2025-2026学年下学期福建省三明一中高二数学2026年5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期福建省三明一中高二数学2026年5月期中试卷含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 仅有一 项是符合题目要求的。
1、已知集合 A={−1,0,1,2},B=x x212 ，满足 a+2b=2ab−3 ，则
A. a 的取值范围是 [1,+∞) B. a+1a 的最小值为 2
C. ab 的最大值为 92 D. 2a+b 的最小值 132
8. 已知直线 y=ax+b 与函数 y=lnx+x 的图象相切，若 a∈0,12 ，则实数 b 的最小值为
A. −12 B. ln2+22−1 C. e2 D. 2ln2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多个 选项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分。
9. 如果 a,b,c,d∈R,ab≠0 ,则下列说法正确的是
A. 若 a>b ,则 1abc2 ,则 a>b
C. 若 a>b,c>d ,则 ac>bd D. 若 a>b ,则 1ab2>1a2b
10. 口袋内装有大小、质地均相同, 颜色分别为红、黄、蓝的 3 个球.从口袋内无放回地依次抽取 2 个球,记“第一次抽到红球”为事件 A ，“第二次抽到黄球”为事件 B ，则
A. PA=13 B. PB∣A=12
C. A 与 B 为互斥事件 D. A 与 B 相互独立
11. 已知 a>e 时,关于 x 的不等式 ex−axx2−bx+c≥0 恒成立,则下列判断正确的是
A. b>0,c>0
B. b2>4c
C. eb=ac
D. aeb−ac 的最大值为 27e3
第II卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知命题“ ∀x∈−1,2 ，使得 x2+2x+a0,01 ,
fx 在 −∞,lna 上递减, lna,+∞ 上递增,最小值 flna=a1−lna0 ,故 fx>0,f0=1>0,f1=e−a0,c=x1x2>0, A 正确；
二次式有两个不同零点,判别式 Δ=b2−4c>0 ,即 b2>4c , B 正确;
因为 x1,x2 是 ex−ax=0 的根,故 ex1=ax1,ex2=ax2 ,
两式相乘得: ex1+x2=a2x1x2 ，即 eb=a2c≠ac ，C 错误；
由 eb=a2c 得 c=eba2 ,代入目标式化简: aeb−ac=aeb−aeba2=a3ea ,
令 ga=a3eaa>e ,求导得 g′a=a23−aea ,
当 e3 时， g′aEY .
所以该中学应选择购买 A 品牌激光一体机 分
18. 解: (1) 当 n=2,a=1 时,函数 fx=ln1+2x2=ln1+2x−ln2 , .1 分
求导得 f′x=2xln21+2x , .2 分
所以 f′0=12ln2 , .3 分
因为 f0=0 ,所以切点为原点, .4 分
所以函数 fx 图象过原点的切线方程为 y=ln22x .5分
(2)由题意得，对于给定的自然数 n,1+2x+⋯+n−1x+nxa>0 在 x∈(−∞,1] 上恒成立， .6 分
因为 nx>0 ,所以 a>−1nx+2nx+⋯+n−1nx 恒成立, ..7 分
因为 n≥2 ,所以 y=knxk=1,2,⋯,n−1 在 x∈(−∞,1] 上单调递减,
所以 gx 在 x∈(−∞,1] 上单调递增, ..8 分
所以 gx≤g1=−1n+2n+⋯+n−1n=−1+2+⋯+n−1n=−n−1⋅n2n=1−n2 , .9 分所以 a>1−n2,n∈N∗,n≥2 .10 分
(3)因为 n≥2 ，所以 y=kxk=2,3,⋯,n 在 x∈(−∞,1] 上单调递增，
又因为 a>0 ,所以 y=1+2x+⋯+n−1x+nxa 在 x∈(−∞,1] 上单调递增,
所以 fx=ln1+2x+⋯+n−1x+nxan 在 (−∞,1] 上单调递增, .12 分
所以 fx≤f1=ln1+2+⋯+n−1+nan=lnn−12+a , .12 分
由 fx≤a 恒成立,所以 fxmax≤a ,即 lnn−12+a≤a=lnea , .14 分
所以 n≤2ea−2a+1 ,令 ga=2ea−2a+1,a>0 , .15 分
求导得 g′a=2ea−2>2⋅e0−2=0 恒成立,所以 ga 在 a∈0,+∞ 上单调递增, .16 分
所以 ga>g0=3 ,所以 n≤3 ,即 n 的最大值为 3 .17 分
19. 本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识, 考查数学建模能力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等核心素养等. 体现基础性, 应用性. 满分 17 分.
解: (1) 由题可知, k1−α2+kα+k+k1−α=1 , 1 分
化简可得 k=1α2−2α+3 , 2 分
当 α=12 时, k=49 ,
则 EX=kα+2k+3k1−α=k5−2α=169 ,
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为 169 . 4 分
(2)(i)设事件 A= “一次性购买 i 个文创盲盒”( i=0.1,2,3 )，事件 B= “顾客为幸运客户”，
5 分则 PA0=k1−α2,PA1=kα,PA2=k,PA3=k1−α .
依题意,得 PB∣A0=0,PB∣A1=13 , 6 分
因为每个盲盒是否为封面款相互独立,
所以 PB∣A2=132=19,PB∣A3=133+C31×23×132=727 , 8 分
又由题意知, B=A0B∪A1B∪A2B∪A3B ,且 A0B,A1B,A2B,A3B 两两互斥, 9 分
所以 PB=i=03PAiB=i=03PAi⋅PB∣Ai=0+13kα+19k+727k1−α=2k5+α27 , 11 分
由 (1) 得, k=1α2−2α+3 ,代入化简可得 PB=25+α27α2−2α+3 ,
所以 fα=25+α27α2−2α+3,α∈0,1 . 12 分
(ii) 设事件 C= “一次性购买的文创盲盒全部是封面款”,
依题意,得 PC∣Ai=13i,i=1,2,3 , 13 分
且 C=A1C∪A2C∪A3C,A1C,A2C,A3C 两两互斥,
所以 PC=i=13PAiC=i=13PAi⋅PC∣Ai=4k1+2α27 , 14 分
由 (i) 得, PB=2k5+α27 ,
所以幸运客户中, 一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
PC∣B=PBCPB=PCPB=21+2α5+α , 16 分
由题意 PC∣B=12 ，可得 21+2α5+α=12 ，解得 α=17 ，
又因为 0