河南省郑州市郑东新区春华学校八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州市郑东新区春华学校八年级下学期第一次月考数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】x－1＜0的解集为x＜1，
它在数轴上表示如图所示，
故选B．
2. 已知，中，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B. C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、直角三角形，故此选项不符合题意；
D、不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3. 如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可；
【详解】解：∵，，
∴当时，．
当时，．
故选D．
4. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有25道题，对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣1分，则至少答对多少题，得分才不低于85分？设答对x题，可列不等式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】答对x道，打错或未答（25-x）道，根据题意，得，判断即可．
【详解】∵答对x道，打错或未答（25-x）道，
根据题意，得，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的应用是解题的关键．
5. 直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（ ）

A. x＜﹣1B. x＞﹣1C. x＞2D. x＜2
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由图象可以知道，当x=﹣1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＜k1x+b解集．
详解：两条直线的交点坐标为（﹣1，2），且当x＞﹣1时，直线l2在直线l1的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＞﹣1．
故选B．
点睛：本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
6. 用反证法证明“若，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A. a，b都小于0B. a，b不都小于0
C. a，b都不小于0D. a，b都大于0
【答案】A
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：“若，则a，b至少有一个不小于0．”
第一步应假设：a，b都小于0．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7. 已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. a＜1B. a＞1C. a＜0D. a＞0
【答案】A
【解析】
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
8. 如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵点E为边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9. 如图，在中，，以为圆心、任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心、大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下列说法：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④点是线段的中点．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图——基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质定理的逆定理等．利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；根据直角三角形中斜边长大于直角边长可得，可对④进行判断．
【详解】解：由作图可知是的平分线，故①正确；
中，，
，
，
，故②正确；
，
，
点在的垂直平分线上，故③正确；
中，，
，
点是不是线段的中点，故④错误，
综上可知，正确的有①②③，共3个，
故选C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D.
【答案】B
【解析】
【分析】分情况讨论，当点P在第一象限内时，将绕着点P顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质求得的最大值为5，当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5．
【详解】解：如图，当点P在第一象限内时,将绕着P点顺时针旋转，得，连接,则,，,
∴是等边三角形，
∴，可得当D在延长线上时，最长，此时点D与O重合，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，，，
∴
∴线段的最大值为5；
当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5
所以最大值是5
故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键，解题时注意分类思想的运用．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. “等边对等角”的逆命题是________________________________．
【答案】等角对等边
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为：等角对等边．
12. 如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．根据平分平分，且，可得出，进而可得出结论．
【详解】解：平分平分，
，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：30．
13. 如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，若，则的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得，由作图知于点E，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由作图知于点E，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图及等腰三角形的性质、勾股定理．
14. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】当△为直角三角形时，需要分类讨论，点，，分别为直角顶点时，画出图形求解即可．
【详解】解：在中，，，，点是的中点，
，，，
由折叠可知，，
∴
①由点运动可知点不可能是直角顶点；
②如图，当点为直角顶点，即，
，
，，
，，
；
③如图，当点是直角顶点时，即，连接，
在△中，
∴△，
，
故答案为：或4．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共75分）
16. 以下为小雨在解不等式组时草稿纸上演草的过程：
① ②




（1）小雨同桌发现小雨这道题解的不对，请指出是解不等式______（填序号）时出现错误：
（2）请完成本题的解答：
解：解不等式①，得______，
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组的解集为______．
【答案】（1）② （2），，数轴见解析，
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组解集，熟练掌握一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式组的方法即可判断；
（2）根据解一元一次不等式组的方法即可得出答案．
【小问1详解】
去分母时，左右两边同时乘3，右边的1漏乘3
故解不等式②时出现错误
故答案为：②
【小问2详解】
解不等式①，得
解不等式②，得
把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组的解集为．
故答案为：，．
17. 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：如图，直线及直线外一点P．
求作：直线的垂线，使它经过点P．
作法：
①以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A，B两点：
②连接和；
③作的角平分线，交直线l于点Q；
④作直线．
∴直线就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图（保留作图痕迹）；
（2）写出证明过程和依据．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图——复杂作图，作垂线，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质即可证明．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
证明：∵，平分．
∴（等腰三角形，三线合一），
即．
18. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，求的周长．
【答案】11
【解析】
【分析】根据非负数的性质得到、的值；再由不等式组的解集求出的值，进而求出三角形的周长．
【详解】解：∵
，，
，．
由不等式组的解得，
是不等式组的最大整数解，
．
的周长为．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
19. 如图，有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，判断两滑梯倾斜角和之间的数量关系？请说明理由．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【详解】解：，证明如下：
由题意可得：与均是直角三角形，且．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
20. 【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；
若，则；
若，则．
反之也成立．
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．
【理解】（1）若，则______（填“”、“”或“”）
【运用】（2）若，，试比较，的大小．
【拓展】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板．方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题干信息得出答案即可；
（2）用作差法比较，的大小即可；
（3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可．
【详解】解：（1）若，则，因此；
故答案为：；
（2）∵
，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，
∵
，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．
21. 如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F．
（1）求证：OD=OC；
（2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OE=4EF．
【解析】
【分析】（1）证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可，（2）通过上一问得OD=OC，ED=EC即可证明，（3）根据30°角所对直角边是斜边一半即可得到关系．
【详解】证明：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC；
（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，ED=EC，
∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上，
∴OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）OE=4EF．
∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【点睛】本题考查了特殊的直角三角形，三角形全等的判定，垂直平分线等知识，综合性强，中等难度．读图能力是解题关键．
22. 年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
（1）求，两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元
（2）种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元
【解析】
【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数性质即可求解．
【小问1详解】
解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得，
，
解得：，
答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；
【小问2详解】
解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意，
解得：，
设总费用为元，根据题意，
∵，随的增大而增大，
∴当时，最小，
∴最少总费用为（元）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
23. 已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图（1），当点E为的中点时，确定线段与的大小关系： （填“>”“