重庆市第八中学2025-2026学年高一下学期数学学科训练4试卷含解析（word版）

这是一份重庆市第八中学2025-2026学年高一下学期数学学科训练4试卷含解析（word版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 z=i−i2026 ，则复数 z 的虚部为( )
A. i B. -1 C. 1 D. −i
2. 已知单位向量 a,b 满足 a⋅b=23 ，则 a−b 在 a 上的投影向量为( )
A. 13a B. 23a C. 43a D. 53a
3. 在复平面内,复数 z1 的虚部为 3,复数 z2 满足条件 z2−1+2i=1 ,则 z2−z1 的最小值为( )
A. 0 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知向量 m=a−1,a−5,n=−1,a−2 ，则 “ a=−1 ” 是 “ m//n ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度, 余弦距离是检测相似度的常用方法. 假设二维空间中有两个点 Ax1,y1,Bx2,y2,O 为坐标原点,定义余弦相似度为 csA,B=cs (其中 为向量 OA,OB 的夹角),余弦距离为 1−csA,B . 已知 Mcsα,sinα,N0,1 ,若 M,N 的余弦距离为 35 ,则 sinπ2−2α= ( )
A. −2425 B. −1725 C. 1725 D. 2425
6. △ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,满足 2a2−3b2+c2=bc ,且 csA≥−34 ,则 sinB 为( )
A. 32 B. 24 c. 34 D. 22
7. 已知 △ABC,AM=3AB,AN=3AC ,点 P 是四边形 BCNM 内(含边界)的一点， 若 AP=xAB+yACx,y∈R ,则 x+12+y+12 的最大值与最小值之差为( )
A. 12 B. 9C. 252 D. 172
8. 在锐角 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 △ABC 的外接圆半径为 R ， 若 △ABC 的面积 S=85R2sinBsinC ，则 bc 的取值范围为( )
A. 35,53 B. 35,+∞ C. 35,53 D. 1,53
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z1,z2 ，则下列结论正确的是( )
A. z1z2=z1z2 B. z1⋅z2=z1⋅z2
C. 若 z1=z2 ,则 z12=z22 D. 若 z12+z22=0 ,则 z1=z2=0
10. 已知 D 为 △ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. 若 AD=13AB+12AC ,则 S△BCDS△ACD=12
B. 若 ABAB+ACAC⋅BC=0 ,则 △ABC 为等腰三角形
C. 若 AD=λABABsinB+ACACsinCλ∈R ,则点 D 的轨迹经过 △ABC 的内心.
D. 若 DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA ,则 D 为 △ABC 的垂心
11. 在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 a=2bsinC . 则( )
A. △ABC 的面积为 14a2 B. 1tanB+1tanC=12
C. 若 c=3b ,则 tanC=2+1D. bc+cb 的取值范围为 2,655
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 z=3−i ，则复数 iz= _____.
13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术. 图 1 是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花. 图 2 中正六边形 ABCDEF 的边长为 4,圆 O 的圆心为该正六边形的中心，圆 O 的半径为 2, MN 为圆 O 的直径，点 P 在正六边形的边上运动，则 PM⋅PN 的取值范围为_____.
14. 已知平面向量 a 、 b 、 c 满足: a 与 b 的夹角为锐角. a=4 ， b=2 ， c=3 ，且 b+ta 的最小值为 3 ，向量 c−12a⋅c−b 的最大值是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证
15. (本小题满分 13 分)
设 a 是实数，复数 z1=1−2i,z2=a+i1−2i ( i 是虚数单位).
(1)若 z2 在复平面内对应的点在第二象限，求 a 的取值范围；
(2)求 z1+z2 的最小值.
16.(本小题满分 15 分)
在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，
若 sinA+sinBsinA−sinB=sinCsinB+sinC .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 AD 为 ∠A 的角平分线， 4b+c=27 ，求 AD 的最大值.
17. (本小题满分 15 分)
松江方塔, 又称兴圣教寺塔, 是上海地区现存最古老的砖木结构古塔之一, 承载着深厚的历史文化底蕴. 如图,某同学在测量塔高 AB 时,选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点 C 和 D . 测得 ∠BCD=α ， ∠BDC=β ，在点 C 测得塔顶 A 仰角为 θ ，已知 sinα=45 ， csβ=513,tanθ=79100 ,且 CD=56 米.
(1)求 sin∠CBD ；
(2)求塔高 AB (结果保留整数).
18. (本小题满分 17 分)
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点. 对于每个给定的三角形, 都存在唯一的费马点,当 △ABC 的三个内角均小于 120∘ 时,使 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘ 的点 P 即为费马点. 已知 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,acsC+3asinC−b−c=0,a=2 ,点 P 是 △ABC 的“费马点”.
(1)求角 A ；
(2)若 PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA=−1 ，求 △ABC 的周长；
(3)若 AC⊥BC,PA+PB=λPC ,求实数 λ 的值.
19. (本小题满分 17 分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c .
(1)已知 sinA=cs2B−cs2CsinA−sinB ，求 ∠C ；
(2)若 △ABC 是锐角三角形， ∠C 为(1)中所求， H 为 △ABC 的垂心，且 CH=3 ， 求 3CH−AHBH 的取值范围;
(3)若 b=3a ，令 t=sinB3csA+3csB ，试求 t 的最大值.