河南省郑州市惠济区郑州惠济外国语中学八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州市惠济区郑州惠济外国语中学八年级下学期第一次月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：不等式有：，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
2. 已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．
【详解】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴；故C成立，不符合题意；
D、∵，，
∴，故D不成立，符合题意；
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3. 不等式和的解集在数轴上表示都正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由，得，
由，得，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示如下：
故选：D．
4. 给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③若，则；④正数的绝对值是它本身，它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查判断逆命题的真假，先写出原命题的逆命题，再判断真假，即可；掌握平行线的性质，全等三角形的判定，不等式的性质，绝对值的意义，是解题的关键．
【详解】解：①的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②的逆命题为：周长相等的两个三角形全等；是假命题；
③逆命题为：若，则；是假命题；
④的逆命题为：绝对值是它本身的数是正数；是假命题；
故选A．
5. 如图，在中，，是高，，，则长为（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，，从而可得解．
【详解】解：是高，，
，
，
．
故选：C
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6. 一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．
7. 如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出．
【详解】解：连接AP，延长BP交AC于D，
，
∵点P是，的垂直平分线的交点，
，
，，，
故选：A．
8. 如图，直线 和分别与x轴交于点A，点B，则不等式组的解集为（ ）．
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集．根据图象求解即可．
【详解】解：解：∵直线 和分别与x轴交于点A，点B，
∴的解集为，
故选B．
9. 如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，，则的长是（ ）
A. 4B. 2.5C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟知相关知识是解题的关键．根据角平分线和平行线的性质证明，则，同理可证，即可得到．
详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
故选：C．
10. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点F，若，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了角平分线定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先求出，进而利用勾股定理即可得出，进而求出即可．
【详解】解：如图， 过点作于，
∵，是分别是和的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得， ，
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 用反证法证明“若，则”是真命题，第一步应先假设___________________．
【答案】a2≥4
【解析】
【分析】直接利用反证法的步骤，即可得出答案．
【详解】解：用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4．”是真命题时，第一步应先假设：a2≥4．
故答案为：a2≥4．
【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12. 若关于x的不等式的解都是关于x的不等式的解，则a的范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，先求出两个不等式的解集，根据题意，列出的不等式，求解即可．
【详解】解：∵，
解得：；
∵，
解得：，
∵关于x的不等式的解都是关于x的不等式的解，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 如图，在中，平分，，，若的面积为7，则点D到的距离为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，设点到的距离为，根据三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：设点到的距离为，
∵平分，
∴点到的距离也为，
由题意，得：，
解得：；
故答案为：2．
14. 如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．则的度数是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，中垂线的性质．连接，根据中垂线的性质得到，，即可得到；利用等边对等角，求出的度数，三线合一，求出的度数，等边对等角得到的度数，利用，即可得解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，是边上的高，
∴，，
∴为的垂直平分线，
∵点在上，
∴，
又∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∴；
∴，
∴．
故答案为；.
15. 如图，在直角坐标系中，点，点，若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值______．
【答案】1或或7
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作轴于点D，作轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G，

∵点，点，
∴，由勾股定理得：
∴在直角三角形中，，
∴，、
此时；
当点P运动到点F或点H时，，，
∴，
∴（cm）或（cm），
∴或
故答案为：1或或7．
三、解答题（共75分）
16. 下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：填空：
（1）以上运算步骤中，第①步去分母的依据是______；
（2）第③步移项的依据是______；
（3）第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：（4）请写出正确的解答过程，并将解集表示在数轴上．
【答案】（1）不等式的性质（2）不等式的性质（3）①，常数2没有乘最小公倍数（4），图见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
（1）根据不等式的性质，进行作答即可；
（2）根据不等式的性质，进行作答即可；
（3）根据去分母的法则，判断即可；
（4）根据解不等式的步骤进行求解，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）去分母的依据是不等式的性质；
故答案为：不等式的性质；
（2）移项的依据为：不等式的性质；
故答案为：不等式的性质；
（3）第①步去分母时，常数2没有乘最小公倍数，出现错误；
故答案为：①，常数项2没有乘最小公倍数；
（4）去分母得，
去括号得
移项得
合并同类项得
两边都除以3，得；
数轴上表示解集如图：

17. 若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据不等式组的解集情况，求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：由得：，
∵关于x的不等式组只有4个整数解，
∴，整数解为：，
∴，
∴．
18. 如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接，交于点F，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，则的长为______．
【答案】（1）等边三角形，理由见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）先证明为等边三角形，进而得到，结合平行线的性质，推出时等边三角形即可；
（2）连接交于点，易得垂直平分，三线合一，结合平行线的性质，推出，进而求出的长，等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可．
【小问1详解】
解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
连接交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：2．
19. 如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线表示直路，而表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置．
（用尺规作图，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】
【分析】设交于点E，连接，作出的平分线，再作出线段的垂直平分线，与相交的点即为所求作的点P．
【详解】解：如图，点P即为所求．

理由：设交于点E，连接，
根据作法得：平分，垂直平分线段，
∴点P到两边的距离相等，点P到线段的两端的距离相等，
即点P到的距离相等，点P到点B，C的距离相等．
【点睛】此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练堂握利用直尺和圆规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，理解角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
20. 已知关于x、y的方程组．
（1）若此方程组的解满足，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【答案】（1）
（2）、0
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；
（2）结合（1），由为整数，可得的值．
【小问1详解】
，
①②得：，
，
，
，
解得；
【小问2详解】
关于的不等式的解集为，
，
，
，
，
满足条件的的整数值是、0．
21. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？
【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【解析】
【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得：
，
解得：．
答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨．
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得：
100m+80（20-m）≥1800，
解得：m≥10．
设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40，
∵k=1＞0，
∴w随m增大而增大，
∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元），
此时20-m=10．
所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键．
22. [问题初探】
（1）如图1，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．则线段，，数量关系是______．
【类比分析】
（2）如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．证明：．
【学以致用】
（3）如图3，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，则的面积为______．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质、定理是解题的关键．
（1）在上截取，连接．先证可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（2）如图:在上截取，连接；先说明为等腰直角三角形可得，再证明可得，再说明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（3）如图：过A作于H，先说明，根据等角对等边可得；再证明可得，进而得到，，最后根据三角形面积公式即可解答．
【详解】解：（1）如图：在上截取，连接．

，
，
又，
，
．
，
,
．
故答案为：；
（2）证明：如图:在上截取，连接，

为等边三角形，
，即为等腰直角三角形，
∴，
，，．
又，
，
．
是边上的中线，
平分，
，
∴是等边三角形，
．
（3）如图：过A作于H

，
，
，
于E,
，
,
．
于，
，
，
，
又，
，
．
，
又，
，
．
，
，
．
解：去分母得…第①步
去括号得…第②步
移项得…第③步
合并同类项得…第④步
两边都除以3，得…第⑤步