2025-2026学年下学期安徽省合肥一六八中学高三数学2026年5月最后一卷试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期安徽省合肥一六八中学高三数学2026年5月最后一卷试卷含答案，共11页。试卷主要包含了 已知 F1,F2 是椭圆 C， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 集合 A={0,1,3,4,5} ，集合 B={x∣x−1x−5b>0 的左右焦点,点 P 在椭圆上, △PF1F2 为等腰三角形, ∠F1F2P=120∘ ,则椭圆 C 的离心率为 ( )
A. 14 B. 12 C. 2−33 D. 3−12
6. 将函数 y=3cs2x+π6+1 的图象向右平移 π3 个单位长度,得到函数 fx 的图象,则 fx 图象的对称中心的坐标是( )
A. kπ2,0k∈Z B. kπ2,1k∈Z C. kπ2+π3,0k∈Z D. kπ2+π3,1k∈Z
7. 在三棱锥 A−BCD 中， AB=BC=AC=CD=23 ， ∠BCD=2π3 ，二面角 A−BC−D 的大小为 π3 ， 则三棱锥 A−BCD 的外接球表面积为( )
A. 84π3 B. 100π3 C. 27π D. 148π3
8. 已知 a=e−32,b=ln87,c=215 ，则下列大小关系正确的是( )
A. a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. a>c>b
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量 X∼N1,σ2 ,则 PX≤0=PX≥2
B. 若事件 A,B 相互独立,则 PA∪B=PA+PB
C. 若样本数据 x1,x2,⋯,xn 的方差为 2,则数据 2x1+1,2x2+1,⋯,2xn+1 的方差为 8
D. 用相关指数 R2 刻画回归效果， R2 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 已知 fx=sinx+θ+sinx+sinθ ,其中 fx 最大值为记为 Mθ ,则下列正确的是 ( )
A. 存在 θ∈R ，使得函数 fθ 为奇函数
B. 任意 θ∈R ,都有 Mθ≤332
C. 任意 θ∈R,fx,fx+π 至少有一个不小于-1
D. 任意 θ∈R ，且 fx1=fx2=Mθ ，则 x1−x2min=2π

11. 如图,抛物线 E:x2=4y ,过点 P 向抛物线 E 作两条切线 PA,PB ,切点分别为 A,B . 切线 PA,PB 分别交 x 轴于 C,D 设 Ax1,y1 ,则下列说法正确的有( )
A. 过点 A 的切线方程为 x1x=2y1+y
B. 当点 P 在准线上时, PA∥PB 的最小值为 8
C. 当点 P 在准线上时, PCAB=2PBCD
D. 对任意点 P 均有 ∠AFP=∠BFP
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 fx=2lnx−ax2 的图象在 x=1 处的切线与直线 x−4y−2=0 垂直，则 a= _____.
13. 一个质地均匀的正四面体骰子, 其每面分别标有数字 1, 2, 3, 4, 记录每次抛掷向下这个面的点数, 一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子. 已知第一次抛出的点数为 1，则以数字 1 结束的概率是_____.
14. 设数列 an ，满足 a1=53 ， an+1=an2−an+1 ，记 m=1a1+1a2+⋯+1a2026 ，则 m 的整数部分是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在 △ABC 中，三角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，其内切圆与外接圆半径分别为 r,R . 已知 c=2 且 a=2csB ，求:
(1)求 ∠C 的值；
(2)求 rR 的最大值.
16.(15分)底面 ABCD 为正方形，侧面 EAD 垂直于底面 ABCD 且 ΔEAD 为正三角形， EF//AB ， AB=2EF=2 .
(1)若H为DE中点，求证:DE⊥平面 ABH ；
(2)求平面 ADE 与平面 BCF 所成二面角的平面角大小.

17. (15 分) 已知函数 fx=x−1x−alnx ,其中 a∈R .
(1)讨论 fx 的单调性;
(2)若 fx 有三个零点 x1,x2,x3 ,且 x10 上任意一点 Mx0,y0 ，则过点 M 的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1 . 已知焦点在 x 轴上的双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 2 ，且过点 2,3 .
(1)求双曲线 E 的方程；
( 2 )过双曲线上点 M 的直线 l 为双曲线 E 的切线， l 分别与直线 x=t ， x=−tt>0 交于 A ， B 两点，记直线 OM,OA,OB 的斜率分别为 k0,k1,k2 .
(i) 求证: k1+k2=2k0 ;
(ii) 若 ∠AOM+∠BOM=π ，求 t 的值.
19.(17分)将 n 个不同的数 20,21,22,⋯,2n−1n∈N∗ 的任意一个排列 a1,a2,⋯,an ，记为数列 an .
(1) ∀n∈N∗ ，有 Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn∣b1,b2,⋯,bn∈I,I={0,1} ，求 T3 的所有元素之和；
(2)将正整数 n 拆分成若干个 2 的非负整数次幂(2^2^k^2=2、2^2^k……)之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为 kn .例如:2 可以拆分为 21 (1 种方式)，也可以拆分为 20+20 (另 1 种方式),共 2 种拆分方式,故 k2=2 ; 3 可以拆分为 21+20 (1 种方式),也可以拆分为 20+20+20 (另 1 种方式),共 2 种拆分方式,故 k3=2 .
(i) 求 k10 ;
(ii) 求证: k2n+1=k2n,k2n=k2n−2+knn≥2 .
2026 届高三最后一卷・数学
参考答案 提示及评分细则
一. 单项选择题:
1.答案: C.
2.答案: A.因为 z+2z=2+i ,即 z+2=2+iz 可得 z=21+i=21−i1+i1−i=1−i ,所以 z=1+i ,选 A.
3. 答案: A.解: 因为 a=2 ,且向量 a,b 的夹角为 2π3 ,所以 a⋅b=a⋅bcs2π3=−b由3a−2b⋅a+b=9 , 得 3a2+a⋅b−2b2=9 则 2b2+b−3=0 ,解得 b=1 (负值舍).
4. 答案: B.解: 设等比数列的公比为 q ,易知 q≠1 ,由题意 S6=9S3 及 a4−a2=3 ,解得 a1=12q=2 ,由 a1=12 , q=2 时, a3=a1q2=2 .
5. 答案: B.解: 由题意知 A−a,0,F1−c,0,F2c,0 ,由 △PF1F2 为等腰三角形,且 ∠F1F2P=120∘ ,得 PF2=F1F2=2c 过 P 作 PQ 垂直 x 轴于 Q ,如图所示,
则在 Rt△PF2Q 中, ∠PF2Q=180∘−120∘=60∘ ,故 PQ=PF2sin∠PF2Q=2c×32=3c ,
F2Q=PF2cs∠PF2Q=2c×12=c ,所以 Pc+c,3c ,即 P2c,3c ,代入直线 AP 的方程 y=34x+a , 得 3c=342c+a ,即 a=2c ,所以所求的椭圆离心率为 e=ca=12 .

6. 答案: B.解: 由题意可得 fx=3cs2x−π3+π6+1=3cs2x−π2+1=3sin2x+1 令 2x=kπ,k∈Z ,得 x=kπ2,k∈Z ,此时 fx=3sinkπ+1=1 所以 fx 图象的对称中心是 kπ2,1k∈Z ,答案为 B.
7.答案: D.
解: 取 BC 中点 E ,连接 AE,DE,∵AB=BC=AC=23,∴AE⊥BC,AE=3,CD=23,CE=3 , ∠BC=120∘,DE⊥BC,DE=3,∠AED 为二面角 A−BC−D 的平面角, ∠AED=60∘,∴AE=DE=3,ΔAED 为等边三角形, AD=3 。设 ΔBCD 的外心为 O1,ΔABC 的外心为 O2,ΔBCD 中, BD=6,2r1=BDsin120∘=43,r1=23,ΔABC 为等边三角形, 2r2=BCsin60∘=4 , r2=2 ,过 O1 作平面 BCD 的垂线,过 O2 作平面 ABC 的垂线,交点为球心 O ,由二面角 60∘ 计算得 R2=373 ,所以表面积为 1483π ,选 D.
8.答案: A.
解: 要证明 a>c ,需证 −32>ln215,ln152>32 。因为 e320 。求导得 f′x=x21+xx+22>0 ,故 fx 在 0,+∞ 单调递增. 因此 fx>f0=0 ,即 ln1+x>2xx+2 。令 x=17 ,得 ln87>2717+2=215 ,得证 b > c. 由 ln1+x0 ,得 ln87b>c ,答案 A .
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.答案:ACD.
解: 对于 A ,因随机变量 X∼N1,σ2 ,则 μ=1 ,由正态曲线的对称性可得 PX≤0=PX≥2 ,故 A 正确;
对于 B ,由事件 A,B 相互独立可知 PA∩B=PAPB ,对于随机事件 A,B ,都有 PA∪B=PA+PB−PA∩B=PA+PB−PAPB ,故仅当 A,B 互斥时,才有 PA∩B=0 , 故结论不成立, 即 B 错误;
对于 C ,由题意, x=1ni=1nxi,s2=1ni=1nxi−x2=2 ,对于数据 2x1+1,2x2+1,⋯,2xn+1 ,其均值为 x′=1ni=1n2xi+1=2×1ni=1nxi+n×1n=2x+1 ,其方差为 s′2=1ni=1n2xi+1−x′2=1ni=1n2xi−x2=4×1ni=1nxi−x2=4s2=4×2=8 ,故 C 正确;
对于 D ,相关指数 R2 越接近 1,值越大,残差平方和接近 0,值越小,则该回归模型的拟合效果越好,故 D 正确.
10.答案: BC.
解: 易知 A 错误;
fx=1+csθsinx+sinθcsx+sinθ=1+csθ2+sin2θsinx+φ+sinθ≤2+2csθ+sinθ , ∴Mθ=2+2csθ+sinθ=2csθ2+sinθ≤2csθ2+2sinθ2csθ2=2csθ21+sinθ2 ; 令 θ2=t ,则 φt=2cst1+sint,φ′t=21−2sint1+sint=0 ,所以 sint=12 或者 cst=32 ,
所以 φtmax=332 ,选项 B 正确;
设 fx3 , 02 时, fx 在 0,a−a2−42 上单调递增,在 a−a2−42,a+a2−42 上递减,在 a+a2−42,+∞ 上递增; -7 分
(2)设 fx=x−1x−alnx 有三个零点 x1,x2,x3 ,而 f1=0 .
当 x>0 且 x≠1 时,由 fx=x−1x−alnxf1x=−x+1x+alnx ,得到: fx+f1x=0 ;
故 fx=0,f1x=0 ,又因为 f1=0 ,故 x1,x2,x3 满足 00Δ=a2−4>0 ,得到 a>2,0