解析】a与b是单位向量且方向不同时，a⋅b≠1，A错误；
根据相反向量的定义可知，a与b方向相反且两个向量模相等，即a=b，B正确；
a⋅b=abcsa,b≤ab，C正确；
若b为零向量，a、c为非零向量，则a与c不一定共线，D错误．
故选：BC.
11．【答案】CD
由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜OZ1｜＝2，所以｜OZ1｜＝12＋(−a）2＝2，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D.
12．【答案】−455
【解析】由sinx−2csx=5×(55sinx−255csx)=5sinx+φ，
可得csφ=55,sinφ=−255，所以sinφ−2csφ=−255−2×55=−455.
故答案为：−455.
13．【答案】−2,1
【解析】因为a=2,b=2,−1，可得b=3，
又因为a+b=1，可得a+b2=a2+2a⋅b+b2=4+2a⋅b+3=1，解得a⋅b=−3，
所以a在b上的投影向量为acsθ⋅bb=a⋅bb⋅bb=−2,1．
故答案为：−2,1.
14．【答案】459/495
【解析】因为a=2,2sinB+2sinC=3sinA，所以由正弦定理可得b+c=3.
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，得22=b+c2−2bc−2bccsA，
整理得csA=52bc−1.
因为bc≤b+c22=94，当且仅当b=c=32时，等号成立，
所以csA≥19，又sin2A=1−cs2A，所以sin2A≤8081，即sinA≤459.
故答案为：459.
15．
【解析】（1）在△ABC中，由csC=−33，可得sinC=1−cs2C=63．
又由csinC=bsinB及b=2,c=2，可得sinB=33．
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，得3a2+26a−6=0，
由a>0，解得a=63．
所以sinB=33,a=63．
（2）由（1）知，a=63,sinC=63，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12×63×2×63=23．
16．
【解析】（1）∵AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB，∴λ=23，μ=1，
∴λ+μ=23+1=53.
（2）由（1）知：AF=AD+23AB，
∵EF=CF−CE=13CD−12CB=−13AB+12AD，
∴AF⋅EF=AD+23AB⋅−13AB+12AD=−13AB⋅AD+12AD2−29AB2+13AB⋅AD =12BC2−29AB2=2−2=0.
17．【答案】(1)2π3；(2)221；(3)12
【解析】（1）由题意知，a+b2=a2+2a⋅b+b2=12，
又a=2,b=4，所以a⋅b=−4，
所以csa,b=a⋅bab=−42×4=−12，又a,b∈[0,π]，
所以a,b=2π3，即a与b的夹角为2π3；
（2）由（1）知a⋅b=−4，
所以a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=84，
故a−2b=221；
（3）由(2a−b)⊥(a+kb)，得(2a−b)⋅(a+kb)=0，
即2a2+2ka⋅b−a⋅b−kb2=0，又a=2,b=4，a⋅b=−4，
所以8−8k+4−16k=0，解得k=12.
18．18.解：（1）由题意得｜z｜＝（x－2）2＋（x+2）2＝2x2+8≥22，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为22.
（2）由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）.
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以m＞0，n＞0.
所以1m＋1n＝1m＋1nm＋n2＝32＋mn＋n2m≥32＋2.当且仅当mn＝n2m，即n2＝2m2时等号成立.
又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－2，n＝22－2.
19．【解析】（1）由题意可知，∠BCD=45°,∠BDC=105°，故∠CBD=30°，
在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，即BDsin45°=20sin30°，
所以BD=20sin45°sin30°=20×2212=202（米）.
因此点D到塔底B的距离BD为202米；
（2）在△BCD中， 由正弦定理， 得BCsin∠BDC=BDsin∠BCD，
得BC=202sin45°⋅sin105°=40⋅sin60°+45°=40⋅sin60°cs45°+cs60°sin45°
=40×6+24=106+2，
在Rt△ABC中，AB=BC×tan∠ACB=106+2×33=102+1063，
所以铁塔高AB为102+1063米.
相关试卷
湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题： 这是一份湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期期中达标数学测评卷： 这是一份湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期期中达标数学测评卷，共12页。
湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题： 这是一份湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题，共4页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，设，，，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。
