河南省郑州市第九十六中学八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

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一．选择题（每题3分，共10小题，满分30分）
1. 在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A. 5个B. 4个C. 3个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等式．据此逐个判定即可．
【详解】解：①，是不等式，符合题意；
②，是不等式，符合题意；
③，是等式，不符合题意；
④，不是不等式，不符合题意；
⑤，不是不等式，不符合题意；
⑥，是不等式，不符合题意；
综上：①②⑥是不等式，共3个，
故选：C．
2. 最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，，
，即是的高线，
是等腰三角形，，
是的角平分线，故A选项不符合题意；
B、是等腰三角形，，
是的角平分线，故B选项不符合题意；
C、若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意；
D、，
，
∴是的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C．
3. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，，
∴，
∴，
∴线段的长为，
故选：B．
4. 三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A. 三条角平分线的交点
B. 三边中线的交点
C. 三边上高所在直线的交点
D. 三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线性质，根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，即可解题．
【详解】解：三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
5. 用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A. 直角三角形的每个锐角都小于45°
B. 直角三角形有一个锐角大于45°
C. 直角三角形的每个锐角都大于45°
D. 直角三角形有一个锐角小于45°
【答案】A
【解析】
【分析】找出原命题的方面即可得出假设的条件．
【详解】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，
故选A．
【点睛】本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键．
6. 在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形外角性质得到∠B＝∠BCD，利用等腰三角形的判定得到DB＝DC，然后根据线段垂直平分线的作法对各选项进行判断．
【详解】解：∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∠ADC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D为BC的垂直平分线与AB的交点．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7. 已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，然后取x的负整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值．
【详解】解：解不等式得，
故满足不等式的负整数解为，
将代入方程，得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程得出关于a的方程是关键．
8. 如图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形，若，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
过点B作与点D，
∵，
∴，
则，
解得：，
即点到的距离为，
故选：B．
9. 在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 方程 的解是
C. 当时，D. 不等式 的解集是
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数的图象可知，
当时，，A选项错误，不符合题意；
方程 的解是，B选项错误，不符合题意；
当时，，故C正确，符合题意；
不等式 的解集是，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10. 如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为点B，点P是射线上一动点，点M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形得到，作点N关于直线对称点G，过G作于M，交于P，则此时，的值最小，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
作点N关于直线的对称点G，则：，
∴当三点共线时，的值最小，
过G作于M，交于P，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．掌握轴对称的性质和垂线段最短，添加辅助线，是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共5小题，满分15分）
11. 在中，已知的度数之比是，求________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和，含30度角直角三角形的特征，勾股定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．先求出的度数，则，得出，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵的度数之比是，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：．
12. 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
【答案】32
【解析】
【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
13. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_____°．
【答案】42或138
【解析】
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°＝138°；
②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣48°＝42°．
故答案为：42或138．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于的不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据函数图象得出结论即可．
【详解】函数和的图象交于点，
根据函数的图象可知：
当时，的图象都在的图象上方，
关于的不等式的解集为：．
故答案为：x≤−4．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
15. 如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点，连接、、、，有如下结论： ①； ②； ③平分；④.其中正确的结论有_____（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质、等面积法等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
根据轴对称的性质可得，再结合即可判定①；由轴对称的性质可得，进而得到可判定②；由全等三角形的面积相等以及等边等高可得点A到两边的距离相等，然后根据角平分线的定义可判定③．说明即可判定④．
【详解】∵和是的轴对称图形，
∴，
∴故①正确；
∴，
由轴对称的性质可得:，
又∵，
∴，故②正确；
∵
∴，
∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等，
∴平分，故③正确；
在和中，，
∵
∴，故④错误．
故答案为①②③．
三．解答题（共七道大题，满分75分）
16. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．
（1）
（2）
【答案】（1），数轴见解析
（2），数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质。
（1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可。
【小问1详解】
解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得，
在数轴上表示如图所示：
【小问2详解】
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得，
在数轴上表示如图所示：
17. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40°
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法．
18. 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）AG＝3DG，见解析
【解析】
【分析】（1）根据AD为△ABC的角平分线，得到DE⊥AB，DF⊥AC，得到DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，得到∠DEF＝∠DFE，得到∠AEF＝∠AFE，得到AE＝AF推出点A、D都在EF的垂直平分线上，推出AD垂直平分EF．
（2）AG＝3DG．理由：根据∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，得到∠EAD＝30°，推出AD＝2DE，∠EDA＝60°，根据AD⊥EF，得到∠EGD＝90°，推出∠DEG＝30°推出DE＝2DG，推出AD＝4DG，推出AG＝3DG．
【小问1详解】
证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．
小问2详解】
AG＝3DG．理由：
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE，∠EDA＝60°，
∵AD⊥EF，
∴∠EGD＝90°，
∴∠DEG＝30°
∴DE＝2DG，
∴AD＝4DG，
∴AG＝3DG．
【点睛】本题主要考查了角平分线，线段的垂直平分线，含30度角的直角三角形，解决问题的关键是熟练运用角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，含30°角的直角三角形的三边关系．
19. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x－1＜0，②x≤2，③x－（3x－1）＜－5中，不等式x≥2的“云不等式”是 _________ ；（填序号）
（2）若关于x的不等式x＋2m≥0不是2x－3＜x＋m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“云不等式”，求a的取值范围．
【答案】（1）②③；（2）m≤-1；（3）a＜-1或-1＜a＜4
【解析】
【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥-2m，解不等式2x-3＜x+m得x＜m+3，再根据云不等式的定义可得-2m＞m+3，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．
【详解】解：（1）不等式不等式2x-1＜0和x≥2没有公共解，故①不是不等式x≥2的“云不等式”；
不等式不等式x≤2和x≥2有公共解，故②是不等式x≥2的“云不等式”；
不等式不等式x-（3x-1）＜-5和x≥2有公共解，故③是不等式x≥2的“云不等式”；
故答案为：②③；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥-2m，
解不等式2x-3＜x+m得x＜m+3，
∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3＜x+m的“云不等式”，
∴-2m≥m+3，
解得m≤-1，
故m的取值范围是m≤-1；
（3）解不等式x＋3≥a，得到x≥a-3；解不等式ax－1＜a－x，得到（1+a）x＜a+1
①当a+1＞0时，即a＞-1时，依题意有a-3＜1，即a＜4，故-1＜a＜4；
②当a+1＜0时，即a＜-1时，始终符合题意，故a＜-1；
综上，a的取值范围为a＜-1或-1＜a＜4．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20. 洛邑古城是洛阳文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元/件、80元/件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下：
甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠；
乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件部分可按得以原价的五折进行优惠；
设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元．
（1）请分别求出关于函数关系式；
（2）若该旅行团租用30件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？
【答案】（1），
（2）两家汉服体验店总租金一样便宜
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，根据题意求出一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题目所给的优惠方案，即可解答；
（2）将代入（1）中得出的函数解析式，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可得：，
当时，，
当时，；
【小问2详解】
解：当时，
，
，
∴两家汉服体验店总租金一样便宜．
21. 如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的周长．
（2）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动． 当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
（3）直接写出当为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）的周长为
（2）当或，直线把的周长分成相等的两部分
（3）当或或或时，为等腰三角形，
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键．
（1）根据速度为每秒，求出出发2秒后的长，然后就知的长，利用勾股定理求得的长，最后即可求得周长．
（2）分类讨论①当点P在上，点Q在上时，，②如图，当P点在上，Q在上时，，③如图，当P点在上，Q在上，，
结合图形列出方程求解即可
（3）因为与已知，由勾股定理得，然后进行分类讨论①如图，若P在边AC上时，，②若P在边上时，，③若P在边上时，，④当若P在边上时，．
小问1详解】
解：如图，由，
∴，
动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，
∴出发2秒后，则，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：．
【小问2详解】
解：①当点P在上，点Q在上时，，
根据题意可得，
则，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②如图，当P点在上，Q在上时，，
根据题意可得，
则，
∴，
解得：；
③如图，当P点在上，Q在上，，
根据题意得出，
则，，
∴，
解得：，
∴综上：当或时，直线把的周长分成相等的两部分．
【小问3详解】
解：①如图，若P在边AC上时，，
此时，为等腰三角形；
②若P在边上时，，
过C作斜边的高，则，
在中，，
∴，
∴P运动的路程为，
∴；
③若P在边上时，，
过点P作与点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据题意可得：，
∴，
解得：，
④当若P在边上时，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当或或或时，为等腰三角形；
22. 【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．
①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到．
②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）①选择小强同学，过点作于，于，证明，可得结论；②选择小颖同学，过点作，交于点，则，可证，可得；
（2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得；
（3）取中点，连接，根据证，得，即可得证；
【详解】（1）①选择小强同学，
证明：如图2，过点作于，于，
平分，
，，
，
，
，
在与中
，
，
；
②选择小颖同学，
证明：如图3，过点作，交于点，则，
，平分，
，且，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）如图，过点作，，垂足分别为，，
，
又平分，，
，，
在四边形中，，
又，
，
又，
，且，，
，
；
（3）取中点，连接，
点、分别是、边上的中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，