专题三：正余弦定理与解三角形（7考点十五考法）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学期末专题复习

这是一份专题三：正余弦定理与解三角形（7考点十五考法）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学期末专题复习，共3页。试卷主要包含了在中，角的对边分别为等内容，欢迎下载使用。
考法1：已知两边及其夹角解三角形 PAGEREF _Tc230422225 \h 2
考法2：已知三边解三角形 PAGEREF _Tc230422226 \h 2
考法3：利用余弦定理求边 PAGEREF _Tc230422227 \h 3
考点2：正弦定理 PAGEREF _Tc230422228 \h 4
考法4：已知两角及其夹边解三角形 PAGEREF _Tc230422229 \h 4
考法5：已知两边及其中一边的对角解三角形 PAGEREF _Tc230422230 \h 6
考法6：边角互化 PAGEREF _Tc230422231 \h 7
考点3：三角形面积公式及其应用 PAGEREF _Tc230422232 \h 10
考法7：利用面积公式求三角形面积 PAGEREF _Tc230422233 \h 10
考法8：已知面积条件求边或角 PAGEREF _Tc230422234 \h 12
考点4：判断三角形形状 PAGEREF _Tc230422235 \h 12
考法9：利用正弦定理化边为角判断形状 PAGEREF _Tc230422236 \h 12
考法10：利用余弦定理判断形状 PAGEREF _Tc230422237 \h 13
考点5：判断三角形解的个数 PAGEREF _Tc230422238 \h 15
考法11：判断三角形解的个数 PAGEREF _Tc230422239 \h 15
考点6：解三角形的实际应用 PAGEREF _Tc230422240 \h 17
考法12：测量距离问题 PAGEREF _Tc230422241 \h 17
考法13：测量高度问题 PAGEREF _Tc230422242 \h 20
考点7：正余弦定理范围与最值问题 PAGEREF _Tc230422243 \h 24
考法14：利用基本不等式求范围 PAGEREF _Tc230422244 \h 24
考法15：利用三角函数值域求范围 PAGEREF _Tc230422245 \h 25
注意事项
1. 本专题重点考查正余弦定理的综合应用，注意边角互化时的等价转化，避免增解或漏解.
2. 结合三角形面积公式、几何图形及实际测量问题，考查数学建模与运算求解能力.
3. 求解范围与最值问题时，常结合基本不等式或三角函数的值域进行处理，注意取等条件的验证.
考点1：余弦定理
考法1：已知两边及其夹角解三角形
1.（单选）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由余弦定理得，所以.
故选：A.
【点拨】直接利用余弦定理求出第三边即可，注意公式中符号与系数的准确性.
考法2：已知三边解三角形
2.（解答）在中，内角所对的边分别为满足．（已知）若，，求的周长．
【答案】
【解析】由已知，由正弦定理得，
即.
因为在中，已知，则，.
由已知条件，结合，由正弦定理可得：
.
又因为，，所以.
则.
由正弦定理可得：
.
所以的周长为.
【点拨】求解本题的关键在于利用内角和求出角B，然后借助于正弦定理直接求出各边的边长即可，属于基础求解应用.
考法3：利用余弦定理求边
3.（单选）在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由余弦定理得 ，又 ，所以 .
故选：C.
【点拨】熟悉余弦定理的推论形式并准确代入已知等式进行边角转化，是求角的关键.
4.（单选）在平面四边形中，，，，，当变化时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，由余弦定理可知 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，且 ，作 于点 ，
则 的最小值为 .
故选：D.
【点拨】将向量共线条件转化为几何图形中的平行关系，利用点到直线的距离垂线段最短找出最小值是解题核心.
5.（解答）在中，角，，的对边分别为，，，且．求角；
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理得.
又因为，
代入上式得：，
化简得.
因为在中，，
所以，即.
因为，所以.
【点拨】利用正弦定理将边化为角，再结合三角形内角和定理展开化简，是解决边角混合等式的通法.
考点2：正弦定理
考法4：已知两角及其夹边解三角形
6.（填空）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】在中，由正弦定理可得，
，
即，解得.
【点拨】已知两角及其中一角的对边时，直接利用正弦定理求解.
7.（单选）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形，已知，则（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】因为, 所以 .
在中，,
由正弦定理，得，解得, 则.
由余弦定理，得,
, 解得(负值舍去).
所以.
故选：A.
【点拨】先在局部三角形中利用正弦定理和余弦定理求出对应边长，再根据图形拼合关系求解线段长度.
8.（单选）(改编)在中，角的对边分别为.已知，，. 外接圆的半径为（ ）
A. 6 B. 3 C. D. 9
【答案】B
【解析】在中，由余弦定理得，
所以.
因为，且，所以.
设的外接圆半径为，由正弦定理得，
所以.
故选：B.
【点拨】先通过余弦定理求出第三边，再利用同角三角函数关系求出正弦值，最后套用正弦定理与外接圆半径的关系式求解.
考法5：已知两边及其中一边的对角解三角形
9.（单选）已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】由正弦定理得出 .
因为 ，所以 .
故 或 .
故选：C.
【点拨】利用正弦定理求角时，一定要根据“大边对大角”的原则检验是否会出现两解的情况.
10.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由正弦定理可得，.
因为，所以.
又因为，，显然有，故，
所以角只能是锐角，即.
结合选项可知，可以是，，.
故选：ABC.
【点拨】利用正弦定理将边的限制转化为角的限制，同时务必借助“大边对大角”进一步收缩角的范围.
考法6：边角互化
11.（单选）已知的内角所对的边分别为，若，，则的外接圆的半径为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】设的外接圆半径为，由正弦定理可得，.
因为，且，
所以.
解得，因为，所以.
故选：D.
【点拨】正弦定理不仅可以用于求边角，将其变形形式代入含有边长乘积的等式中，可以建立关于外接圆半径的方程.
12.（单选）已知的内角的对边分别为，设向量，，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以.
由正弦定理可将正弦值化为边长，得，
展开得，即.
由余弦定理可得.
因为，所以.
故选：D.
【点拨】将向量平行的坐标运算转化为代数等式，然后用正弦定理化角为边构造出符合余弦定理的形式.
13.（单选）记的内角，，的对边分别为，，，若，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ，由正弦定理及 得 ，即 .
.
.
因为 ，即 .
所以 ，.
故选：C.
【点拨】边角关系的等式往往先全部化为含有正余弦的式子，再利用两角和与差的公式展开合并，找出角与角之间的关系.
14.（多选）设锐角中，内角所对的边分别为，若，，为外一点，且在直线的异侧，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则，，，四点共圆
C. 四边形面积的最小值为
D. 四边形面积的最小值为
【答案】BD
【解析】由 ，结合正弦定理 得 .
因为是锐角三角形，所以 .
由 且为锐角三角形，得 ，从而 ，是等边三角形.
对于A：若 ，则 ，，故A错误；
对于B：若 ，在中，由余弦定理得 ，因为 ，所以 .
又 ，所以 ，四点共圆，故B正确；
对于CD：四边形ABCD的面积
.
因为 ，所以 .
当 ，即 时，四边形面积取得最大值 .所以D选项正确.
故选：BD.
【点拨】在处理多边形最值问题时，先判定基础三角形的形状，再引入变量（如角D）表达目标函数，利用三角函数的辅助角公式求最值.
15.（多选）在锐角中，角的对边分别为，若的面积为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由正弦定理，得 ，所以 .
因为 ，所以 ，解得 或 .
因为 ，所以 ，，选项 A 正确；
在锐角中，，则 ，
所以 ，选项 B 错误；
.
因为 ，所以 ，所以 (因为C是锐角所以)，选项 C 正确；
因为的面积为 1，即 ，所以 .
所以 ，当且仅当时等号成立，选项 D 正确.
综上，应选 ACD.
【点拨】利用正弦定理进行边角转换时，遇到含有角差的三角函数式可将其与联立求解方程；求边的比例可化为三角函数的关系推导.
考点3：三角形面积公式及其应用
考法7：利用面积公式求三角形面积
16.（单选）在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三角形面积公式可得：
.
故选：C.
【点拨】已知两边及夹角，直接代入三角形面积公式求解即可.
17.（解答）在中，角，，的对边分别为，，，且．若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
【答案】
【解析】由已知，结合正弦定理化简得.
展开并整理可得，
因为，所以，又，故.
因为的外接圆半径，
由正弦定理得.
由余弦定理得，即.
设内切圆半径为，则三角形面积，
所以.
又因为，
解得（当且仅当时取等号）.
由代入的表达式得：
.
因为，所以.
所以内切圆半径的最大值为.
【点拨】将内切圆半径用等面积法表示为关于边长的关系式，再结合余弦定理及基本不等式得出两边和的最大值是求内切圆半径最值的通法.
考法8：已知面积条件求边或角
18.（填空）已知的内角，，的对应边分别为，，．若，，的面积为，则的外接圆的半径为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为，解得.
由余弦定理得，所以.
设的外接圆的半径为，由正弦定理得，所以.
【点拨】由面积求出未知边后，再利用余弦定理求对边，最后套用正弦定理得出外接圆半径.
考点4：判断三角形形状
考法9：利用正弦定理化边为角判断形状
19.（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则的取值范围为
D. 若，且三角形有两解，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A：若，则.因为在上单调递减，所以，故A错误.
对于B：由正弦定理，，所以为等腰三角形.故B正确.
对于C：若，则.因为是三角形内角，所以.所以，所以.故C正确.
对于D：若，，要使三角形有两解，必须满足，即.故D正确.
故选：BCD.
【点拨】边角关系的化简往往需要结合函数的单调性及三角形内角范围作综合判定，尤其在求取值范围时不能忽略隐含条件.
考法10：利用余弦定理判断形状
20.（单选）已知在中，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
【答案】B
【解析】因为在中，，所以.
由余弦定理得.
因为，所以.
由于且，所以为等边三角形.
故选：B.
【点拨】通过已知条件求出一个角的度数，再结合余弦定理将边的限制式化为完全平方式进行判断.
21.（单选）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（ ）
A. 不能作出这样的三角形 B. 能作出一个锐角三角形
C. 能作出一个直角三角形 D. 能作出一个钝角三角形
【答案】D
【解析】设三角形三边为，对应高为，，.
设面积为，因为 ，所以 .
即 ，，.
此时最大边为，且 ，满足构成三角形的条件.
检查最大角的余弦值：
.
所以角为钝角.故此人能作出一个钝角三角形.
故选：D.
【点拨】高之比等于边长之比的倒数，通过设定面积参数快速表示三边长，再利用余弦定理的符号判定最大角的性质.
22.（单选）已知锐角三角形三边长分别为 3，4，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】要使三角形为锐角三角形，必须满足最大角的余弦值大于0.
已知两边为3和4，则最大边可能是4或.
①若4是最大边，即 ，则 .所以 .
②若是最大边，即 ，则 .所以 .
综合上述两种情况，可得 .
故选：C.
【点拨】判断三角形为锐角三角形时，直接利用最长边的平方小于其余两边的平方和即可，需对最长边分类讨论.
23.（解答）在中，角，，对应的边分别为，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，.求角；
【答案】
【解析】由正弦定理将已知化为角：
，
展开整理得：.
因为，所以.
因为在中，，所以.
因为，所以.
【点拨】涉及边与角混合的等式时，用正弦定理将边化角，再利用诱导公式和和差角公式化简即可.
考点5：判断三角形解的个数
考法11：判断三角形解的个数
24.（单选）在中，，则这个三角形有（ ）
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 无法确定
【答案】A
【解析】由正弦定理得.
因为，所以，且已知是锐角，所以只能是锐角.
由于锐角唯一确定，所以这个三角形只有一解.
故选：A.
【点拨】大边对大角是排除三角形多解的有力工具，已知两边和一角时要始终留意这一基本原则.
25.（多选）在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】CD
【解析】对于A，，则为锐角，.此时.由于，显然，无解.
对于B，，则为锐角，.此时.由于，有一解.
对于C，，.此时.由于（即 ），有两解.
对于D，，.此时.由于（即 ），有两解.
故选：CD.
【点拨】判断解的个数时，优先计算的值，根据与、的大小关系进行判定.
26.（解答）记的内角的对边分别为,已知.若此三角形有两个解，求的取值范围；
【答案】
【解析】已知，若此三角形有两个解，则必须满足.
代入已知条件得：，即.
解得： 且 .
所以的取值范围为.
【点拨】熟记已知两边一角判定三角形解个数的代数条件并建立不等式组即可.
考点6：解三角形的实际应用
考法12：测量距离问题
27.（填空）如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则＿＿＿＿＿＿米.
【答案】
【解析】由俯角的概念和几何关系可知，两点到无人机水平投影点的距离分别为和.
由于，且位于同一铅垂平面内同侧，
所以两点之间的距离.
【点拨】将俯角转换为直角三角形中的锐角，利用三角函数定义直接求出水平距离再相减.
28.（单选）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，构建了如图所示的几何模型，该模型中均与平面垂直.现已测得可直接到达的两点间距离，用测角仪测得，且在点处测得点的仰角分别为，则两点之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意 平面 ，在 中，因为，所以 .
同理， 平面 ，在 中，因为，所以 .
在 中，由余弦定理：.
因为 面 ， 面 ，所以 ，且 四点共面构成直角梯形.
作 于 ，则 ，.
在直角 中，.
故选：B.
【点拨】将空间距离问题投影到两个相交的平面上分别使用解三角形和平面几何的勾股定理处理.
29.（单选）如图，为了测量河对面，两建筑物之间的距离，小胡同学在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶米至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两建筑物之间的距离为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】建立以为原点，正东方向为轴，正北方向为轴的直角坐标系，则.
对于点：在的北偏东，即；在的正北方向，即.
所以在 中，，.
对于点：在的北偏西，即；在的北偏西，即.
在 中，.
由正弦定理得.
在 中，，
由余弦定理得
.
解得.
故选：D.
【点拨】利用方位角的定义将其转化为三角形的内角，在不同三角形中接力使用正弦定理和余弦定理求出最终线段.
30.（解答）如图，在 △ABC 中，已知 AB=6，AC=9，∠BAC=60∘，BM=λBC(0≤λ≤1)，点 N 为 AC 边的中点，AM、BN 相交于点 P．
求 |BN|.
【答案】 3132
【解析】∵ 点 N 为 AC 边的中点，∴ AN=12AC
则 BN=AN−AB=12AC−AB
|BN|2=12AC−AB2=14|AC|2−|AC||AB|cs∠BAC+|AB|2
已知 AB=6，AC=9，∠BAC=60∘ 代入上式可得：
|BN|2=14×92−9×6cs60∘+62=1174
∴
|BN|=1174=3132
【点拨】求平面向量的模长时，常用的基本方法是将其转化为求向量的平方。通过选定一组不共线的向量作为基底（本题中以 AB 和 AC 为基底），将目标向量用基底线性表示，再利用基底的模长及夹角进行数量积运算，最后开方即可求得结果。
考法13：测量高度问题
31.（单选）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D．现测得，，，在点 C 测得塔顶 A 的仰角为，则塔高为（ ）．
A. 25m B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，.
由正弦定理得：，即.
在直角中，，且测得塔顶 A 的仰角为，
所以塔高 .
故选：C.
【点拨】立体几何中的高度测量，常需先在水平面利用正弦定理求出底面两点间距离，再在竖直直角三角形中利用仰角求解.
32.（单选）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为 20 米，且在处无人机测得点的仰角为，点 B，C，N 在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ）
A. B. C. D. 40
【答案】D
【解析】在直角中，，无人机高度，则.
由题意，，且三点共线，可得.
过A作水平线交MN于D，由在A处测得点M的仰角为，即，又视线AC的俯角为，所以.
在中，，，所以.
由正弦定理得，解得.
在直角中，建筑的高度.
故选：D.
【点拨】将仰角与水平方向的关系转化为几何截面中的内角关系，结合正弦定理求出斜边长再化入直角三角形求解.
33.（单选）如图，某人在水平地面上的点 O 处观测垂直水平面的墙面 ABC 上的动点 P，观测点 O 到墙面的距离 OA=12m，墙角处点 B 到点 A 的距离 BA=16m，墙面上，当动点 P沿射线 BC 在墙面上移动时，仰角(直线 OP 与水平面所成的角)正切值的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， 水平面上的墙基线 ，，且 ，.
设动点 在射线 上的位移为 .
因为墙面垂直于水平面，且在墙面上 ，则 到水平地面（即到 ）的距离（高度）为 .
在地面上的投影点 位于射线 上，其距离 .
那么 到 的距离为 .
在直角 中，由于 ，所以 .
仰角 的正切值为 .
考虑其平方：.
设 ()，则分母变为 .
当 时，分母取得最小值 .
此时 取得最大值 .
所以仰角 正切值的最大值为 .
故选：A.
【点拨】此类极值问题核心是合理引入参数，利用空间垂直关系构建目标函数后借助换元法和二次函数求最值.
考点7：正余弦定理范围与最值问题
考法14：利用基本不等式求范围
34.（填空）在中，是边上一点，且，，则＿＿＿＿＿＿；若，则的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】；
【解析】第一空：设，则.
在中，由余弦定理得.
所以.
第二空：由上可知，所以是直角三角形，且，.
设.在中，，.
由余弦定理得，即.
由基本不等式可得，，即（当且仅当时取等号）.
的面积.
所以的面积的最大值为.
【点拨】在求三角形面积最值时，通常利用已知边长条件列出余弦定理关系式，再结合基本不等式进行缩放求极值.
考法15：利用三角函数值域求范围
35.（单选）记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知，将其改写为.
因为均为内角，故必须有，即，从而.
所以.
所以.
化简分子：.
因此.
因为，且，所以，从而.
代入可得.
故选：B.
【点拨】将等式右侧利用万能公式或半角公式转化成标准的正切形式并解出角度之间的关系，再用正弦定理齐次化求值域.
36.（填空）如图，在平面四边形中，已知，，，，则的最大值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】设绕点顺时针旋转并放大倍，该变换记作.
因为，，在变换下，向量映射为.
设点在变换下的像为，则向量映射为，且有以及.
所以.
同时，在变换下映射为，其长度改变为原来的倍，即.
在中，由三角形三边关系可得，
即（当三点共线时取等号）.
所以的最大值为.
【点拨】从固定的边角比例中发现几何变换（旋转并缩放），构造出封闭多边形的边长关系，利用三角形不等式求最值，是求解平面几何极值的一种极为巧妙的方法.
37.（解答）已知中，角所对的边分别为，点在线段上，，，线段交于点.（注：分别表示的面积）若，求的最大值.
【答案】
【解析】由已知条件可知，即为的中点.
设为的中点，则.
又因为，即，所以.
由于，可知三点共线.此交点恰为所设的点.
因此为的中点，则，且.
由题意，.
因为，且，
由余弦定理.
由于，则.
代入上式得：.结合的表达式易得.
设，则.
设目标式，则.
变形得到：.
当时，；
当时，因为此方程有实数解，所以.
化简得，解得.
所以.
因此的最大值为.
【点拨】先借助向量共线定理推导出P点位置从而验证条件的完备性，再将面积条件转化为同内角余切和的形式，应用判别式法求二次分式函数极值.1
2
3
4
5
A
C
D
6
7
8
9
10
A
B
C
ABC
11
12
13
14
15
D
D
C
BD
ACD
16
17
18
19
20
C
BCD
B
21
22
23
24
25
D
C
A
CD
26
27
28
29
30
B
D
31
32
33
34
35
C
D
A
；
B
36
37