湖南省衡阳市衡阳县四中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（创新实验班）

这是一份湖南省衡阳市衡阳县四中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（创新实验班），共6页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分，时量120分钟，命题人 刘孝军
一、选择题
1．已知向量，，且，那么实数等于( )
A.3B.-3C.9D.-9
2．已知方程表示圆的方程，则c的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．已知数列满足,则,则( )
A.3B.C.D.
4．如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则( )
A.B.C.D.
5．已知直线过定点P,则点P到直线距离的最大值是( )
A.1B.2C.D.
6．已知双曲线的离心率是2，则其渐近线方程为( )
A.B.C.D.
已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,
若关于平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．如图,在正方体中,,,则下列结论中正确的是( )
A.平面 B.平面平面
C.平面 D.平面内存在与EF平行的直线
二、多项选择题
9．已知直线,下列说法正确的是( )
A.若,则直线l的倾斜角为
B.若直线l的在两坐标轴的截距相等,则
C.直线l与直线垂直,则
D.若直线l不过第二象限,则
10．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( )
A.两条异面直线和所成的角为
B.直线与平面所成的角等于
C.点C到面的距离为
D.四面体的体积是
11．某学习小组用函数图象:,和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”,过焦点F的直线l交（包含边界点）于A,B两点,P是或上的动点,下列说法正确的是( )
A.抛物线的方程为
B.的最小值为4
C.的最大值为
D.若P在上,则的最小值为
三、填空题
12．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是_________.
13．已知的顶点，，且周长为16，求顶点C的轨迹方程________.
14．在正三棱锥中，O是的中心，，则__________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
16．如图所示，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面.E为的中点，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知双曲线C的焦点在坐标轴上,且过点,其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）是否存在被点平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
18．已知四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，，为等边三角形.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）是否存在一点F，满足，使直线AF与平面BDE所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．已知椭圆的离心率为,右顶点Q与C的上,下顶点所围成的三角形面积为.
（1）求C的方程.
（2）不过点Q的动直线l与C交于A,B两点,直线QA与QB的斜率之积恒为.
（i）证明:直线l过定点;
（ii）求面积的最大值.
参考答案
1．答案：D
2．答案：A
3．答案：C
4．答案：B
解析：由题意，
.
5．答案：D
解析：由题意知,直线恒过定点,
直线恒过定点,如图所示,
过作的垂线段PH,垂足为H,
那么必有,当且仅当Q与H重合时取等号,
从而PH的最大值为,
即点P到直线距离的最大值是.
6．答案：A
解析：依题意，，所以渐近线方程为，即.
7．答案：B
解析：设关于平分线的对称点为M,则P,,M三点共线,
设,则,又,所以为等边三角形,所以,
又,所以,,
在中,由余弦定理可得：,
即,所以,所以.
8．答案：C
解析：因为为正方体,设正方体边长为2,
以为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
设平面的法向量为,
则,,令,则, 同理解得平面的法向量,
,, 故A不正确; , 故B不正确;
,,, ,,所以,,
又,所以平面, C正确;
平面的一个法向量为, , 故D不正确;
9．答案：AC
解析：对于选项A,当时,直线l可化为,故直线的斜率为-1,
所以倾斜角为,故选项A正确;
对于选项B,由题意,令,得,令,得,
若截距相等,则有,解得或,故选项B错误;
对于选项C,由直线垂直的充要条件得,解得,故选项C正确;
对于选项D,直线l可化为,因为l不过第二象限,
所以,解得,所以,故选项D错误.
10．答案：BCD
解析：建立如图所示空间直角坐标系，
对A：、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
对B：，由z轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C：,,，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
对D：易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
11．答案：ACD
解析：可变形为,
表示以为圆心,2为半径的圆的上半部分;
可变形为,
表示以为圆心,2为半径的圆的上半部分.
对于A选项,抛物线过点,解得,
,故A选项正确;
对于B选项,抛物线的准线为,
过点B作,垂足为,
则,则,
故B选项不正确;
对于C选项,不妨设,显然离l最远的点在上,
且,
联立,消去y整理得, ,
则,,
则,
由对称性只考虑情况,B在E点时,,所以,
所以,
设,易得在上单调递增,所以的最大值为,故C选项正确;
对于D选项,设AB的中点为M,
联立,消去y整理得,
则,, ,,
,
所以,,
,
最小,即最大,也即最小,
又AB的中点M位于圆心的左侧,故当P在位置时,最小,最小,
所以
,
故D选项正确.
12．答案：2
13．答案：
14．答案：16
解析：如图，
首先：，
又
所以
.
15．解析：（1）当时，由，得，所以.
又，故数列是首项为2，公差为2的等差数列.
（2）由（1），可得，所以.
当时，.
当时，，显然不符合上式.
故
16．解析：（1）取的中点F,连接,，
因为E,F分别为,的中点，所以,，
因为，，所以，又因为，所以,，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）取的中点O，连接,，因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，面PAD，
所以平面. 因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以.
以O为原点，,,所在直线分别
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则.同理可得平面的法向量为.
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．解析：（1）双曲线C的标准方程为.
（2）假设存在被点平分的弦,记弦所在的直线为l.设是弦的中点,设,,则.因为点M,N在双曲线C上,所以它们的坐标满足双曲线方程,
即两式相减得,
所以,所以直线l的斜率,
所以直线l的方程为,即.
联立直线l与双曲线方程得消去y,得,
显然,所以直线l与双曲线无交点,
所以直线l不存在,故不存在被点平分的弦.
18．解析：（1）等腰梯形ABCD中，，，得到，.由，得到，且，因此平面ADE，
又因为平面ABCD，故平面平面ABCD
（2）方法一：由（1）知面ADE，得到面面ADE.
作于H点，有面BDE.即为直线AF与面BDE所成角，在直角三角形AHF中，由和，得到，由，得，又，所以存在.
方法二：以点D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.
其中，，，
得到，，
设平面BDE的法向量为
由，得，不妨设，
则取
又，
则，（舍去）或所以，
19．解析：（1）令椭圆的半焦距为c,由离心率为,得,
解得,,由三角形面积为,得,则,,,
所以C的方程是.
（2）（i）由（1）知,点,设直线l的方程为,设,,
由消去x得:,
则,,直线QA与QB的斜率分别为,,
于是
,整理得,
解得或,
当时,直线过点Q,不符合题意,
因此, 直线恒过定点.
（ii）由（i）知,,,
则,
因此的面积
,当且仅当,即时取等号,
所以面积的最大值为.