专题04 正余弦定理解三角形（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题04 正余弦定理解三角形

知识点1  余弦定理

1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

【注意】余弦定理的特点

（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．

（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．

3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝

4、余弦定理在解三角形中的应用

（1）类型1：已知两边及一角，解三角形

方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：

一是利用余弦定理的推论求出其余角；

二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；

（2）类型2：已知三边解三角形

法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一

法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解

知识点2  正弦定理

1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.

【注意】正弦定理的特点

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．

2、推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为

①，

②，

③，，，

④，

⑤，，（实现边和角的互相转化）

3、正弦定理解决的两类问题

类型1：已知两角及一边解三角形

方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；

（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；

（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论

类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

当为锐角时：

当为钝角时

知识点3  三角形面积公式

在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。

（1）

（2）

知识点4  三角形形状的判断

1、利用余弦定理判断三角形

（1）为直角三角形或或

（2）为锐角三角形，且，且

（3）为钝角三角形，且，且

（4）若，则或

2、利用正弦定理判断三角形

法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝

法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC

考点1   余弦定理解三角形

【例1】（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）已知在中，，，，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-1】（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则此三角形中的最大角的大小为（    ）

A．        B．        C．92°        D．135°

【变式1-2】（2022春·江苏盐城·高一校考期中）（多选）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=3，则a的可能取值为（    ）

A．4        B．5        C．        D．

【变式1-3】（2023·江苏·高一专题练习）（1）在中，已知，求的值；

（2）在中，已知，解这个三角形．

考点2   正弦定理解三角形

【例2】（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）已知的三个内角的对边分别为，若，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式2-1】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）在中,已知, , ,则角的度数为（    ）

A．        B．        C．或        D．

【变式2-2】（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）中，若，，则_________

【变式2-3】（2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______.

考点3   三角形解的个数判断

【例3】（2023春·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，若，则此三角形（    ）

A．无解        B．有两解        C．有一解        D．解的个数不确定

【变式3-1】（2023·高一课时练习）（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（    ）

A．，，；        B．，，；

C．，，；        D．，，.

【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______．

【变式3-3】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（    ）

A．4        B．5        C．7        D．10

考点4   正余弦定理边角互化

【例4】（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-1】（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.

【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知的内角所对的边分别为，，则角______.

【变式4-3】（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，D是线段AC上的一点，，，求.

【变式4-4】2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，求的大小．

考点5   三角形的面积问题

【例5】（2023春·云南·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为______.

【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．

【变式5-2】（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．

（1）求角B的大小；

（2）若，，求的面积．

【变式5-3】（2022春·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）若，求△ABC的面积．

【变式5-4】（2023春·贵州黔西·高一校考阶段练习）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，△ABC的面积为，求的值．

考点6  多边形的形状问题

【例6】（2023春·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ）

A．等腰三角形            B．直角三角形

C．等腰直角三角形        D．等腰或直角三角形

【变式6-1】（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ）

A．直角三角形        B．等腰非等边三角形        C．等边三角形        D．钝角三角形

【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ）

A．等腰且非等边三角形        B．直角三角形

C．等边三角形                D．等腰直角三角形

【变式6-3】（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（    ）

A．A．若，则为锐角三角形

B．若为锐角三角形，则

C．若，则为等腰三角形

D．若，则是等腰三角形

【变式6-4】（2023春·上海松江·高一上海市松江一中校考阶段练习）在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是__________．

1．（2023春·江苏镇江·高一镇江中学校考阶段练习）在△ABC中，已知，则（    ）

A．        B．        C．        D．

2．（2021春·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（    ）

A．        B．1        C．        D．

3．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ）

A．4        B．6        C．        D．

4．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边c长为（    ）．

A．        B．        C．或        D．或

5．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若，，，则（    ）

A．9        B．8        C．5        D．4

6．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有一解，则a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

7．（2023春·浙江温州·高一校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若A：B：C=3:2:1，则a:b:c=（    ）

A．1:2:3        B．3:2:1        C．1::2        D．2::1

8．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则是（    ）

A．锐角三角形        B．直角三角形        C．钝角三角形        D．等腰直角三角形

9．（2023·全国·高一专题练习）（多选）一个锐角三角形的三边长为，，，则，，的值可能为（    ）

A．，，        B．，，

C．，，        D．，，

10．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）（多选）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ）

A．        B．a>c        C．c>a        D．

11．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）（多选）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是钝角三角形

B．若，则

C．若，则是锐角三角形

D．若，，，则只有一解

12．（2023春·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．的面积为

13．（2022春·江苏盐城·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则=___________.

14．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中学校考阶段练习）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则三角形外接圆半径为_____________．

15．（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为________．

16．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______.

17．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求B；        （2）若，且，证明：．

18．（2023春·全国·高一专题练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，的面积．

（1）求C；      （2）求的值．

19．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为．已知．

（1）求的值；        （2）求的值

20．（2023·全国·高一专题练习）在中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的大小；        （2）和的值．

条件①：；条件②：．