衡阳县第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试模拟数学试卷(含答案)

这是一份衡阳县第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试模拟数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，集合，则( )
A.B.C.D.
二、选择题
2．已知复数（i为虚数单位），则( )
A.B.C.1D.
三、选择题
3．已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是( )
A.B.为偶函数
C.有最小值D.在上单调递增
四、选择题
4．如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
五、选择题
5．设函数的定义域为R，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
六、选择题
6．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
七、选择题
7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为( )
A.B.C.3D.2
八、选择题
8．已知圆，P是圆O外一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若，则( )
A.B.3C.D.
九、多项选择题
9．已知数列满足，，，记数列的前n项和为，则对任意，下列结论正确的是( )
A.存在，使B.数列单调递增
C.D.
一十、多项选择题
10．已知函数，对任意实数x都有，则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为B.
C.函数的图象关于对称D.在区间上有一个零点
一十一、多项选择题
11．某同学投篮两次，第一次命中率为.若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为.记为第i次命中，X为命中次数，则( )
A.B.C.D.
一十二、多项选择题
12．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是和的中点，则( )
A.
B.
C.点F到平面EAC的距离为
D.过E作平面与平面ACE垂直，当与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为
一十三、填空题
13．已知，则________.
一十四、填空题
14．若实数，且，则的最小值为________.
一十五、填空题
15．已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为________.
一十六、填空题
16．已知函数的最小正周期为T，若，且是的一个极值点，则________.
一十七、解答题
17．设是等差数列，是等比数列，且.
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
一十八、解答题
18．在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足.
（1）求的大小；
（2）的角平分线交边于D，向量在上的投影向量为，，求.
一十九、解答题
19．如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别是棱，，的中点，点P满足，其中，.
（1）当时，求证：平面；
（2）当时，是否存在点P使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点P的位置，若不存在，请说明理由.
二十、解答题
20．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图.其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5.
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润.
参考公式及数据；，，，，，，
二十一、解答题
21．设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，且满足，若三角形（O为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线l的方程.
二十二、解答题
22．已知函数，.
（1）若曲线与有一条斜率为2的公切线，求实数a的值；
（2）设函数，讨论的单调性.
参考答案
1．答案：D
解析：由于，.
故.
故选：D.
2．答案：C
解析：由题意可知：.
故选：C.
3．答案：C
解析：由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
4．答案：C
解析：连接，，设，依题意，，，，
则，
由，得，所以.
故选：C
5．答案：B
解析：因为，
设，
则，
即为R上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
6．答案：C
解析：由题意知，圆锥的底面半径为3，母线为5，则圆锥的高为，
设圆柱的底面半径为r，高为h，如图，
则，得，
所以该圆柱的体积为，
令，则，
当时，，函数在区间上单调递增，
当时，，函数在区间上单调递减，
所以，即圆柱的体积的最大值为.
故选：C.
7．答案：D
解析：如图所示，根据双曲线的定义，，，，
在中，由余弦定理得，
即，
又因为，所以，
所以，即.
在，中，由余弦定理得，，
且，，
所以，
化解得，
即，
，
，
所以，
即，则
故离心率.
故选：D.
8．答案：C
解析：由，可得圆心，半径，
设，，
则，，，
，
则有
，
解得，，，即.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对于B，要证数列单调递增，只需要证，
令，，则，
在上单调递减，因为，，
故在上存在唯一的零点，
当时，，当时，，
所以在为增函数，在上为减函数，
因为，，所以当时，有即，
令，则有，故B正确；
对于A，假设存在，使得，则，
所以，所以，
与B选项中数列单调递增矛盾，故A错误；
对于C，要证，只需证，
令，，则，
在上单调递减，因为，，
故在上存在唯一的零点，
当时，，当时，，
所以在为增函数，在上为减函数，
因为，所以当时，有即，
令，则有，故C正确；
对于D，令，，则，
在上单调递减，因为，，
故在上为减函数，
因为，所以当时，总有即，
所以，即，
整理得到：，其中
故，，……，
累加后可得即，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：选项A..故A正确；
选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程.
，..，，故B正确；
选项C，，不是最值，故C错误；
选项D，当时，，
当且仅当即时，故此区间上有1个零点.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A，易知，故A正确；
对于D，易知，故D正确；
对于B、C，易知X可取0，1，2，则，，
，所以，
，故B正确；C错误；
故选：ABD
12．答案：BCD
解析：在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
对于A，，，显然与不共线，即与不平行，A错误；
对于B，，，因此，B正确；
对于C，，，设平面的法向量，
则，令，得，而，
点F到平面的距离为，C正确；
对于D，过点E垂直于平面的直线与平面相交，令交点为N，
则，点，由，得，即，
当平面经过直线并绕着直线旋转时，平面与平面的交线绕着点N旋转，
当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形，
令平面与平面的交线交于点G，交于点H，设，，，，，，由，
得，，斜边上的高，
则截面边上的高，
截面的面积
，
当时，，，
所以，D正确.
故选：BCD
13．答案：
解析：令，则.
故答案为：
14．答案：4
解析：由可得，
因为，所以，即，则，
则，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为4.
故答案为：4.
15．答案：/
解析：由题意得，，，将平面展成与平面同一平面，
当点A，E，C共线时，此时最小，
在展开图中作，垂足为N，
因为为等腰直角三角形，所以，，
由得，，解得，
在正方体，过点E作，垂足为F，则，
如图，以D为原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
则，，，
因为，，所以，，
又因为平面，且，
所以平面，
因为，，
所以三棱锥外接球的球心在上，
设球心为O，设，则，
因为，
所以，
解得，即，所以外接球，
所以三棱锥外接球的体积，
故答案为：.
16．答案：
解析：
所以的最小正周期为，
于是，解得，
因为是的一个极值点，则，，
解得，，所以时，.
故答案为：.
17．答案：（1），；
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
，
，，
解得，
，.
（2）证明：，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
由数列的通项公式和前n项和的关系得：，
.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1），，
，
，由正弦定理得，
，
，
，，，，；
（2），，
，
延长，过点B作，
，，
，，，
.
设，则，
在中，，
，
即，
解得，（舍），
.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）存在，点P为的中点
解析：（1）当时，，故点P是的中点，
连接，，因为点D是的中点，P是的中点，所以，
因为点E，F分别是，的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）存在，点P为的中点.
当时，，即，，所以点P在棱上，
取的中点，连接，，则，
在正三棱柱中，平面，是正三角形，所以，
以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，，
从而，，，
，，
设平面的法向量是，
由，即，令，得.
设平面的法向量是，
由，即，令，得.
令，得，
解得，所以存在点P使得平面与平面的夹角的余弦值是，
此时点P为的中点.
20．答案：（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）；
（3）估计2024年的企业利润为93.3亿元
解析：（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元.
21．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）依题意，，，令椭圆半焦距为c，由，得，，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为，，，
由消去y得：，
则，解得，，又，
由（1）知，，，
由，得，
即，解得，满足，
所以直线l的方程.
22．答案：（1）；
（2）答案见详解
解析：（1）由得，设公切线与曲线的切点坐标为，由已知得，解得，
所以公切线方程为，即，
由得，
由已知得，解得.
（2）由已知，则，
当时，，令，得，令得，
这时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，令，得，令得，
这时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，令得或，，
①当时，，这时在上单调递减；
②当时，，令，得，
令得或，
这时，在和上单调递减，在上单调递增；
③当时，，令，得，
令得或，
这时，在和上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.