衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试卷(含答案)

这是一份衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知m,n是空间两条不同的直线,,是空间两个不重合的平面,下列命题为真命题的是( )
A.若,,,则B.若,,,则
C.若,,,则D.若,,,则
2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
3．如图,正方体透明容器的棱长为8,E,F,G,M分别为,,,的中点,点N是棱上任意一点,下列说法正确的是( )
A.
B.向量在向量上的投影向量为
C.将容器的一个顶点放置于水平桌面上,使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等,再向容器中注水,则注水过程中,容器内水面的最大面积为
D.向容器中装入直径为1的小球,最多可装入512个
4．直线和直线，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知函数的图象与直线有两个交点,,则( )
A.6B.8C.10D.12
6．一动点在圆上移动时,它与定点连线的中点轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
7．已知,,若,则的最小值为( ).
A.1B.C.2D.
8．椭圆与(,且)的( )
A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等
二、多项选择题
9．已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点P，下列说法正确的是( )
A.直线恒过定点
B.直线与圆C恒相交
C.直线，的交点P在定圆上
D.若G为中点，则的最小值为
10．设,是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且.则下列说法中正确的是( )
A.,B.离心率为
C.的面积为12D.的外接圆面积为
11．已知正方体的棱长为2,E、F分别为棱、的中点,则( )
A.E、F、、C四点共面
B.直线与所成角的正切值为
C.二面角的大小为
D.三棱锥的体积为1
三、填空题
12．已知点P是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左､右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为__________.
13．函数的最小值为________.
14．过点且和原点距离是2的直线方程是________.
四、解答题
15．已知圆及直线.直线l被圆C截得的弦长为.
（1）求a的值;
（2）求过点并与圆C相切的切线的一般式方程.
16．如图,将边长为2的正方形沿对角线折成一个直二面角,且平面,.
（1）若,
（i）求证:平面;
（ii）求直线与平面所成角的正弦值;
（2）求实数a的值,使得二面角的大小为60°.
17．已知圆分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，P为圆C上的动点.
(1)若线段上有一点Q，满足，求点Q的轨迹方程；
(2)过点的直线m截圆C所得弦长为，求直线m的方程；
(3)若P为圆C上异于A,B的动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：为定值.
18．已知椭圆经过点,离心率为,过点的直线l与椭圆交于不同的两点M、N.
（1）求椭圆的方程;
（2）若,求直线的方程.
19．已知双曲线过点,一条渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若点P为双曲线右支上一点,,求的最小值;
(3)过点的直线与双曲线的右支交于,两点,求证：为定值.
参考答案
1．答案：D
解析：若,,,则直线m,n有可能平行,也可能异面,A错误;
若,,,则可能有或,B错误;
若,,,则可能有或,C错误;
由,可得,分别可作为平面,的法向量,
由,可得,即得,D正确.
故选:D.
2．答案：A
解析：易知向量在向量上的投影向量为.
故选：A
3．答案：C
解析：对A:由正方体性质知:,,,
且、面,
所以面,又面,则,
由,故与不垂直,故A错误;
对B:由题意且,若O是,交点,连接,
所以,,
故为平行四边形,则,,
所以,所成角,即为,所成角,
由题设,易知,,,
在中,
即,夹角为,所以,夹角为,
故向量在向量上的投影向量为:
,故B错误;
对C:令放在桌面上的顶点为A,
若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等,
此时要使容器内水的面积最大,即垂直于的平面截正方体的截面积最大,
根据正方体的对称性,仅当截面过,,,,,中点时截面积最大,
此时,截面是边长为的正六边形,
故最大面积为,故C正确;
对D:由题意,第一层小球为个,第二层小球为,
且奇数层均为64个,偶数层均为49,
而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥,故高为,
假设共有n层小球,则总高度为,且n为正整数,
令,则,而,故小球总共有10层,
由上,相邻的两层小球共有113个,
所以正方体一共可以放个小球,故D错误.
故选:C.
4．答案：A
解析：因为直线和直线，
若，则，解得或，
因此，“”是“”的必要不充分条件
故选：A.
5．答案：C
解析：,所以的对称中心为,
直线可化为,所以直线经过定点,
所以点和点关于点对称,
所以
所以,
故选:C
6．答案：A
解析：设动点坐标为,中点坐标为;
易知满足,
可得,因此,
代入可得.
故选:A
7．答案：C
解析：取,的中点分别为D,E,连接,,,
设,因为,所以,所以,
因为,所以,所以,
以为x轴,在平面内过E作的垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
设,所以,,
所以,所以,
所以,又,当且仅当D,E,C共线,且C在之间取等号,
所以a的最小值为1,从而的最小值为2.
故选:C.
8．答案：C
解析：对应椭圆,,所以,
所以该椭圆的长轴为6,短轴为4,焦距为,离心率为;
对于(且),则,
该方程表示的是焦点在x轴上的椭圆,
,所以,
长轴为,短轴为,
所以该椭圆的焦距为,离心率为,
所以两个圆锥曲线的的焦距为,故C正确.
故选:C
9．答案：ACD
解析：对于选项A，因为直线，
即，
令，解得，
则直线恒过定点，故A正确；
对于选项B，因为直线，
即，
令，解得，
所以直线恒过定点，
将点代入圆C可得，
即点在圆C外，
所以直线与圆C不一定相交，故B错误；
对于选项C，联立两直线方程可得，
解得，
消去m可得，
即，故C正确；
对于选项D，设，
因为，且G为中点，所以，
而圆的圆心，半径为2，
则圆心到弦的距离为，
即，
即点G的轨迹方程为，圆心，半径为，
由选项C可知，点P的轨迹方程为，
圆心，半径为，
两圆圆心距为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
10．答案：ABD
解析：由,得椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距,
由P是椭圆上的点,得,而,
对于A,,,A正确;
对于B,离心率为,B正确;
对于C,,得为直角三角形,,
,C错误;
对于D,由选项C知,的外接圆直径为线段,则该圆半径为,面积为,D正确.
故选:ABD
11．答案：ABD
解析：在正方体中,以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,
对于A,,,,
所以,所以E、F、、四点共面,选项A正确.
对于B,,,
设异面直线与所成角为,
因为,所以,,
所以,
即,
则,
所以,选项B正确.
对于C,因为平面与y轴和z轴所确定的平面重合,
故可取平面的一个法向量,
在平面中,,,
设平面的一个法向量,
由得,
令,得,,即
,
观察图形可知,二面角为锐角,所以符合题意,
又因为,
所以二面角的大小不是,选项C错误.
对于D,三棱锥可看作以为顶点,以为底面的锥体,
即,
其中,底面的面积可由正方形的面积减去、和的面积得到,
因为正方体的棱长为2,所以,
又因为E、F分别为棱、的中点,所以
则,
由正方体的性质知,平面,即平面,
即三棱锥的高为2,
,
即三棱锥的体积为1,选项D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：由椭圆的定义可得：，
结合，得，
又，则在中，
，
即，
化简得，
故，
故答案为：
13．答案：
解析：表示、的距离,
表示、的距离,
又关于x轴的对称点,如图,
所以,
所以.
故答案为:
14．答案：或
解析：依题意,当斜率不存在时,直线方程为:,此时原点到直线的距离为2,满足题意,
当斜率存在时,
所以设直线方程为,即,又原点到直线的距离等于2,
所以,解得.
所以直线方程为或.
故答案为:或.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知圆,
即圆心,半径,
则圆心到直线的距离,
所以弦长为,
解得或（舍）;
（2）由（1）得,
则圆,圆心,半径,
则点在圆C外,
当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
此时,解得,
则直线方程为,即;
当切线斜率不存在时,直线方程为,此时满足直线与圆C相切,
综上所述,切线方程为或.
16．答案：（1）（i）证明见解析,
（ii）
（2）
解析：（1）（i）证明:如图建立空间直角坐标系,
设正方形的对角线,相交于O,
由于
则,,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
取时,,
由于,故,
又不在平面内,所以平面;
（ii）平面的一个法向量为,,
设直线与平面所成角为,
则
（2）如图建立空间直角坐标系,,,,,,
,,
设平面的一个法向量为,则有
取时,,
,,
设平面的一个法向量为,
则有
取时,,
由于二面角的大小为60°,故,
即,解得,
又,所以.
17．答案：(1)；
(2)或；
(3)证明见解析
解析：（1）根据题意，，.
设，，则，，
由于，所以，得
将其代入，得，
故点Q的轨迹方程为.
（2）根据垂径定理可得.
①当斜率不存在时，直线m的方程为：，
直线m截点Q轨迹所得弦长弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线，
圆心到直线m的距离为，解得.
直线m的方程为或.
（3）设，则，
直线方程是，令，得，
直线方程是，令得，
所以
.
即为定值.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可得,解得,
因此,椭圆的方程为.
（2）若直线与x轴重合,则,不合乎题意,
设直线的方程为,设点、,
联立可得,
则,所以,,
由韦达定理可得,,
所以,
,解得,
所以,直线的方程为或,即或.
19．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意知双曲线过点,一条渐近线方程为,
则,解得,
故双曲线C的标准方程为;
(2)点P为双曲线右支上一点,设,,,
则
,
当,即时,最小值为,
当,即时,最小值为;
(3)当过点的直线斜率不存在时,方程为,
此时不妨取,,则;
当当过点的直线斜率存在时,设直线方程为,,,
不妨令,,
联立,得,
由于直线过双曲线的右焦点,必有,
直线与双曲线C的右支交于M,N两点,需满足或,
则,,
则
,
综合以上可知为定值.