河南省商丘市虞城县商外实验学校八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份河南省商丘市虞城县商外实验学校八年级下学期第一次月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据最简二次根式的意义，可知是最简二次根式，
=，
，
=x，
故选：A.
2. 判断下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，“可以构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数”，所以只需要验证三个数是否为正整数，且是否符合勾股定理即可．
【详解】解：A． 不是正整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意；
B． ， 是勾股数，故本选项符合题意；
C． ， 不是勾股数，故本选项不符合题意；
D． 不是正整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 在△ABC中，三边长满足b2-a2=c2，则互余的一对角是（ ）
A. ∠A与∠BB. ∠C与∠AC. ∠B与∠CD. ∠A、∠B、∠C
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵△ABC中三边a，b，c，满足b2－a2＝c2即b2=a2+c2，
∴∠B最大，即∠B=90°．
∴互余的角为∠C与∠A
故选B．
4. 已知x、y为实数，且，则值为（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，被开方数需大于或等于零，以及完全平方式的值大于或等于零，由此可以求得x、y的值．
【详解】解： 要有意义，
，
又 ，且，

，

故选：D．
5. 如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A. 13B. 26C. 47D. 94
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，于是，即．
故选C．
6. 如图在中，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（ ）
A. B. 24C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据三角形面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则阴影部分面积
，
故选B．
【点睛】本题考查是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c，那么，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
7. 如图，中，，的垂直平分线与交于点D，与交于点E，连接．若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角可得，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
8. 如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A. 26B. 13+C. 13D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．
【详解】解：如图，
根据题意，AB=CD=5，AC=BD=，
∵P点位于圆周顶面处，
∴DP=BD=6，则BP=BD-DP=12，
∴小虫爬行的最短路程．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
二、填空题（每题3分，共21分）
9. 直角三角形的两条边长分别为cm，cm，则这个直角三角形的面积为______cm2．
【答案】或2##2或
【解析】
【分析】分两边长都为直角边和cm的边长为斜边，cm的边长为直角边两种情况求解即可．
【详解】解：①当两边长都为直角边时，
该三角形面积为：cm2；
②当cm的边长为斜边，cm的边长为直角边时，
根据勾股定理：
三角形另一条直角边cm，
所以该三角形的面积为cm2；
故答案为2cm2或cm2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题时运用分类讨论的数学思想，解决本题的关键是掌握勾股定理以及进行分类讨论．
10. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值．
【详解】解： 和有意义，
，

，．
．
故答案为：．
11. 如果，则a的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，，熟悉其性质是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
．
故答案为：．
12. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的合理运用，将，完全平方展开后有共同的式子是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
．
故答案为：．
13. 如图，已知，，依据尺规作图的痕迹可求出的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和勾股定理解直角三角形以及垂径定理的推论，“平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧．”熟悉角平分线的尺规作图方法，和理解垂径定理的推论是解题的关键．
【详解】解：依据尺规作图痕迹，可知该图是以A为圆心作圆弧交、交于、，然后分别以、圆心，相同半径作圆弧相交于一点，连接两圆弧交点和点交于，故所在直线为的角平分线．
，
（垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧．）
在中，，
，
．
故答案为：．
14. 如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为3和4，则b的面积为_____.
【答案】7
【解析】
【分析】根据“AAS”可得到△ABC≌△CDE，由勾股定理可得到b的面积=a的面积+c的面积.
【详解】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC，
∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，
∵AC2=AB2+BC2，
∴AC2=AB2+DE2，
∴b的面积=a的面积+c的面积=3+4=7．
故答案为7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
15. 如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为__．

【答案】3
【解析】
【分析】先依据△ABF的面积为24，求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，接下来，求得CF的长，设EC=x，则FE=DE=8﹣x，在△EFC中，依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得EC的长．
【详解】解：∵AB=8，S△ABF=24，
∴BF=6．
∵在Rt△ABF中，AF==10，
∴AD=AF=BC=10，
∴CF=10﹣6=4，
设EC=x，则EF=DE=8﹣x．
在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，
即（8﹣x）2=x2+42，
解得，x=3．
∴CE=3．
故答案为3．
【点睛】本题综合考查了翻折性质、矩形的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算，，，熟悉其运算规则是解决问题的关键．
（2）本题考查了二次根式与平方差公式和完全平方公式的结合，熟悉二次根式混合运算规则和公式是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
17. 已知，求代数式的值．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，求出原式为，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
．
18. 已知a、b、c满足|a-2|++(c-)2=0，求：
（1）a、b、c的值．
（2）试问以a、b、c为边能否构成直角三角形？
【答案】（1）a=，b=3，c=；（2）以a、b、c为边能构成直角三角形．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由非负数的性质可求a、b、c的值；（2）利用勾股定理的逆定理即可判断以a、b、c为边能否构成直角三角形．
试题解析：（1）∵，
∴，，，
∴a=，b=3，c=；
（2）∵32+()2=(2)2，即b2+c2=a2，
∴以a、b、c为边能构成直角三角形．
19. 如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】（1）这个梯子的顶端离地面有24米
（2）梯子底端在水平方向滑动8米
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．
（1）在中，直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求出的长，用的长减去的长，求解即可；
【小问1详解】
解：在中，，
则
即
答：这个梯子的顶端离地面有24米．
【小问2详解】
∵则
在中，
，
∴，
则
答：梯子底端在水平方向滑动8米．
20 如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°
【详解】证明：连接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理,得AC2=202+152=625
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2
∴∠D=90°，
∴∠A+∠C=360°−180°=180°
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多边形内角与外角，借助辅助线方法是解决本题的关键
21. 疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A处出发，要到A地北偏东方向的C处，他先沿正东方向走了到达B处，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地C处，求A，C两地的距离．（结果取整数，参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】过点C作垂线交延长线于点D，先证明，再由含30°角的直角三角形的性质得出，则，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
过点C作垂线交延长线于点D，
∴．
在中，
∴
∴
又在中，．
∴
∴A，C两地的距离是．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；学校受到的影响的时间为24秒．
【解析】
【分析】作AH⊥MN于H，利用含30度的直角三角形，得到AH=AP=80，则点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，则AB=AC=100，利用等腰三角形的性质得BH=CH，接下来利用勾股定理计算出BH=60，所以BC=2BH=120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．
【详解】解：学校会受到噪声影响．
理由：作AH⊥MN于H，如图，
在Rt△APH中，
∵∠HPA=30°，
∴AH=AP=×160°=80（m），
而80＜100，
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；
以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB=AC=100m，
而AH⊥BC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，
∴BC=2BH=120（m），
∵拖拉机的速度为5m/s，
∴学校受到的影响的时间=（秒）．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
23. 观察下列运算：
①由(＋1)(－1)＝1，得＝－1；
②由(＋)(－)＝1，得＝－；
③由(＋)(－)＝1，得＝－；
…
(1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
(2)利用(1)中你发现的规律计算：(＋＋＋…＋＋)×(＋1)．
【答案】(1) (n≥0)；(2)2017
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据运算规律即可得出 (n≥0)；
（2）先运用（1）中所得规律，将(＋＋＋…＋＋)中各项化简计算，最后运用平方差公式进行计算即可．
试题解析：（1）由题可得， (n≥0)；
（2）(＋＋＋…＋＋)×(＋1)
=（-1+-+-+…-）（+1）
=（-1）（+1）
=（）2-1
=2018-1
=2017．
点睛：本题主要考查了分母有理化的运用，分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．