专题06 正、余弦定理解三角形-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

一、知识框架

二、 知识概念

（一）正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==.

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）

变形：①

           ②角化边

     ③边化角

（二） 余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

a2=b2+c2－2bccosA；   ①

b2=c2+a2－2cacosB；   ②

c2=a2+b2－2abcosC.   ③

在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.

由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得

cosA=；      cosB=；      cosC=.

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

    （3）在ABC中，

      若，则角是直角；

      若，则角是钝角；

 若，则角是锐角．

（三） 三角形中的公式变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换

因为在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；

（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

面积公式：  其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。

（四）解斜三角形的常规思维方法

（1）已知两角和一边（如），由求，由正弦定理求；

（2）已知两边和夹角（如），应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况；

也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.

(五) 射影定理

在任意三角形 中, 设 的对边分别为 a, b, c，则有

（六）张角定理

在 中, 是 BC 上的一点,连结 AD.

那么

考向1 利用正弦、余弦定理解三角形

【例1】在中，，，，则　　

变式训练

【变1-1】在中，，，，则　　

A． B． C． D．

【变1-2】的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　

A．6 B．5 C．4 D．3

【变1-3】记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．

【变1-4】．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解，若有解，求出的值；若无解，请说明理由．

在中，已知道，，分别是角，，的对边，且满足，．

考向2 判断三角形的形状

【例2】在中，、、分别为角、、的对边），则的形状为　　

A．直角三角形 B．等边三角形 

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

变式训练

【变2-1】．（多选）下列命题中，正确的是　　

A．在中，，则 

B．在锐角中，不等式恒成立 

C．在中，若，则必是等腰直角三角形 

D．在中，若，，则必是等边三角形

【变2-2】．已知向量，，，

（1）求函数的最小正周期及取得最大值时对应的的值；

（2）在锐角三角形中，角、、的对边为、、，若，求三角形面积的最大值并说明此时该三角形的形状．

【变2-3】在中，角，，所对的边长为，，，，．

（Ⅰ）若，求的面积；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

考向3 三角形面积有关计算问题

【例3】的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为________.

变式训练

【变3-1】．（多选）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是　　

A．周长为 

B．三个内角，，满足关系 

C．外接圆半径为 

D．中线的长为

【变3-2】在中，、、的对边分别为、、，且，

则的面积为　　．

【变3-3】在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为　　．

【变3-4】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 　　．

【变3-5】的内角、、的对边分别为，，．已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

考向4 平面几何中的解三角形问题

【例4】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则　　．

变式训练

【变4-1】如图，在平面四边形中，，，，的面积为，

（1）求的值；

（2）若，求的长

【变4-2】如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．

（1）求线段的长；

（2）求的面积．

【变4-3】如图，在四边形中，，，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

考向5 射影定理在三角形中的应用

【例5】．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B＝____

A． B． C． D．

变式训练

【变5-1】．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，已知a＝2，则bcosC+ccosB等于（　　）

A．1 B． C．4 D．2

【变5-2】．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝bcosC且c＝6，A＝，则△ABC的面积（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【变5-3】△ABC中角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a＝bcosC+csinB，b＝2，则△ABC面积的面积的最大值为______.

考向6 张角定理在三角形中的应用

【例6】．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足为∠BAC的角平分线，且，则b＝　　．

变式训练

【变6-1】．如图，在同一个平面内，向量，，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若＝m+n（m，n∈R），则m+n＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变6-2】．已知在△ABC中，，AB＝1，角A的平分线，则AC＝（　　）

A． B． C． D．

【变6-3】．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则2a+c的最小值为　   　．

1．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于（　　）

A． B． C． D．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝（　　）

A． B． C． D．

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

（多选）4．某人向正东方向走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好，则x的值为（　　）

A． B．2 C．2 D．3

（多选）5．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（　　）

A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形 

B．若△ABC为锐角三角形，有，则sinA＞cosB 

C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个 

D．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＝60°，则c＝　3　，sinB+sinC＝　 　．

7．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为　   　．

8．在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC的面积S的最大值为　  　．

9．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝，则BD的长为　   　．

10．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝　  　．

11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA＝0．

（1）求角A的大小；

（2）若，b＝2，求△ABC的面积S．

12．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

14．如图，在△ABC中，角A．B、C所对的边分别为a、b、c，bcosA﹣asinB＝0．

（1）求∠BAC：

（2）若AB⊥AD，AC＝2，CD＝，求AD的长．

15．如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．

（I）若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；

（Ⅱ）若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．

16．在①（a﹣c）（sinA+sinC）＝b（sinA﹣sinB），②2ccosC＝acosB+bcos A，③△ABC的面积为c（asinA+bsinB﹣csinC）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．

（1）求角C；

（2）若D为AB的中点，且c＝2，CD＝，求a，b的值．

17．在①，②2bsinA＝atanB，③（a﹣c）sinA+csin（A+B）＝bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，然后解答补充完整的题目．

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______．

（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）若a+c＝4，且△ABC的面积为，求b的值．