2025-2026学年下学期重庆八中高一数学5月训练4试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期重庆八中高一数学5月训练4试卷含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 z=i−i2026 ,则复数 z 的虚部为( )
A. i B. -1 C. 1 D. −i
2. 已知单位向量 a,b 满足 a⋅b=23 ，则 a−b 在 a 上的投影向量为( )
A. 13a B. 23a C. 43a D. 53a
3. 在复平面内,复数 z1 的虚部为 3,复数 z2 满足条件 z2−1+2i=1 ,则 z2−z1 的最小值为( )
A. 0 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知向量 m=a−1,a−5,n=−1,a−2 ，则 “ a=−1 ” 是 “ m//n ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度, 余弦距离是检测相似度的常用方法. 假设二维空间中有两个点 Ax1,y1,Bx2,y2,O 为坐标原点,定义余弦相似度为 csA,B=cs (其中 为向量 OA,OB 的夹角),余弦距离为 1−csA,B . 已知 Mcsα,sinα,N0,1 ,若 M,N 的余弦距离为 35 ,则 sinπ2−2α= ( )
A. −2425 B. −1725 C. 1725 D. 2425
6. △ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,满足 2a2−3b2+c2=bc ,且 csA≥−34 ,则 sinB 为( )
A. 32 B. 24 c. 34 D. 22
7. 已知 △ABC,AM=3AB,AN=3AC ,点 P 是四边形 BCNM 内(含边界)的一点， 若 AP=xAB+yACx,y∈R ，则 x+12+y+12 的最大值与最小值之差为( )
A. 12 B. 9
C. 252 D. 172
8. 在锐角 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 △ABC 的外接圆半径为 R ， 若 △ABC 的面积 S=85R2sinBsinC ，则 bc 的取值范围为( )
A. 35,53 B. 35,+∞ C. 35,53 D. 1,53
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z1,z2 ，则下列结论正确的是( )
A. z1z2=z1z2 B. z1⋅z2=z1⋅z2
C. 若 z1=z2 ,则 z12=z22 D. 若 z12+z22=0 ,则 z1=z2=0
10. 已知 D 为 △ABC 所在平面内的一点,则下列结论正确的是( )
A. 若 AD=13AB+12AC ,则 S△BCDS△ACD=12
B. 若 ABAB+ACAC⋅BC=0 ,则 △ABC 为等腰三角形
C. 若 AD=λABABsinB+ACACsinCλ∈R ,则点 D 的轨迹经过 △ABC 的内心.
D. 若 DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA ，则 D 为 △ABC 的垂心
11. 在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 a=2bsinC . 则()
A. △ABC 的面积为 14a2 B. 1tanB+1tanC=12
C. 若 c=3b ,则 tanC=2+1
D. bc+cb 的取值范围为 2,655
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 z=3−i ，则复数 iz= _____.
13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸, 是中国古老的传统民间艺术. 图 1 是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花. 图 2 中正六边形 ABCDEF 的边长为 4,圆 O 的圆心为该正六边形的中心，圆 O 的半径为 2, MN 为圆 O 的直径,点 P 在正六边形的边上运动，则 PM⋅PN 的取值范围为_____.

图 1

图 2
14. 已知平面向量 a 、 b 、 c 满足: a 与 b 的夹角为锐角. a=4 ， b=2 ， c=3 ，且 b+ia 的最小值为 3 ，向量 c−12a⋅c−b 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证
15. (本小题满分 13 分)
设 a 是实数，复数 z1=1−2i,z2=a+i1−2i ( i 是虚数单位).
(1)若 z2 在复平面内对应的点在第二象限，求 a 的取值范围；
(2)求 z1+z2 的最小值.
16. (本小题满分 15 分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,
若 sinA+sinBsinA−sinB=sinCsinB+sinC .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 AD 为 ∠A 的角平分线， 4b+c=27 ，求 AD 的最大值.
17. (本小题满分 15 分)
松江方塔, 又称兴圣教寺塔, 是上海地区现存最古老的砖木结构古塔之一, 承载着深厚的历史文化底蕴. 如图, 某同学在测量塔高 AB 时, 选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点 C 和 D . 测得 ∠BCD=α,∠BDC=β ,在点 C 测得塔顶 A 仰角为 θ ,已知 sinα=45 , csβ=513,tanθ=79100 ,且 CD=56 米.

(1)求 sin∠CBD ；
(2)求塔高 AB (结果保留整数).
18. (本小题满分 17 分)
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点. 对于每个给定的三角形, 都存在唯一的费马点,当 △ABC 的三个内角均小于 120∘ 时,使 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘ 的点 P 即为费马点. 已知 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,acsC+3asinC−b−c=0,a=2 ，点 P 是 △ABC 的“费马点”.
(1)求角 A ；
(2)若 PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA=−1 ，求 △ABC 的周长；
(3)若 AC⊥BC ， PA+PB=λPC ，求实数 λ 的值.
19. (本小题满分 17 分)
在 △ABC 中，角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c .
(1)已知 sinA=cs2B−cs2CsinA−sinB ，求 ∠C ；
(2)若 △ABC 是锐角三角形， ∠C 为(1)中所求， H 为 △ABC 的垂心，且 CH=3 ， 求 3CH−AHBH 的取值范围;
(3)若 b=3a ，令 t=sinB3csA+3csB ，试求 t 的最大值.
重庆八中高 2028 级高一(下)数学练习(4)
参考答案与试题解析
1.解: 由 cz=i−i4×506⋅i2=i+1 ,故虚部为 1,故选: C.
2.解:由题意， a=b=1 ， a⋅b=23 ，则 a−b 在 a 上的投影向量为 a−b⋅aa2⋅a=a2−a⋅b⋅a=1−23⋅a=13a ,故选: A.
3.解: 由复数 z1 的虚部为 3,可知复数 z2 对应的点在直线 y=3 上,又复数 z2 满足条件
z2−1+2i=1 ,即 z2−1−2i=1 ,得复数 z2 表示的点在以 C1,−2 为圆心, 半径为 1 的圆上. 如图: 而 z2−z1=OZ2−OZ1=Z1Z2=Z1Z2 ,其几何意义为直线 y=3 上的点到圆 x−12+y+22=1 的点的距离. 当点 C,Z2,Z1 共线 Z2在C,Z1 之间 ) 且 CZ1 与直线 y=3 垂直时距离最小,可得最小值为 z2−z1min=3−−2−1=4 . 故选: B .

4.解: 当 m//n 时,满足 a−1a−2+1×a−5=0 ,即 a−3a+1=0 , 解得 a=3 或 a=−1 ，所以必要性不成立；当 a=−1 时，向量 m=−2,−6 ， n=−1,−3 ，则 m=2n ， 即 m//n ,故充分性成立; 所以 “ a=−1 ” 是 “ m//n ” 的充分不必要条件. 故选: A .
5.解: 因为 Mcsα,sinα,N0,1 ,所以 OM=csα,sinα,ON=0,1 ,所以 1−csM,N=1−cs=1−OM⋅ONOM⋅ON=1−sinα=35 ,故 sinα=25 ,所以 sinπ2−2α=cs2α=1−2sin2α=1−2×252=1725 . 故选: C .
6.解: ∵a2=b2+c2−2bccsA ,又 ∵2a2−3b2+c2=bc ,
∴2b2+c2−2bccsA−3b2+c2=bc ,整理得: 1+4csAbc+b2+c2=0 , ∴csA=−b2+c2−bc4bc ， ∵b2+c2≥2bc ， ∴csA=−b2+c2−bc4bc≤−2bc−bc4bc=−34 ，当且仅当 b=c 时等号成立,又 ∵csA≥−34,∴csA=−34,∴A∵b=c,∴B=C=π−A2,∴sinB=sinπ−A2 , 即 sinB=csA2,∵csA=−34∴−34=2cs2A2−1 ,解得: csA2=24,∴sinB=24 ,故选: B .
7.解: 如图,过点 P 作 EF//BC 交 AM,AN 于点 E,F ,设 AEAB=t ,所以 AE=tAB , AF=tAC ,因为点 P 在四边形 BCNM 内部,且 AM=3AB , AN=3AC ,所以 t∈1,3 ,因为 E,P,F 三点共线,所以 AP=λAE+1−λAF=tλAB+t1−λAC=xAB+yAC , 所以 x=tλy=t1−λ ,且 x,y∈0,t ,所以 x+y=t , t∈1,3 ,所以 x+12+y+12=x+12+t+1−x2=2x2−2tx+t+12+1=2x−t22+t22+2t+2 , 所以当 x=t2t=1 时, x+12+y+12max=92 ; 当 x=t或x=0t=3 时, x+12+y+12max=17 ,所以 x+12+y+12 的最大值与最小值之差为 17−92=252 . 故选: C .

8.解: 由正弦定理得 sinB=b2R,sinC=c2R ,所以 S=85R2sinBsinC=25bc ,又三角形面积公式 S=12bcsinA ，可知 12sinA=25 ，所以 sinA=45 ，又 0