2025-2026学年下学期福建省三明高三数学5月模拟考试试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期福建省三明高三数学5月模拟考试试卷含答案，共16页。试卷主要包含了 考试结束后, 将答题卡交回， 已知直线 l， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
三明市 2026年普通高中高三毕业班质量检测 数学试题
本试卷共5页，满分 150 分.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 z=1−i1+i ,则 z6=
A. −i B. i C. -1 D. 1
2. 已知集合 M=x x2−3x−4a} ,若 M⊆N ,则实数 a 的取值范围为
A. −∞,8 B. −∞,8 C. −∞,−2 I. (−∞,−2]
3. 已知 a=3 ,向量 b 在向量 a 上的投影向量为 a ,则 a⋅b 的值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 下列区间是函数 y=csπ3−x 的一个单调递增区间的是
A. π2,π B. 0,π3 C. −π,0 D. π3,π2
5. 已知直线 l:y=x+mm≠0 与圆 O:x2+y2=4 交于 A,B 两点,当 △OAB 的面积最大时，点 O 到直线 l 的距离为
A. 12 B. 22 C. 1 D. 2
6. 已知函数 fx 的定义域为 R,fx+1=f1−x,fx+2=fx+2 ,且当 x∈0,1 时, fx=ex ,则 f20272 的值为
A. e12+1011 B. e12+1012 C. e−12+1011 D. e−12+1012
7. 已知四棱锥 P−ABCD 的底面为矩形， AB=43,BC=8 ，侧面 PAB 为正三角形且垂直于底面 ABCD , M 为四棱锥 P−ABCD 内切球表面上的一点,则点 M 到直线 CD距离的最小值为
A. 210−2 B. 210−1 C. 43−2 D. 43−1
8. 已知函数 y=ex 与 y=gx 的图象关于直线 y=x 对称,函数 fx=gx+ a−1xa>1 ,若方程 ffx=x 在区间 2,5 上有两解,则实数 a 的取值范围为
A. 2−1e,2−ln55 B. 2−1e,2−ln22
C. 2−1e,2−ln22 D. 2−1e,2−ln55
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是
A. 若样本数据 x1,x2,⋯,x6 的平均数为 2,则数据 2x1−1,2x2−1,⋯,2x6−1 的平均数为 4
B. 根据小概率值 α=0.05 的独立性检验,当 χ2≥x0.05=3.841 时,可以推断两变量不独立,该推断犯错误的概率不超过 0.05
C. 在一组样本数据 x1,y1,x2,y2,⋯xn,ynn≥2,x1,x2,⋯,xn 不全相等 ) 的散点图中,若所有样本点 xi,yii=1,2,⋯,n 都在直线 y=−13x+1 上,则这组样本数据的线性相关系数为 −13
D. 若 PA=0.5,PB∣A=∣A=0.2 ,则 PB=0.4
10. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 Sn=man−1 ，则
A. 当 an 是等比数列时， m≠0 且 m≠1
B. 当 m=−1 时, an+an+2>2an+1
C. 当 m=2 时,数列 1lg2an+1⋅lg2an+2 的前 n 项和为 nn+1
D. 当 m=3 时,数列 n2an 中,第 5 项的值最大
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， P (与点 C1 不重合)是正方体侧面 BCC1B1 内的动点,下列说法正确的是

A. 平面 A1BD⊥ 平面 APC1
B. 若动点 P 到直线 AB 的距离等于它到直线 CC1 的距离,则点 P 的轨迹为抛物线的一部分
C. 当 BP=13PC1 时,过点 P 作该正方体的外接球的截面,其截面面积的最小值为 16π9
D. 线段 AD 绕 AD1 旋转一周的过程中, AD 与 AC1 所成角的正切值的取值范围为 3−22,3+22
三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. x−2y6 的展开式中 x2y4 的系数为_____.(结果用数字表示)
13. 设椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 长轴的两个顶点分别为 A,B 点 C 为椭圆 E 上不同于 A,B 的一点,若 △ABC 的三个内角 A,B,C 满足 2tanA+2tanB+tanC=0 ,则椭圆 E 的离心率为_____.
14. 定义:平面内，图形 Γ 上的所有点在直线 l 上的射影所组成的图形称为 Γ 在 l 上的射影. 若边长为 m 的正三角形在某一矩形的四条边所在直线上的射影长度之和为 8 , 则 m 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
袋子中有 5 个大小质地完全相同的球, 其中有 2 个红球和 3 个白球, 从中随机摸出 2 个球.
(1)求摸到的两个球颜色相同的概率；
(2)用 X 表示摸出的球为白球的个数，求 X 的分布列及均值.
16.(15分)
已知锐角 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 a=4,b+8csB=2c .
(1)求 A ；
(2)若点 H 在 △ABC 所在平面内,且满足 HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA ,求 △HBC 面积的取值范围.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ，底面 ABCD 为等腰梯形,且 AD//BC,AD=2BC=2AB=4,AF=tAP0≤t≤1 ,且四面体 AFDC 的体积为 439 .

(1)求 t 的值；
(2)若 E 为 AD 的中点，过点 E ， F 的平面 α 与 AC 平行，交 PC 于点 G ，求平面 ABG 与平面 ABCD 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数 fx=xlnx−ax2 .
(1)若函数 fx 有两个零点，求实数 a 的取值范围；
(2)若 a≤1 ，求证: fx≥−ex−1 ；
(3)若 a=3,m≠−3 ，关于 x 的不等式 fxx≤−m+2lnx−n+2 恒成立，求 n−8m+3 的最大值.
19. (17分)
在平面直角坐标系 xOy 中, M 是一个动点, MA 与直线 l1:y=x 垂直,垂足 A 位于第一象限， MB 与直线 l2:y=−x 垂直，垂足 B 位于第四象限，若四边形 OAMB 的面积为 2 .
(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；
(2)直线 y=2x−6 与曲线 C 交于点 A1,B1A1 在 B1 的上方 ) ，过点 A1,B1 分别作 l2,l1 的平行线,交于点 P1 ,过点 P1 且斜率为 2 的直线与曲线 C 交于点 A2,B2A2 在 B2 的上方),再过点 A2,B2 分别作 l2,l1 的平行线,交于点 P2 ,这样一直操作下去,可以得到一列点 P1,P2,⋯,Pn,n≥3,n∈N∗ .
证明: ①P1,P2,⋯,Pn 共线;
② OPi2−PiPi+12 为定值, 1≤i≤n−1,i∈N∗ .
三明市 2026 年普通高中高三毕业班质量检测 数学参考答案及评分细则
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半: 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题: 本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 5 分, 满分 40 分.
1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. B 7. A 8. B
二、选择题: 本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 6 分, 满分 18 分. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BD 10. ACD 11. ABD
三、填空题: 本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 5 分, 满分 15 分.
12. 240
13. 22 14. 26−22,16−83
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)设事件 A= “摸到的两个球颜色相同”，事件 A1= “摸到的两个球为红球”,事件 A2= “摸到的两个球为白球”,则 A=A1∪A2 .2 分
因为 A1,A2 互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
PA=PA1∪A2=PA1+PA2=C22C52+C32C52=410=25. .6 分
(2) X 的可能取值为 0，1，2 7 分根据古典概型的知识可得
PX=0=C22C52=110,PX=1=C21C31C52=35,PX=2=C32C52=310.
X 的分布列如表所示.
11 分
X 的均值为 EX=0×110+1×35+2×310=65. 13 分
16. 解法一:(1)因为 a=4,b+8csB=2c ，由余弦定理，得 b+8×a2+c2−b22ac=2c, 1 分
整理得
b2+c2−a2=bc, .3 分
则 csA=b2+c2−a22bc=12 , .5 分
因为 A∈0,π2 ,所以 A=π3 .6 分
(2)因为 HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA ，所以

HB⋅HA−HC=0,HC⋅HA−HB=0,
即 HB⋅CA=0,HC⋅BA=0 ,故 HB⊥CA,HC⊥BA .
所以 H 为 △ABC 的垂心. 8 分
连接 BH 并延长交 AC 于点 D ,连接 CH 并延长交 AB 于点 E ,则 BD⊥AC,CE⊥AB .
在四边形 ADHE 中,由
∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE=2π ,得
∠DHE=2π3 ,则 ∠BHC=2π3 , 9 分
在 △HBC 中,设 ∠HBC=α,α∈0,π3 ,则 ∠HCB=π3−α , 由正弦定理, 得
HCsinα=HBsinπ3−α=BCsin∠BHC=432=833,
所以 HC=833sinα,HB=833sinπ3−α , 10 分
则 S△HBC=12×HB×HC×sin∠BHC=12×833sinπ3−α×833sinα×32 =1633sinπ3−α⋅sinα=833sin2α+π6−433, 12 分
因为 α∈0,π3 ,所以 2α+π6∈π6,5π6 , .13 分
所以 sin2α+π6∈12,1 ,所以 S△HDC∈0,433 .
即 △HBC 面积的取值范围为 0,433 .15 分
解法二: (1) 因为 a=4,b+8csB=2c ,所以 b+2acsB=2c , 1 分由正弦定理,得
sinB+2sinAcsB=2sinC , .2 分
即 sinB+2sinAcsB=2sinA+B=2sinAcsB+2sinBcsA , .4 分
整理,得 sinB=2sinBcsA .4 分
因为 sinB≠0 ,所以 2csA=1 ,即 csA=12 , 5 分
因为 A∈0,π2 ,所以 A=π3 . .6 分
(2)因为 HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA ，所以 HB⋅HA−HC=0 ， HC⋅HA−HB=0 ， 即 HB⋅CA=0,HC⋅BA=0 ,故 HB⊥CA,HC⊥BA .

所以 H 为 △ABC 的垂心. 8 分
连接 BH 并延长交 AC 于点 D ,连接 CH 并延长交 AB 于点 E ,则 BD⊥AC,CE⊥AB .
在四边形 ADHE 中,由
∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE=2π ,得
∠DHE=2π3 ,则 ∠BHC=2π3 9 分
在 △HBC 中,由余弦定理,得
BC2=HB2+HC2−2HB⋅HC⋅cs∠BHC 10 分
所以 16=HB2+HC2+HB⋅HC≥3HB⋅HC , 11 分
得, HB⋅HC≤163 ,当且仅当 HB=HC=433 时,等号成立, 12 分
所以 S△HBC=12HB⋅HC⋅sin∠BHC=34HB⋅HC≤433 , 13 分
又 S△HBC>0 , 14 分
故 △HBC 面积的取值范围为 0,433 15 分
17. 解法一:(1)在平面 PAD 中，过点 F 作 AD 的垂线，垂足为 Q ，
因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD ,

2 分
平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ,
FQ⊂ 平面 PAD ,
所以 FQ⊥ 平面 ABCD
在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CH⊥AD ,垂足为 H ,
则 CH=CD2−DH2=22−12=3 ,故 S△ACD=12AD⋅CH=12×4×3=23 ,
所以 VF−ACD=13S△ACD⋅FQ=233FQ=439 ,解得 FQ=23 . .4 分
在 △PAD 中,过点 P 作 PO⊥AD ,垂足为 O ,则 PO//FQ ,
因为 PA⊥PD,AD=4 ,所以 PO=12AD=2 . 所以 FQ=13PO 6 分
因为 FQ//PO ,
所以 AFAP=FQPO=13 ,
所以 t=13 . 7 分
(2)由(1)知 O 点即为 E 点， F 为线段 AP 上靠近 A 的一个三等分点，在线段 PC 上取一点 G ,使 CG=13CP .8 分因为 AFAP=CGCP ,所以 FG//AC ,
又因为 FG⊂ 平面 EFG,AC⊄ 平面 EFG ,所以 AC// 平面 EFG .9 分取 BC 的中点 M ,连接 EM ,则 EM⊥AD ,
由(1)知 PE⊥ 平面 ABCD ，所以 PE⊥EM ， PE⊥ED ，
以 E 为原点， EM ， ED ， EP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 10 分
则 E0,0,0,A0,−2,0,B3,−1,0,C3,1,0,P0,0,2 11 分
所以 AB=3,1,0 ,因为 AG=AP+23PC=0,2,2+233,1,−2=233,83,23 .
.12 分
设平面 ABG 的法向量为 n=x,y,z ,则
n⋅AG=0,n⋅AB=0.

所以
233x+83y+23z=0,3x+y=0.
所以
y=−3x,z=33x.
取 x=1 ,则 y=−3,z=33 .
所以, n=1,−3,33 是平面 ABG 的一个法向量. 13 分
因为 PE⊥ 平面 ABCD ,所以平面 ABCD 的一个法向量为 m=0,0,1 .
14 分
设平面 ABG 与平面 ABCD 的夹角为 θ ,则
csθ=cs⟨n,m⟩=3331×1=39331.
即平面 ABG 与平面 ABCD 角的余弦值为 39331 . 15 分
解法二: (1) 同解法一 .7 分
(2)由(1)知 O 点即为 E 点， F 为线段 AP 上靠近 A 的一个三等分点，在线段 PC 上取一点 G ,使 CG=13CP .8 分
因为 AFAP=CGCP ,所以 FG//AC ,
又因为 FG⊂ 平面 EFG,AC⊄ 平面 EFG ,所以 AC// 平面 EFG 9 分
连接 CE ,则 AB=AE=BC ,又 AE//BC ,所以四边形 ABCE 为菱形.
在线段 CE 上取点 H ,使得 CH=13CE ,连接 GH ,则 GH//PE ,由 (1) 知 PE⊥ 平面 ABCD ,所以 GH⊥ 平面 ABCD ,因为 AB⊂ 平面 ABCD ,所以 GH⊥AB .
在平面 ABCD 内过点 H 作 HT⊥AB ,交 AB 的延长线于点 T ,则 HT 为菱形 ABCEAB 边上的高. 连接 GT ,则 AB⊥ 平面 GHT ,所以 AB⊥GT ,所以 ∠GTH 为二面角 G−AB−C 的一个平面角 12 分
在菱形 ABCE 中, ∠BAE=60∘,AB=AE=2 ,所以 AB 边上的高为
AE⋅sin∠BAE=2×32=3 ,即 HT=3 ,

13 分
14 分
又 GH=13PE=23 ,
所以 GT=GH2+HT2=49+3=313 ,
所以 cs∠GTH=HTGT=3×331=39331 .
所以平面 ABG 与平面 ABCD 角的余弦值为 39331 . 15 分
18. 解法一: (1) fx 的定义域为 0,+∞ ,令 fx=0 ,即 fx=xlnx−ax=0 ,即 lnx−ax=0 .
令 gx=lnx−ax ,则 g′x=1x−ax>0 1 分
(i) 当 a≤0 时, g′x>0 ,则 gx 在 0,+∞ 上单调递增, gx 至多有一个零点, 不合题意, 舍去. .2 分
(ii) 当 a>0 时,令 g′x=0 ,解得 x=1a . 当 01a 时, g′x1e 时，由于 g1a0 ,
.7 分
令 rx=ex−1−xx>0 ,则 r′x=ex−1−1 ,当 0