福建省三明市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.给定两个随机变量的5组成对数据：，通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（ ）
A.1 B.1.1 C.0.9
3.已知随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
4.甲､乙､丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（ ）
A.3 B.-1 C.1 D.-3
6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两或灯，则熄灯的方法有（ ）
A.40 B.35 C.495 D.330
8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为（ ）
A. B.
C. D.
10.甲､乙､丙､丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”､“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件为“恰有两名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报“关怀老人'项目”，则（ ）
A.四名同学的报名情况共有种
B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
11.已知函数，则（ ）
A.当时，函数恰有1个零点
B.当时，函数恰有2个极值点
C.当时，函数恰有2个零点
D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量分别满足，且均值，方差，则__________.
13.有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有__________种.
14.已知函数，若时，，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客､商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量､消费水平､投资环境及文化发展活力的重要指标.数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中年对应的年份代码依次为.
（1）已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程的值精确到
（2）某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想.参考数据：
其中.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
.
16.（本小题15分）
某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生､女生各75人进行调查，得到如下列联表：
（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
（2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望.
附：
17.（本小题15分）
已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项的系数；
（3）设，则当时，求除以15所得余数.
18.（本小题17分）
甲､乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立.
（1）若，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
（2）当时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用表示）
19.（本小题17分）
已知函数.
（1）求函数的极大值和极小值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
三明一中2023-2024学年下学期半期考高二数学科答案
一､选择题
三､填空题
12. 13. 14.
四､解答题
15.【详解】（1）将的等号左右两边同时取自然对数得.
所以，
而，
所以
.
所以，即
所以.
（2）2023年对应的年份代码为7，
当时，
所以（1）中求得的回归方程是理想的.
16.【答案】解：（1）零假设为：该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别无关联.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联.
（2）按分层随机抽样，女生乒乓球组中抽取7人，女生羽毛球组中抽取8人...
的所有可能取值为.
，
的分布列为：
所以的期望为：.
17.【答案】解：（1）根据题意，，
即又，故.
（2），
其展开式的通项公式，
令，解得
则，故展开式中含的项的系数为：4320
（3）当时.
，
而能够被15整除，
故除以15所得余数为0.
18.【详解】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，
则，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件，则事件包括事件，共5种，
所以
.
（2）（i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，
由题意得的所有可能取值为，则
，
，
.
所以的分布列为
所以的期望
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
故的最大值为
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件，
由（1）得前两局比赛结果可能有，其中事件表示“甲学员赢得比赛”，事件表示“乙学员赢得比赛”，事件表示“甲､乙两名学员各得1分”，当甲､乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同.
所以
所以，即
因为，所以.
19.【答案】解：（1）由题意得.
令，得，令，得或，
所以函数在上单调递增；在上单调递减.
所以函数的极大值为，极小值为.
（2）在上恒成立，
即在上恒成立.
若，则对任意的实数恒成立.
若，
（i）当时，对任意的，
故此时，不合题意.
（ii）当时，令，
令，
则，
所以，
则，其中.
令，
则在区间上单调递增.
（1）当时，，
所以对任意的，
从而在上单调递增，
所以对任意的，
即不等式在上恒成立.
（2）当时，由，
在区间上单调递增，
得存在唯一的，使得，且当时，.
从而当时，，所以在区间上单调递减，
则时，，即，不符合题意.
综上所述.实数的取值范围为.年份代码
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模/万亿元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
3.366
73.282
17.25
1.16
2.83
性别
比赛项目
合计
乒乓球组
羽毛球组
男生
50
25
75
女生
35
40
75
合计
85
65
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
D
A
C
D
D
C
B
D
AD
CD
ABD
0
1
2
2
4
5