2025-2026学年下学期安徽省县中联盟高三数学2026年5月模拟试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期安徽省县中联盟高三数学2026年5月模拟试卷含答案，共24页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围: 高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 A={x∣x+1≥1},B={x∣−2≤xx>z D. x>z>y
7. 已知二项式 1+2xnn∈N∗ 的展开式中,各项系数的最大值为 80,且最大值在 m+1 与 m+2 两项处同时取得，则 n 的值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 已知 F1,F2 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点,过 F2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,且 λAF2=F2B ,若 BF1⋅BA=AB2 ,椭圆 C 的离心率为 22 ,则 λ=
A. 13 B. 23 C. 2 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 fx=sin2x−π3+3cs2x ,则下列结论正确的是
A. 函数 fx 的最小正周期为 π
B. 函数 fx 在区间 0,π2 上单调递增
C. 函数 fx 的图象关于直线 x=π12 对称
D. 函数 fx 的图象可由 y=2sin2x 的图象向左平移 π6 个单位长度得到

10. 如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， P 为线段 B1C 上一动点(含端点), 则下列说法正确的是
A. 若长方体的长宽高确定,则四面体 A1PBD 的体积为定值
B. 存在点 P ，使得 AP=AB+23AD+13AA1
C. 若底面 ABCD 为正方形，则过点 P 有且只有一条直线与 AC ， B1D1 所成的角均为 π4
D. 若 AB=AD=1,AA1=2 ，则平面 A1BD 截长方体 ABCD−A1B1C1D1 的外接球所得截面的面积是 9π10
11. 已知三点 A−1,2,B−3,0,C2,−2 ,圆 O:x2+y2=1 ,则下列说法正确的是
A. 若点 P 在圆 O 上运动,则 PA2+PB2+PC2 的最小值为 21
B. 圆 O 与圆 D:x−22+y−12=4 的公共弦长为 255
C. 若点 Q 在直线 AB 上，过 Q 作圆 O 的切线 QM ， QN ，切点分别为 M ， N ，则 sin∠MQN 的最大值为 2149
D. 若点 Q 在直线 AB 上，过 Q 作圆 O 的切线 QM,QN ，切点分别为 M,N ，则点 C 到直线 MN 的距离的最大值为 723
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知 M 是抛物线 x2=8y 上的一点， F 是抛物线的焦点，若 FM=8 ，则直线 FM 的倾斜角为_____.
13. 若直线 y=4x−1 是曲线 y=e2x+ax+b 在 x=12ln2 处的切线，则 a+b= _____.
14. 某太空项目采用星链卫星组网,第 1 颗卫星入轨后,后续卫星按如下规则入轨: 设第 n 颗卫星与基准轨道的偏差值为 an ,满足递推关系: an+1=an−n,n∈N∗ ,已知初始偏差 a1=3 . 若要求前 m 颗入轨卫星的总偏差不超过 1200，则正整数 m 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
2026 年是中国航天深空探测的关键一年, 某航天勘测团队在月球背面某区域进行地形勘测,测得该区域三个勘测点 A,B,C 构成三角形,其中 A,B 两点相距 23 千米,勘测仪器测得 ∠BAC=60∘,∠ABC=45∘ .
(1)求 BC 边的长度；
(2)为进一步精准勘测,团队计划在 BC 边的延长线上取一点 D ，使得 ∠CAD=30∘ ，求 CD 的长度.
16. (本小题满分 15 分)
某智能温室大棚采用自动控制系统调节遮阳帘. 每天系统会根据前一天的日照强度选择“高透光模式”(记为状态 A )或“低透光模式”(记为状态 B ). 统计表明:若某天为高透光模式，则次日仍保持高透光模式的概率为 0.2 ; 若某天为低透光模式, 则次日转为高透光模式的概率为 Pn . 为 0.8 . 假设第 1 天系统处于高透光模式. 设第 n 天系统处于高透光模式的概率为 Pn .
(1)求 P2 和 P3 的值；
(2)求数列 Pn 的通项公式；
(3)为防止作物光照不足，技术人员设置了自动补光机制:若连续两天出现低透光模式，则立即强制启动补光灯. 记 X 为前 3 天内强制启动补光灯的次数(即连续两天为低透光模式的事件发生次数,若第 1、2 天为低透光模式，第 2、3 天也为低透光模式，则计为 2 次)，求 X 的分布列和数学期望.
17. (本小题满分 15 分)
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 2,且经过点 153,2 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)设双曲线 C 的左、右顶点分别为 A1,A2 ，过点 A1 作斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C 于另一点 PP 不与 A2 重合),线段 A2P 的中垂线交 x 轴于点 Q . 若 A2Q=32 ,求 k 的值;
(3)过双曲线右焦点 F 作直线 m 与双曲线 C 交于 M ， N 两点，与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 R,S 两点. 试问 MF⋅NFFR⋅FS 是否为定值？若是,求出该值; 若不是,请说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA⊥ 底面 ABCD ， PA=AB=2 ， E 为线段 PB 的中点， F 为线段 BD 上的动点.
(1)证明:平面 AEF⊥ 平面 PBC ；
(2)设点 G 是线段 PC 上的一点,且满足 PG=2GC . 在线段 BD 上是否存在点 F ，使得 A ， E ， G,F 四点共面? 若存在,试确定点 F 的位置; 若不存在,请说明理由;
(3)求平面 AEF 与平面 PCD 夹角的余弦值的最大值.

19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ex−ax−1,ℎx=lnx−x+1 ，其中 a∈R ， e 为自然对数的底数.
(1)证明: ℎx≤0 ；
(2)若 fx≥0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 a 的值；
(3)设数列 bn 满足 bn=k=1nknn ，数列 cn 满足 cn=k=1n1k! ，证明: bnz . 故选 B.
7. B 二项式 1+2xn 的展开式的通项为 Tr+1=Cnr2xr ,故各项系数为 ar=Cnr⋅2rr=0,1,⋯,n . 由题意, 系数最大值为 80,且在 r=m 与 r=m+1 处同时取得,因此有 am=am+1=80 ,且对任意 r,ar≤80 . 由 am= am+1 得 Cnm⋅2m=Cnm+1⋅2m+1 ,化简得 Cnm=2Cnm+1 . 利用组合数公式 Cnm+1=Cnm⋅n−mm+1 ,代入得 Cnm=2⋅Cnm⋅ n−mm+1 ,由于 Cnm≠0 ,两边约去得: 1=2⋅n−mm+1⇒m+1=2n−m⇒3m+1=2n . 因此: n=3m+12 . 为使 n 为整数, 3m+1 需为偶数,故 m 为奇数. 令 m=2t+1 ( t 为非负整数),则 n=32t+1+12=3t+2 . 代入 am=80 得 C342:22t+1=80 . 分别取 t=0,1,2 计算: t=0:n=2,m=1,C21⋅21=2×2=4≠80.t=1:n=5,m=3,C53⋅23 =10×8=80 ,符合条件. t=2:n=8,m=5,C85⋅25=56×32=1792>80 ,不满足最大值为 80 . 因此 n=5 时,系数 a3=a4=80 ,且其他系数均小于 80a0=1,a1=10,a2=40,a5=32 ,满足题意. 故选 B.
8. A 由 BF1⋅BA=AB2 ，可知 BA+AF1⋅BA=AB2 ，即 BA2+AF1⋅BA=AB2 ，故 AF1⋅BA=0 ， 所以 AF1⊥AB . 因为 e=ca=22 ,所以 c=22a ,即 c2=12a2 . 设 AF2=x,x>0 ,则 BF2=λx ,由椭圆定义可得 AF1=2a−x,BF1=2a−λx . 在 Rt△AF1F2 中, AF12+AF22=F1F22 ,所以 2a−x2+x2=4c2 ,即 4a2−4ax+x2+x2=2a2 ,化简得 x−a2=0 ,即 x=a ,所以 AF1=a,AB= AF2+BF2=λ+1x=λ+1a,BF1=2−λa . 在 Rt △AF1B 中, AF12+AB2=BF12 ,可得 a2 +λ+12a2=2−λ2a2 ,即 1+λ2+2λ+1=4−4λ+λ2 ,解得 λ=13 . 故选 A.
9. AC fx=sin2x⋅csπ3−cs2x⋅sinπ3+3cs2x=12sin2x−32cs2x+3cs2x=12sin2x+ 32cs2x=sin2x+π3.
选项 A: 正弦型函数周期公式 T=2πω ,本题中 ω=2 ,因此 T=2π2=π ,该选项正确;
选项 B: 当 x∈0,π2 时, 2x+π3∈π3,4π3 ,正弦函数 y=sint 在 π3,π2 上递增,在 π2,4π3 上递减, 因此 fx 在 0,π2 上不单调,该选项错误;
选项 C:正弦型函数的对称轴满足 2x+π3=π2+kπk∈Z ，令 k=0 ，解得 x=π12 ，故直线 x=π12 是函数图象的对称轴,该选项正确;
选项 D: 图象平移遵循“左加右减，只针对自变量 x ”, y=2sin2x 向左平移 π6 个单位后,解析式为 y= 2sin2x+π6=2sin2x+π3 ,与原函数 fx=sin2x+π3 振幅不同,并非同一函数,该选项错误. 故选 AC.
10. ABD A 选项: 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中,因为 B1C//A1D,B1C⊄ 平面 A1BD,A1D⊂ 平面 A1BD ,所以 B1C// 平面 A1BD ,即点 P 到平面 A1BD 的距离为定值,故四面体 A1PBD 的体积为定值, A 选项正确; B选项:设 B1P=λB1C,λ∈0,1 ，由向量运算 AP=AB+BB1+B1P=AB+AA1+λBC−BB1=AB+ AA1+λAD−AA1=AB+λAD+1−λAA1 ,如果 AP=AB+23AD+13AA1 ,对比系数得: λ=23,1−λ =13 ,满足 λ=23∈0,1 ,因此在线段 B1C 上存在这样的点 P ,故 B 选项正确;
C 选项: 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AC 与 B1D1 为异面直线,且 B1D1//BD,AC⊥BD ,设 AC 与 BD 交于点 M ,显然过 M 点可以作两条直线与 AC,BD 所成角均为 π4 ,即过 M 点可以作两条直线与 AC,B1D1 所成角均为 π4 ，将这两条直线平移过点 P ，得到过点 P 有两条直线与 AC ， B1D1 所成角均为 π4 ，C 选项错误； D 选项: 若 AB=AD=1,AA1=2 ,长方体的外接球的球心 O 是体对角线 BD1 的中点,直径为体对角线长: BD1=AB2+AD2+AA12=2 ,因此外接球半径 R=1.O 到平面 A1BD 的距离为 d ,则点 D1 到平面 A1BD 的距离为 2d . 在三棱锥 D1−A1BD 中, BD=AB2+AD2=2,A1B=A1D=AB2+AA12=3 ,即 S△A1BD =12BD⋅A1B2−12BD2=52 , 又 VD1−A1BD=VB−A1D1D , 即 13S△A1BD⋅2d=13S△A1D1D⋅AB , 解得 d= 1010 ,则平面 A1BD 截长方体 ABCD−A1B1C1D1 的外接球所得截面圆的半径 r=R2−d2=31010 ,其面积为 πr2=9π10 , D选项正确. 故选 ABD.
11. ACD 对于 A,设 Px,y ,则 −1≤x≤1,PA2+PB2+PC2=x+12+y−22+x+32+ y2+x−22+y+22=3x2+y2+4x+22=4x+25≥21 ,故 A 正确; 对于 B,将圆 O 与圆 D 的方程作差可得两圆公共弦的方程为 2x+y−1=0 ,点 O 到公共弦的距离为 −122+12=55 ,所以公共弦长为 212−552=455 ,故 B 错误; 对于 C,直线 AB 的方程为 x−y+3=0 ,连接 OM,ON,OQ ,则 OM⊥QM , ∠MQN=2∠MQO . 在 Rt △OMQ 中, sin∠MQO=OMOQ=1OQ ,当 OQ⊥AB 时, OQmin=312+−12 =322 ，从而 sin∠MQO 取最大值 23 . 因为 ∠MQO 为锐角，所以 ∠MQO 最大时 ∠MQN 最大，又 ∠MQO 最大时 sin∠MQO=230 ， fx 在 R 上单调递增. 又 f0=0 ，则当 x