湖南省衡阳县第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学模拟试题

这是一份湖南省衡阳县第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学模拟试题，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知圆O等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A=xy=lg3x-2，集合B=y∈Z0≤y≤5，则A∩B=（ ）
A．∅B．2,5C．2,5D．3,4,5
2．已知复数z=csπ6+isinπ6（i为虚数单位），则z=（ ）
A．12B．32C．1D．1+32
3．已知函数fx的定义域为R，且yfx-xfy=xyx-y，则下列结论一定成立的是（ ）
A．f1=1B．fx为偶函数
C．fx有最小值D．fx在0,1上单调递增
4．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则AD⋅CM的取值范围为（ ）
A．-24,16B．0,32C．-32,0D．-123,0
5．设函数fx的定义域为R，导数为f'x，若当x≥0时，f'x>2x-1，且对于任意的实数x,f-x=fx+2x，则不等式f2x-1-fx<3x2-5x+2的解集为（ ）
A．-∞,1B．13,1C．-13,+∞D．-∞,-13∪1,+∞
6．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体积的最大值为（ ）
A．8πB．9π2C．16π3D．32π3
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1⋅PF2=2a2，PO⃗=2b，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．3D．2
8．已知圆O:x2+y2=3,P是圆O外一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B，若PA⋅PB=92，则OP=（ ）
A．6B．3C．23D．15
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知数列an满足a1∈13,12，an+1=sinπan2，n∈N*，记数列an的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，下列结论正确的是（ ）
A．存在k∈N* ，使ak=1B．数列an单调递增
C．an+1≥34an+14D．2an+1≤2a1+Sn
10．已知函数fx=sin2x+φ(0<φ<π)，对任意实数x都有fx≤fπ8，则下列结论正确的是（ ）
A．fx的最小正周期为πB．φ=π4
C．函数fx的图象关于x=π4对称D．fx在区间0,π2上有一个零点
11．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记Aii=1,2为第i次命中，X为命中次数，则（ ）
A．P(A2)=23B．E(X)=43C．D(X)=49D．P(A1|A2)=34
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是DD1和BD1的中点，则（ ）
A．C1F//AE
B．C1F⊥A1D
C．点F到平面EAC的距离为63
D．过E作平面α与平面ACE垂直，当α与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为[32,143]
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知x2+1x-37=a0+a1x-1+a2x-12+⋯+a9x-19x∈R，则a0+a1+a2+⋯+a9= .
14．若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，则1a-1+1b的最小值为 .
15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8，且C1E=λC1B0<λ<1，则当AE+EC取得最小值时，三棱锥B1-ECD1的外接球体积为 .
16．已知函数f(x)=2sinωx2csωx2-23sin2ωx2+3(ω>0)的最小正周期为T，若π2四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设{an}的前n项和为Sn，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn；
18．（12分）在△ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足a+c2+bcsA+B=0．
(1)求∠B的大小；
(2)∠A的角平分线AD交BC边于D，向量BA在BD上的投影向量为-2BD，BD=1，求AC．
19．（12分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2，点D,E,F分别是棱AC，CC1,C1B1的中点，点P满足AP=λAB+μAA1，其中λ∈0,1,μ∈0,1.
(1)当λ=μ=12时，求证：DP∥平面A1EF；
(2)当λ=1时，是否存在点P使得平面ACP与平面A1EF的夹角的余弦值是155？若存在，指出点P的位置，若不存在，请说明理由.
20．（12分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，y=a+bx和y=c+dx2哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx，
i=15xi2=55，i=15xi4=979，i=15yi=390，i=15xiyi=1221，i=15xi2yi=4607.9
21．（12分）设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，且A1A2=8，离心率为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点A1的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，且满足A1M22．（12分）已知函数fx=12ax2+x,gx=lnx.
(1)若曲线y=fx与y=gx有一条斜率为2的公切线，求实数a的值；
(2)设函数hx=fx-a+1gx，讨论hx的单调性.
数学答案
1．【答案】D
【解析】由于A=xy=lg3x-2=xx>2，B=y∈Z0≤y≤5=0,1,2,3,4,5.
故A∩B=3,4,5.
故选：D.
2．【答案】C
【解析】由题意可知：z=cs2π6+sin2π6=1.
故选：C.
3．【答案】C
【解析】由于函数fx的定义域为R，且yfx-xfy=xyx-y，
令y=1，则fx-xf1=xx-1，得fx=x2+f1-1x，
x=1时，f1=12+f1-1恒成立，无法确定f1=1，A不一定成立；
由于f1=1不一定成立，故fx=x2+f1-1x不一定为偶函数，B不确定；
由于fx=x2+f1-1x的对称轴为x=-12⋅f1-1与0,1的位置关系不确定，
故fx在0,1上不一定单调递增，D也不确定，
由于fx=x2+f1-1x表示开口向上的抛物线，故函数fx必有最小值，C正确，
故选：C
4．【答案】C
【解析】连接OM，OC，设〈AD,OM〉=θ，依题意，AD=8，OC=4，〈AD⋅OC〉=π3，
则AD⋅CM=AD⋅(OM-OC)=AD⋅OM-AD⋅OC=8×2csθ-8×4csπ3 =16csθ-16，
由θ∈0,π，得-1≤csθ≤1，所以-32≤AD⋅CM≤0.
故选：C
5．【答案】B
【解析】因为f-x=fx+2x，
设gx=fx-x2+x，
则g-x=f-x-x2-x=fx+2x-x2-x=g(x)，
即g(x)为R上的偶函数，
又当x≥0时，f'x>2x-1，
则g'x=f'x-2x+1>0，所以g(x)在0,+∞上单调递增，在-∞,0上单调递减，
因为f2x-1-fx<3x2-5x+2，
所以f2x-1-2x-12+2x-1即g2x-1解得13故选：B
6．【答案】C
【解析】由题意知，圆锥的底面半径为3，母线为5，则圆锥的高为52-32=4，
设圆柱的底面半径为r，高为h，如图，
则r3=4-h4，得h=4-43r，
所以该圆柱的体积为V=πr2h=πr24-43r，
令f(r)=r2(4-43r) (0当00，函数f(r)在区间(0,2)上单调递增，
当2所以f(r)max=f(2)=163，即圆柱的体积的最大值为163π.
故选：C.

7．【答案】D
【解析】如图所示，根据双曲线的定义，|F1F2|=2c,||PF1|-|PF2||=2a，c2=a2+b2，
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2,
即|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，
又因为PF1⋅PF2=2a2，所以|PF1||PF2|cs∠F1PF2=2a2，
所以(2c)2=(2a)2+2|PF1||PF2|-4a2，即|PF1||PF2|=2c2.
在△POF1,△POF2中，由余弦定理得cs∠POF1=|OP|2+|OF1|2-|PF1|22|OP||OF1|，cs∠POF2=|OP|2+|OF2|2-|PF2|22|OP||OF2|，
且|OF1|=|OF2|=c,∠POF1+∠POF2=π,|OP|=2b
所以|OP|2+|OF1|2-|PF1|22|OP||OF1|=-|OP|2+|OF2|2-|PF2|22|OP||OF2|，
化解得2b2+c2-|PF1|2=-(2b2+c2-|PF2|2)，
即|PF1|2+|PF2|2=4b2+2c2，
(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=4b2+2c2，
4a2+4c2=4b2+2c2，
所以4a2+2c2=4(c2-a2)，
即4a2=c2，则c=2a
故离心率e=ca=2.
故选：D.
8．【答案】C
【解析】由x2+y2=3，可得圆心O(0,0)，半径r=3，
设∠APO=∠BPO=α,OP=x(x>3)，
则sinα=3x,csα=x2-3x,PA=PB=x2-3，
cs∠APB=cs2α=1-2sin2α=1-6x2，
则有PA⋅PB=|PA|2cs∠APB=92⇒x2-31-6x2=92
⇒2x4-27x2+36=0，
解得2x2-3x2-12=0,∵x2>3,∴x2=12，即x=23.
故选：C.
9．【答案】BCD
【解析】对于B，要证数列an单调递增，只需要证sinπan2>an，
令fx=sinπ2x-x,x∈13,1，则f'x=π2csπ2x-1，
f'x在13,1上单调递减，因为f'13=π34-1>0,f'1=-1<0，
故f'x在13,1上存在唯一的零点x0，
当x∈13,x0时，f'x>0，当x∈x0,1时，f'x<0，
所以fx=sinπ2x-x在x∈13,x0为增函数，在x∈x0,1上为减函数，
因为f13=16>0,f1=0，所以当x∈13,1时，有fx>0即sinπ2x>x，
令x=an，则有sinπ2an>an，故B正确；
对于A，假设存在k∈N*，使得ak=1，则ak+1=sinπak2=sinπ2=1，
所以ak+1=1，所以ak+1=ak=1，
与B选项中数列an单调递增矛盾，故A错误；
对于C，要证an+1≥34an+14，只需证sinπ2an≥34an+14，
令gx=sinπ2x-34x-14,x∈13,1，则g'x=π2csπ2x-34，
g'x在13,1上单调递减，因为g'13=π34-34>0,f'1=-34<0，
故g'x在13,1上存在唯一的零点x1，
当x∈13,x1时，g'x>0，当x∈x1,1时，g'x<0，
所以gx=sinπ2x-34x-14在13,x1为增函数，在x1,1上为减函数，
因为g13=g1=0，所以当x∈13,1时，有gx≥0即sinπ2x≥34x+14，
令x=an，则有sinπ2an≥34an+14，故C正确；
对于D，令hx=sinπ2x-32x,x∈13,1，则h'x=π2csπ2x-32，
h'x在13,1上单调递减，因为h'13=π34-32<0,h'1=-32<0，
故hx在13,1上为减函数，
因为h13=0，所以当x∈0,π2时，总有hx≤h13=0即sinπ2x≤32x，
所以sinπ2an≤32an，即an+1≤32an，
整理得到：an+1-an≤12an，其中n=1,2,3,⋯,
故a2-a1≤12a1
a3-a2≤12a2，
……
an+1-an≤12an
累加后可得an+1-a1≤12Sn即2an+1≤2a1+Sn，故D正确.
故选：BCD.
10．【答案】ABD
【解析】选项A．T=2π2=π．故A正确；
选项B，易知fπ8为最大值或最小值，∴x=π8是fx的一条对称轴的方程．
∴2×π8+φ=kπ+π2，k∈Z．∴φ=π4+kπk∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π4，故B正确；
选项C，fπ4=sin34π=22，不是最值，故C错误；
选项D，当x∈0,π2时，2x+π4∈π4,5π4，
当且仅当2x+π4=π即x=3π8时fx=0,故此区间上fx有1个零点．
故选：ABD．
11．【答案】ABD
【解析】对于A，易知P(A2)=PA1PA2A1+PA1PA2A1=23×34+13×12=23，故A正确；
对于D，易知P(A1|A2)=PA1A2PA2=23×3423=34，故D正确；
对于B、C，易知X可取0,1,2，则PX=0=13×12=16,PX=1=23×14+13×12=13,
PX=2=23×34=12，所以E(X)=0×16+1×13+2×12=43，
D(X)=0-432×16+1-432×13+2-432×12=59，故B正确；C错误；
故选：ABD
12．【答案】BCD
【解析】在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0),C(2,2,0),A1(0,0,2),D(0,2,0),E(0,2,1),C1(2,2,2),F(1,1,1)，
对于A，C1F=(-1,-1,-1),AE=(0,2,1)，显然C1F与AE不共线，即C1F与AE不平行，A错误；
对于B，A1D⃗=(0,2,-2)，C1F⃗⋅A1D⃗=-1×2-1×(-2)=0，因此C1F⊥A1D，B正确；
对于C，AC=(2,2,0),AE=(0,2,1)，设平面ACE的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AC=2x+2y=0n⋅AE=2y+z=0，令y=-1，得n=(1,-1,2)，而AF=(1,1,1)，
点F到平面ACE的距离为d=|AF⋅n||n|=26=63，C正确；
对于D，过点E垂直于平面ACE的直线与平面A1B1C1D1相交，令交点为N，
则EN=λn=(λ,-λ,2λ)，点N(λ,2-λ,2λ+1)，由2λ+1=2，得λ=12，即N(12,32,2)，
当平面α经过直线EN并绕着直线EN旋转时，平面α与平面A1B1C1D1的交线绕着点N旋转，
当交线与线段A1D1，C1D1都相交时，α与正方体所成截面为三角形，
令平面α与平面A1B1C1D1的交线交A1D1于点G，交C1D1于点H，设GD1=a，HD1=b，
G(0,2-a,2),H(b,2,2)，NG=(-12,12-a,0),NH=(b-12,12,0)，由NG//NH，
得a+b=2ab，a,b∈[23,2]，Rt△D1GH斜边GH上的高h'=aba2+b2，
则截面△EHG边GH上的高h=ED12+h'2=1+a2b2a2+b2，
截面△EHG的面积S△EGH=12a2+b2⋅1+a2b2a2+b2=12a2+b2+a2b2
=12(a+b)2-ab+a2b2=125a2b2-2ab=125(ab-15)2-15，
当a∈[23,2]时，b=a2a-1，ab=14⋅[(2a-1)+1]22a-1=14(2a-1+12a-1+2)∈[1,43]，
所以S△EGH∈[32,143]，D正确.
故选：BCD
13．【答案】-5
【解析】令x=2，则a0+a1++…+a9=22+12-37=-5.
故答案为：-5
14．【答案】4
【解析】由a2+2b=b2+2a可得a-ba+b-2=0，
因为a>1>b>0，所以a-b≠0，即a+b-2=0，则a-1+b=1，
则1a-1+1b=1a-1+1ba-1+b=2+ba-1+a-1b≥2+2ba-1⋅a-1b=4，
当且仅当ba-1=a-1b，即a=32,b=12时等号成立，故1a-1+1b的最小值为4.
故答案为：4.
15．【答案】323π/32π3
【解析】由题意得，AB=2,BC1=22，将平面BCC1展成与平面ABC1D1同一平面，
当点A,E,C共线时，此时AE+EC最小，
在展开图中作CN⊥AB，垂足为N，
因为△BCC1为等腰直角三角形，所以BC=CC1=2，BN=CN=2，
由△ABE∼△ANC得，BECN=ABAN⇒BE2=22+2，解得BE=22-2，
在正方体ABCD-A1B1C1D1，过点E作EF⊥BC，垂足为F，则EF=BF=2-2，
如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则A2,0,0,B2,2,0，C0,2,0，E2,2,2-2，B12,2,2,C10,2,2,D10,0,2，
则AC1=-2,2,2,B1C=-2,0,-2,B1D1=-2,-2,0，
因为AC1⋅B1C=0,AC1⋅B1D1=0，所以AC1⊥B1C,AC1⊥B1D1，
又因为B1C,B1D1⊂平面B1CD1，且B1C∩B1D1=B1，
所以AC1⊥平面CB1D1，
因为AD1=AB1=AC,C1D1=C1B1=C1C，
所以三棱锥B1-ECD1外接球的球心在AC1上，
设球心为O，设AO=kAC1=-2k,2k,2kk≠0，则O2-2k,2k,2k，
因为OC=OE，
所以2-2k2+2k-22+2k2=2-2k-22+2k-22+2k-2+22，
解得k=1，即O0,2,2，所以外接球R=OC=2，
所以三棱锥B1-ECD1外接球的体积V=43πR3=323π，
故答案为：323π.
16．【答案】72
【解析】f(x)=2sinωx2csωx2-23sin2ωx2+3 =sinωx+3csωx=2sinωx+π3
所以fx=2sinωx+π3的最小正周期为T=2πω，
于是π2<2πω<2π3，解得3<ω<4，
因为π3是f(x)的一个极值点，则π3ω+π3=kπ+π2,k∈Z，
解得ω=3k+12,k∈Z，所以k=1时，ω=72∈3,4.
故答案为：72.
17．【答案】(1)an=2n-1，bn=2n-1；(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a1=b1=a2-b2=a3-b3=1，
∴1+d-q=1，1+2d-q2=1，
解得d=q=2，
∴an=1+2(n-1)=2n-1，bn=2n-1．
（2）证明：∵bn+1=2bn≠0，
∴要证明(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn，
即证明(Sn+1+an+1)bn=2Sn+1⋅bn-Snbn，
即证明Sn+1+an+1=2Sn+1-Sn，
即证明an+1=Sn+1-Sn，
由数列的通项公式和前n项和的关系得：an+1=Sn+1-Sn，
∴(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn．
18．【答案】(1)2π3；(2)285
【解析】（1）解：∵a+c2+bcsA+B=0，A+B+C=π，
∴a+c2+bcsπ-C=a+c2-bcsC=0，
∴a+c2=bcsc，由正弦定理得2sinA+sinC=2sinBcsC，
2sinB+C+sinC=2sinBcsC+2csBsinC+sinC=2sinBcsC，
2csBsinC=-sinC，
∵C∈0,π，B∈0,π，∴sinC≠0，csB=-12，B=2π3；
（2）∵BD=1，BD⋅BA=BD⋅BAcsB=-12BA=-2BD⋅BD=-2BD2=-2，
∴BA=4，
延长AD，过点B作BE//AC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BED，∴AB=BE，
△ADC∽△EDB，∴BEAC=BDDC，∴4AC=1CD，
∴AC=4CD．
∴设CD=m，则AC=4m，
在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB⋅BC⋅cs120°，
4m2=42+1+m2-2⋅4⋅1+m×-12，
即5m2-2m-7=0，
解得m=75，m=-1（舍），
∴AC=4m=285．
19．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点P为BB1的中点
【解析】（1）当λ=μ=12时，AP=12AB+12AA1=12AB1，故点P是AB1的中点，
连接CB1，DP，因为点D是AC的中点，P是AB1的中点，所以DP∥CB1，
因为点E,F分别是CC1,C1B1的中点，所以EF∥CB1，所以DP∥EF，
因为DP⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以DP∥平面A1EF.
（2）存在，点P为BB1的中点.
当λ=1时，AP=AB+μAA1，即BP=μBB1,μ∈0,1，所以点P在棱BB1上，
取A1C1的中点D1，连接DD1，DB，则DD1∥CC1，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，DD1⊥平面ABC，△ABC是正三角形，所以DB⊥AC，
以D为坐标原点，DA,DB,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则A12,0,0,B0,32,0,A112,0,2,B10,32,2,C1-12,0,2,E-12,0,1,P0,32,μ，
从而F-14,34,2，A1F=-34,34,0,A1E=-1,0,-1，
AP=-12,32,μ,AC=-1,0,0，
设平面A1EF的法向量是m=x1,y1,z1，
由m⋅A1E=0m⋅A1F=0，即-x1-z1=0-34x1+34y1=0，令x1=1，得m=1,3,-1.
设平面ACP的法向量是n=x2,y2,z2，
由n⋅AC=0n⋅AP=0，即-x2=0-12x2+32y2+μz2=0，令z2=3，得n=0,-2μ,3.
令csm,n=m⋅nmn =-23μ-31+3+1×4μ2+3=23μ+35×4μ2+3=155，得2μ+12=4μ2+3，
解得μ=12，所以存在点P使得平面ACP与平面A1EF的夹角的余弦值是155，
此时点P为BB1的中点.
20．【答案】(1)y=c+dx2适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；(2)y=68.65+0.85x2；(3)估计2024年的企业利润为93.3亿元
【解析】（1）由散点图的变化趋势，知y=c+dx2适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：x2=15i=15(xi)2=11，y=15i=15yi=78，
d^=i=15xi2yi-5×(x2)yi=15(xi2)2-5×(x2)2=4607.9-5×555×3905979-5×5552=317.9374=0.85，
c^=y-d^×(x2)=3905-0.85×555=68.65，
所以y=68.65+0.85x2；
（3）令x=6，y=68.65+0.85×62=99.25，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
21．【答案】(1)x216+y212=1；(2)y=±62(x+4).
【解析】（1）依题意，2a=8，a=4，令椭圆半焦距为c，由e=ca=12，得c=2，b2=a2-c2=12，
所以椭圆的方程为x216+y212=1.
（2）显然直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y=k(x+4)，M(xM,yM),N(0,yN)，
由x216+y212=1y=k(x+4)消去y得：(3+4k2)x2+32k2x+64k2-48=0，
则-4⋅xM=64k2-483+4k2，解得xM=-16k2+123+4k2，yM=24k3+4k2，又yN=4k，
由（1）知，OF1=c=2，A1F2=a+c=6，
由S△OMF1=29S△A1F2N，得S△OMF1S△A1F2N=12OF1yM12A1F2yN=12×2yM12×6yN=29，
即yMyN=24k3+4k24k=23，解得k=±62，满足Δ>0，
所以直线l的方程y=±62(x+4).
22．【答案】(1)12+2ln2；(2)答案见详解
【解析】（1）由gx=lnx得g'x=1x，设公切线与曲线gx=lnx的切点坐标为x0,lnx0，
由已知得1x0=2，解得x0=12，
所以公切线方程为y-ln12=2x-12，即y=2x-1-ln2，
由fx=12ax2+xy=2x-1-ln2得12ax2-x+1+ln2=0，
由已知得Δ=1-4×12a×1+ln2=0，解得a=12+2ln2.
（2）由已知hx=12ax2+x-a+1lnx(x>0)，则h'x=ax+1-a+1x=ax+a+1x-1x，
当a≥0时，ax+a+1>0，令h'x>0，得x>1，令h'x<0得0这时，hx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减；
当a≤-1时，ax+a+1<0，令h'x>0，得01，
这时，hx在1,+∞上单调递减，在0,1上单调递增；
当-10，1--a+1a=2a+1a，
①当a=-12时，h'x≤0，这时hx在0,+∞上单调递减；
②当-120，得1令h'x<0得0-a+1a，
这时，hx在0,1和-a+1a,+∞上单调递减，在1,-a+1a上单调递增；
③当-1-a+1a，令h'x>0，得-a+1a令h'x<0得01，
这时，hx在0,-a+1a和1,+∞上单调递减，在-a+1a,1上单调递增；
综上，当a≤-1时，hx在1,+∞上单调递减，在0,1上单调递增；
当-1当a=-12时，hx在0,+∞上单调递减；
当-12当a≥0时，hx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减.